Exercícios: Circunferência e círculo

No desenho a seguir de uma circunferência de centro $O$, identifique os elementos assinalados com letras. Indique qual corresponde ao raio, qual ao diâmetro e qual à corda.

Uma jogadora de basquete está treinando arremessos livres. O círculo pintado no garrafão tem um diâmetro de $3,6$ metros. Qual é a medida do raio desse círculo?

Alex quer colocar uma fita de luzes LED ao redor da borda de seu espelho circular. Se o raio do espelho é de $40$ cm, quantos centímetros de fita LED precisará comprar, no mínimo? (Utilize $\pi \approx 3,14$).

Uma pizzaria oferece uma pizza individual de $20$ cm de diâmetro. Calcule a área da pizza para saber quanto espaço ocupará na caixa. (Utilize $\pi \approx 3,14$).

Observe a posição das retas $r$, $s$ e $t$ em relação à circunferência de centro $C$. Classifique cada reta como tangente, secante ou exterior.

Identifique o nome das seguintes regiões coloridas dentro ou ao redor do círculo:

• A: Região compreendida entre dois raios.

• B: Região compreendida entre duas circunferências concêntricas (como uma rosquinha).

• C: A metade de um círculo.

Se uma moeda de $2$ reais tem um raio de $12,875$ mm, qual é o seu diâmetro? Expresse o resultado em milímetros.

Dada uma circunferência com centro no ponto $C$ e um raio de $5$ cm, indique se os seguintes pontos são internos, externos ou estão sobre a circunferência:

• Ponto $P$: está a $3$ cm de $C$.

• Ponto $Q$: está a $5$ cm de $C$.

• Ponto $R$: está a $7$ cm de $C$.

Para uma festa na escola, o Marcos quer calcular a área de uma toalha circular que cubra por completo uma mesa redonda cujo diâmetro mede $120\text{ cm}$. O Marcos faz o seguinte cálculo em seu caderno:

1. a) Identifique que erro conceitual o Marcos cometeu ao aplicar a fórmula da área.
2. b) Explique a relação que existe entre o diâmetro e o raio, e justifique por que o resultado obtido pelo Marcos é exatamente quatro vezes maior do que deveria ser.
3. c) Corrija o cálculo e determine a área real que a toalha deve ter (em $\text{cm}^2$, usando $\pi \approx 3,14$).

O serviço de parques e jardins de um município dispõe de uma cerca flexível de exatamente $31,4\text{ metros}$ de comprimento para cercar completamente um canteiro circular com flores, sem que sobre nem falte material.

1. a) Apresente a relação matemática correspondente e calcule quanto devem medir o raio e o diâmetro do canteiro (use $\pi \approx 3,14$).
2. b) Se no centro exato do canteiro for colocado um aspersor, a que distância máxima do aspersor pode nascer uma flor dentro do recinto?
3. c) Justifique geometricamente se seria possível traçar dentro do canteiro uma corda reta que una dois pontos da borda e que meça $11\text{ metros}$.

O logotipo de uma nova marca de roupas esportivas consiste em uma circunferência de raio $r = 5\text{ cm}$ atravessada por uma reta. Se a reta passa a uma distância de $3\text{ cm}$ do centro da circunferência, desenhe o esquema e responda:

1. a) Qual é a posição relativa da reta em relação à circunferência?
2. b) Se traçarmos outra reta que passe a exatamente $5\text{ cm}$ do centro, como se chamaria essa reta?
3. c) Como se chama o segmento da primeira reta que fica dentro da circunferência?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma pizzaria oferece duas promoções para suas pizzas artesanais:

• Promoção A: Uma pizza família de $40\text{ cm}$ de diâmetro.

• Promoção B: Duas pizzas médias de $20\text{ cm}$ de diâmetro cada uma.

Se ambas as promoções custam o mesmo, calcule a área de superfície da pizza em cada opção (usando $\pi \approx 3,14$) e justifique qual das duas promoções é mais vantajosa para o cliente.

Um aspersor de jardim gira descrevendo um setor circular de $120^\circ$. Se o jato de água atinge uma distância de $6\text{ metros}$, calcule:

1. a) O comprimento do arco de gramado que molha na borda externa.
2. b) A área total de gramado regada pelo aspersor.

(Utilize $\pi \approx 3,14$ e arredonde para duas casas decimais).

No projeto de uma janela circular (rosácea), foi inscrito um quadrado de $8\text{ decímetros}$ de diagonal, como mostrado na figura. Calcule a área da superfície do vidro (círculo) que fica fora do quadrado (as zonas sombreadas no desenho).

A roda de uma bicicleta de montanha tem um raio total de $35\text{ cm}$. Se o ciclista percorre uma distância de $1,1\text{ quilômetros}$ em linha reta:

1. a) Quantos metros a bicicleta percorre em uma única volta da roda?
2. b) Quantas voltas completas a roda terá dado ao final do percurso?

(Dado: $1\text{ km} = 1000\text{ m}$; considere $\pi \approx 3,14$).

Observe a figura a seguir, que representa um "spinner" circular com um rolamento central e um anel externo. O raio do círculo interno é de $2\text{ cm}$ e o raio do círculo externo é de $5\text{ cm}$. Calcule a área da coroa circular (a região azulada) que existe entre ambos.

Em uma praça circular, foi instalada uma estrutura com cabos. Um dos cabos forma um ângulo inscrito de $35^\circ$ em relação a um arco da praça.

1. a) Calcule quanto mede o ângulo central que abrange esse mesmo arco.
2. b) Se o ângulo central fosse de $110^\circ$, quanto mediria qualquer ângulo inscrito que abrangesse o mesmo arco?

Uma placa de trânsito de "Entrada proibida" tem a forma de um círculo com diâmetro de $60\text{ cm}$. Em seu interior, há uma faixa retangular branca de $50\text{ cm}$ de comprimento e $10\text{ cm}$ de largura. Calcule a área da parte vermelha da placa (a região do círculo que não está ocupada pelo retângulo branco).

Em uma praça será construída uma fonte circular com $8\text{ metros}$ de diâmetro. Será colocada uma borda de pedra em todo o seu contorno e o chão (a superfície circular completa) será impermeabilizado.

1. a) Antes de efetuar operações com decimais, faça uma estimativa mental do comprimento da borda aproximando $\pi \approx 3$. Justifique se a medida real será maior ou menor do que a sua estimativa.
2. b) Imagine um quadrado circunscrito à fonte (cujos quatro lados tocam a circunferência exteriormente). Quanto mede o lado desse quadrado? Qual é o seu perímetro? Justifique por que o perímetro desse quadrado serve como limite superior para o comprimento da circunferência.
3. c) Calcule com precisão o comprimento da borda e a área do fundo da fonte usando $\pi \approx 3,14$, e verifique se ambos os valores são coerentes com as deduções que você fez nos itens anteriores.

No serviço público de bicicletas de uma cidade brasileira, as rodas dos veículos têm um raio de $30\text{ cm}$. Um usuário faz um percurso em linha reta pela ciclovia de uma estação até outra, percorrendo uma distância total de $1\,130,4\text{ metros}$.

1. a) Modele a situação calculando quantos metros a bicicleta avança cada vez que a roda dá uma volta completa sobre o pavimento (use $\pi \approx 3,14$).
2. b) Determine quantas voltas completas cada roda terá dado ao terminar todo o percurso.
3. c) Durante uma revisão, um técnico registra que trocou um raio da roda de $30\text{ cm}$ e um reforço metálico reto (corda) que une dois pontos da borda externa do aro e mede $65\text{ cm}$. Apoiando-se na definição de corda e diâmetro, explique por que a medida desse reforço é fisicamente impossível nessa roda.

No design de um novo logotipo para uma empresa de tecnologia, foi desenhado um quadrado de lado $L = 10 \text{ cm}$. Em cada um de seus vértices foi traçado um arco de circunferência com raio igual à metade do lado do quadrado ($5 \text{ cm}$), de modo que os quatro arcos se tocam nos pontos médios dos lados. Calcule a área da região sombreada que fica no centro do quadrado (a zona que não pertence a nenhum dos quatro setores circulares).

Um engenheiro está projetando uma peça mecânica que consiste em um disco metálico de raio $R = 12 \text{ cm}$. Para alijar a peça, ele deve realizar um corte reto (uma corda) localizado a uma distância exata de $7,2 \text{ cm}$ do centro do disco. Utilizando o Teorema de Pitágoras, determine qual será o comprimento total desse corte (a corda) para poder programar a máquina de corte.

Em um parque de diversões, uma roda-gigante tem um raio de $15 \text{ metros}$. Um sensor detecta que uma das cabines percorreu um arco de circunferência cujo comprimento é de $23,55 \text{ metros}$. Qual ângulo, expresso em graus sexagesimais, a roda-gigante girou desde que a cabine estava no ponto mais baixo? Considere o valor de $\pi \approx 3,14$.

Uma pulseira circular de prata tem um diâmetro externo de $8 \text{ cm}$ e interno de $7 \text{ cm}$. Se quisermos banhar a ouro apenas a parte superior da pulseira (um setor da coroa circular que abrange um ângulo de $120^\circ$), qual é a área da superfície que será banhada a ouro? Arredonde o resultado para duas casas decimais.

Observe um relógio de parede às $10:00$ da manhã. Os ponteiros (dos minutos e das horas) formam um ângulo central. Se traçarmos uma corda que una as extremidades de ambos os ponteiros, supondo que ambos medem $10 \text{ cm}$, qual é a medida dessa corda? (Dica: analise o tipo de triângulo formado entre o centro do relógio e os números 10 e 12).

No centro de uma rotatória circular de raio $R = 10\text{ metros}$ existe um lago também circular de raio $r = 6\text{ metros}$. A faixa restante entre o lago e a borda da rotatória (uma coroa circular) vai ser coberta com grama artificial. Para calcular a área da grama, três integrantes da equipe técnica propõem métodos diferentes:

• Método da Clara: Calcula a área de toda a rotatória ($A_1 = 3,14 \cdot 10^2$), a área do lago ($A_2 = 3,14 \cdot 6^2$) e subtrai ambos os resultados: $A_1 - A_2$.

• Método do Bruno: Subtrai diretamente os raios ($10 - 6 = 4\text{ metros}$) e calcula a área de um círculo com esse raio resultante: $A = 3,14 \cdot 4^2$.

• Método da Sara: Coloca $\pi$ em evidência aplicando a propriedade distributiva: $A = \pi \cdot (10^2 - 6^2) = 3,14 \cdot (100 - 36)$.

1. a) Explique qual dos métodos está errado e demonstre geometricamente por que razão subtrair os raios antes de calcular a área leva a um resultado falso.
2. b) Compare os dois métodos válidos e justifique qual é mais recomendável para cometer menos erros de arredondamento e economizar passos de cálculo.
3. c) Se o lago fosse ampliado para um raio de $8\text{ metros}$ mantendo o raio externo da rotatória em $10\text{ metros}$, aplique o método que você escolheu como ótimo para calcular a nova área de grama necessária.

Uma empresa pública de águas precisa substituir dois canos de esgoto idênticos, cada um de seção circular com um diâmetro de $20\text{ cm}$, por um único cano circular novo que tenha exatamente a mesma capacidade de escoamento (ou seja, cuja área da seção coincida com a soma das áreas dos dois canos antigos juntos).

1. a) Um técnico afirma: «Como substituímos dois canos de $20\text{ cm}$, o novo deve ter um diâmetro de $40\text{ cm}$ para escoar o mesmo». Demonstre, por meio do cálculo das áreas das seções, se a afirmação do técnico está correta ou incorreta.
2. b) Justifique de forma algébrica, a partir da fórmula $A = \pi \cdot r^2$, por que razão, ao dobrar o diâmetro de qualquer círculo, a sua área se multiplica por $4$ e não por $2$.
3. c) Apresente a equação que relaciona a área do cano novo com a soma das áreas dos dois antigos e calcule quanto deve medir, aproximadamente, o diâmetro real do cano substituto (arredonde o resultado a uma casa decimal).