Exercícios: Medidas de tendência central e de dispersão

As idades dos primos de Noa são: $8$, $10$, $12$, $10$ e $10$ anos. Calcule a média das idades deles.

Os pontos marcados por uma jogadora em suas últimas $7$ partidas são: $9$, $14$, $6$, $11$, $8$, $12$ e $10$.

1. a) Ordene os dados do menor para o maior.
2. b) Qual é a mediana?

O tamanho dos calçados dos $11$ jogadores de um time de futsal é: $38$, $39$, $40$, $39$, $41$, $39$, $40$, $42$, $39$, $38$ e $39$. Qual é a moda? O que esse dado significa para o responsável pelo material esportivo?

Um aplicativo de previsão do tempo registrou estas temperaturas mínimas (em °C) durante uma semana de janeiro: $2$, $-1$, $0$, $-3$, $1$, $4$ e $-2$. Calcule a amplitude das temperaturas mínimas dessa semana.

O gráfico de pontos mostra os gols marcados por um time em suas últimas partidas.

1. a) Quantas partidas o time jogou?
2. b) Em quantas partidas não marcou nenhum gol?
3. c) Qual é a moda do número de gols? Há uma única moda?
4. d) Qual é a amplitude?

Em um torneio escolar de xadrez, Alex obteve estes pontos nas $5$ rodadas: $3$, $5$, $4$, $5$ e $3$. Calcule sua média de pontos por rodada.

A tabela mostra o número de livros lidos neste trimestre pelos alunos de uma turma:

1. a) Qual é a moda do número de livros lidos?
2. b) Quantos alunos há na turma?
3. c) Quantos alunos leram mais de $1$ livro?

Os tempos (em segundos) de $6$ nadadores em uma prova de $25$ metros são: $31$, $28$, $35$, $29$, $33$ e $30$. Vamos calcular a sua mediana passo a passo:

1. a) Ordene os tempos do menor para o maior.
2. b) Como há um número par de dados, quais são os dois valores centrais?
3. c) A mediana é a média desses dois valores: calcule-a.

Para calcular a mediana e a amplitude do número de livros lidos durante o último ano por um grupo de $5$ amigos ($4$, $1$, $5$, $2$ e $8$), o Marcos escreveu o seguinte em seu caderno:

«O dado do centro da lista do jeito que nos deram é o $5$, por isso a mediana é $Me = 5$. A amplitude é $8 - 4 = 4$, porque subtraí o último valor menos o primeiro».

1. a) Encontre os dois erros cometidos pelo Marcos e explique com suas palavras por que o raciocínio dele não está correto em nenhum dos dois casos.
2. b) Corrija os cálculos do Marcos e determine os valores corretos da mediana e da amplitude.

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registrou as seguintes temperaturas máximas (em $^\circ\text{C}$) durante uma semana do mês de abril em Curitiba: $14$, $16$, $15$, $19$, $17$, $13$ e $18$.

1. a) Antes de fazer qualquer operação numérica por escrito, observe os dados e estime entre quais dois valores inteiros deve se situar a média aritmética. Você acha que ela estará mais perto de $14\text{ }^\circ\text{C}$ ou de $17\text{ }^\circ\text{C}$? Justifique sua estimativa.
2. b) Calcule com exatidão a média aritmética, a mediana e a amplitude das temperaturas máximas registradas.
3. c) Verifique se o valor exato da média confirma a sua estimativa inicial e argumente se o resultado obtido é razoável, tendo em conta a amplitude da semana.

Foi perguntado aos $30$ alunos de uma turma quantas vezes foram ao centro esportivo do bairro no último mês. Os resultados são:

1. a) Calcule a média aritmética do número de visitas.
2. b) Qual é a moda? O que ela significa neste contexto?

Uma loja on-line compara os preços de um mesmo tênis em $8$ portais diferentes e encontra estes valores, em reais: $42$, $38$, $45$, $39$, $50$, $36$, $41$ e $44$.

1. a) Ordene os preços do menor para o maior.
2. b) Calcule a mediana dos preços. Lembre-se de que, com um número par de dados, há dois valores centrais.
3. c) Qual é a amplitude? Interprete-a: há muita diferença de preços entre os portais?

Em um campeonato escolar de pontaria com bola, cada participante arremessa $10$ vezes e os acertos são registrados. A tabela reúne os resultados de todos os participantes:

1. a) Quantos participantes houve no total?
2. b) Qual é a moda do número de acertos?
3. c) Calcule a amplitude da distribuição.
4. d) Calcule a média de acertos por participante, arredondando para as décimas.

O gráfico mostra as temperaturas máximas registradas em uma cidade durante uma semana de primavera.

1. a) Calcule a média das temperaturas máximas da semana, arredondando para as décimas.
2. b) Calcule a amplitude térmica da semana (diferença entre a máxima e a mínima).
3. c) Qual dia da semana mais se afastou da média? Justifique sua resposta.

O gráfico de barras mostra as notas da última prova de matemática de uma turma.

1. a) Quantos alunos fizeram a prova?
2. b) Qual é a moda das notas?
3. c) Calcule a mediana das notas.
4. d) Calcule a média aritmética, arredondando para as centésimas. A turma é aprovada «na média»?

Você pode fazer no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em uma disciplina, a nota do período é calculada assim: a média dos três trabalhos vale $40\%$ da nota final e a prova vale $60\%$. Os trabalhos de Lucas foram $7$, $8$ e $6$, e na prova ele tirou $7,5$.

1. a) Calcule a média dos três trabalhos.
2. b) Calcule sua nota final do período aplicando as porcentagens.
3. c) Ele seria aprovado se a prova valesse $50\%$ e os trabalhos os outros $50\%$? Verifique.

As idades dos $6$ membros de um grupo de amigos são: $11$, $12$, $11$, $13$, $12$ e $12$ anos.

1. a) Calcule a média e a mediana das idades.
2. b) O irmão mais velho de um deles, que tem $24$ anos, começa a sair com o grupo. Calcule a nova média e a nova mediana.
3. c) Qual das duas medidas mudou mais? Qual descreve melhor a «idade típica» do grupo após a mudança? Justifique sua resposta.

Foi perguntado a $40$ alunos sobre seu tipo de filme favorito e os resultados foram: aventura, $12$ votos; comédia, $12$ votos; animação, $9$ votos; ficção científica, $5$ votos; documentário, $2$ votos.

1. a) Qual é a moda desta variável?
2. b) Faz sentido calcular a média ou a mediana desses dados? Explique o porquê.
3. c) Quando uma variável tem dois valores com a mesma frequência máxima, dizemos que ela é bimodal. Esse é o caso? Justifique sua resposta.

Num torneio escolar de basquete em Salvador, a equipe da sua escola disputou $5$ jogos. Conhecem-se os seguintes parâmetros estatísticos sobre as pontuações:

• A média aritmética de pontos é exatamente $46$.

• A moda é $52$ pontos (e é o único valor que se repete).

• A mediana é de $46$ pontos.

• A amplitude das pontuações é de $14$ pontos.

1. a) Deduza os pontos exatos que a equipe conseguiu em cada um dos $5$ jogos e escreva-os em ordem crescente. Explique passo a passo como você deduziu cada valor a partir das pistas estatísticas.
2. b) Se em um sexto jogo a equipe marcar $58$ pontos, o que acontecerá com a amplitude e com a média da temporada? Justifique se vão aumentar, diminuir ou permanecer iguais, sem necessidade de calcular os novos valores numéricos.

A secretaria de meio ambiente de um município realizou uma pesquisa com $20$ famílias de um bairro sobre o número de vezes que vão ao ecoponto verde de vidro ao longo de um mês. As respostas foram:

$1$, $4$, $2$, $3$, $2$, $1$, $5$, $2$, $3$, $4$, $2$, $6$, $3$, $2$, $1$, $2$, $4$, $3$, $2$ e $8$.

1. a) Elabore uma tabela de frequências absolutas para organizar os dados e calcule a moda, a mediana e a amplitude das visitas.
2. b) Utilizando a tabela de frequências, calcule a média aritmética de visitas ao ecoponto verde por família e interprete o significado do resultado.
3. c) No boletim municipal, uma vereadora publicou: «A maioria das famílias do bairro vai $8$ vezes por mês reciclar vidro, por isso o ecoponto enche rapidamente». Utilize as medidas de tendência central calculadas para argumentar por que a afirmação da vereadora é errônea e qual conceito estatístico ela confundiu com a realidade.

As horas diárias de tela de $9$ alunos de uma turma são: $2$, $3$, $3$, $4$, $4$, $5$, $5$, $6$ e $12$.

1. a) Calcule a média e a mediana desses dados.
2. b) Um dos dados é muito maior do que os outros. Qual das duas medidas anteriores é mais afetada por ele? Justifique sua resposta.
3. c) Se o dado de $12$ horas fosse um erro da pesquisa e, na verdade, fossem $2$ horas, recalcule a média e a mediana e explique o que mudou.

Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta ou apresentando um contraexemplo:

1. a) Em uma pesquisa sobre a cor favorita de uma turma, não é possível calcular nem a média nem a mediana.
2. b) Se somarmos $2$ a todos os dados de uma distribuição, a média aumenta em $2$, mas a amplitude não muda.
3. c) A moda é sempre o maior valor da distribuição.
4. d) Para calcular a mediana, tanto faz se os dados estão desordenados.

Martina tem as seguintes notas nas quatro primeiras avaliações de matemática: $5,5$; $6$; $7$ e $6,5$. Resta apenas uma avaliação para terminar o período e ela quer que sua média seja exatamente $6,5$.

1. a) Qual nota ela precisa tirar na última avaliação?
2. b) E se ela se contentasse com uma média de $6$?
3. c) Seria possível alcançar uma média de $7$? Justifique sua resposta.

Em uma liga de basquete do bairro, a tabela mostra as cestas marcadas por um time nos jogos disputados, mas uma frequência foi apagada:

Sabendo que a média de cestas por partida é exatamente $1,4$:

1. a) Escreva a equação que permite determinar $x$ e resolva-a.
2. b) Quantas partidas o time jogou no total?
3. c) Com os dados completos, qual é a moda da distribuição?

Para calcular a média do número de irmãos da sua turma, Ana tem esta tabela:

Ana faz a seguinte conta: $(0 + 1 + 2 + 3) : 4 = 1,5$ e afirma: «a média é de $1,5$ irmãos».

1. a) Explique qual erro Ana cometeu.
2. b) Calcule a média corretamente.
3. c) Ana também afirma que «a mediana é $1,5$ porque está entre $1$ e $2$». Ela tem razão? Calcule a mediana ordenando os $30$ dados e verifique.

Dois times de handebol anotaram estes pontos em suas últimas $5$ partidas:

• Time Alfa: $60$, $62$, $58$, $61$, $59$.

• Time Beta: $45$, $80$, $52$, $70$, $53$.

1. a) Calcule a média de pontos de cada time.
2. b) Calcule a amplitude de cada time.
3. c) Se fosse o treinador adversário, qual time pareceria mais regular? E mais imprevisível? Justifique suas respostas usando as medidas calculadas.

Na corrida solidária da escola, os $12$ corredores da equipe do 7º ano levaram estes tempos (em minutos) para completar o percurso de $5$ km: $24$, $26$, $25$, $31$, $28$, $26$, $30$, $27$, $25$, $26$, $29$ e $33$.

1. a) Calcule a média, a mediana, a moda e a amplitude dos tempos.
2. b) O treinador diz que um tempo é «bom» se estiver abaixo da média da equipe. Quantos corredores conseguiram um tempo «bom»?
3. c) No ano que vem, o corredor mais lento promete melhorar sua marca em $5$ minutos. Se conseguir e os outros repetirem o tempo, como mudam a média e a mediana? Calcule.

As idades dos $5$ membros de um clube de leitura são: $10$, $14$, $15$, $21$ e $23$ anos.

1. a) Calcule a média e a mediana atuais.
2. b) Um novo membro se inscreve e a mediana passa a ser $16$ anos. Qual é a idade do novo membro?
3. c) Em vez disso, se o clube quisesse que a média aumentasse exatamente $1$ ano com a entrada de uma sexta pessoa, qual idade ela deveria ter?

Uma empresa de tecnologia em início de atividade em Salvador conta com um quadro de $8$ pessoas cujos salários mensais brutos são: cinco programadores juniores que recebem $1250\text{ \text{R\$}\ }$ cada um, dois programadores seniores que recebem $1750\text{ \text{R\$}\ }$ cada um e o diretor executivo, que recebe $6250\text{ \text{R\$}\ }$. Para publicar uma vaga de emprego, o departamento de Recursos Humanos debate como comunicar o salário típico e pondera duas opções:

• Método A: Informar o salário médio (média aritmética).

• Método B: Informar o salário mediano (mediana).

1. a) Calcule o salário médio, o salário mediano e a amplitude salarial da empresa.
2. b) Compare ambos os métodos e justifique qual dos dois representa de forma mais justa e realista o salário de um trabalhador comum nessa empresa. Explique que efeito distorcedor o salário do diretor produz sobre a média aritmética.
3. c) Imagine que a empresa decide abrir mão da média e da mediana e publicar unicamente que «a amplitude salarial é de $5000\text{ \text{R\$}\ }$». Essa informação seria suficiente para que um candidato saiba quanto vai receber aproximadamente? Justifique o que a amplitude acrescenta e por que motivo ela não substitui as medidas de tendência central.

A Confederação Brasileira de Atletismo deve selecionar uma representante para uma competição internacional na prova de $100\text{ m}$ barreiras. Analisam-se os tempos cronometrados (em segundos) de duas atletas, Sofia e Elena, nas últimas $6$ corridas delas:

• Tempos da Sofia: $13,1$; $13,2$; $13,3$; $13,3$; $13,4$ e $13,5$.

• Tempos da Elena: $12,6$; $12,8$; $13,1$; $13,5$; $13,8$ e $14,0$.

1. a) Calcule a média aritmética, a mediana e a amplitude dos tempos de cada uma das duas atletas.
2. b) Se um analista esportivo reparasse exclusivamente na média e na mediana, conseguiria notar alguma diferença entre o rendimento global da Sofia e o da Elena? Explique que informação decisiva a amplitude traz nesta situação sobre o perfil de cada corredora.
3. c) A equipe técnica precisa escolher uma atleta para uma prova por equipes onde se exige uma marca regular e sem surpresas de desclassificação ou atraso, e outra atleta para uma prova individual onde só se aspira à medalha se for possível baixar dos $13\text{ s}$. Justifique, utilizando os parâmetros estatísticos calculados, qual atleta você enviaria para cada prova.
4. d) Se numa sétima corrida a Sofia tropeçar numa barreira e fizer um tempo atípico de $16,8\text{ s}$, justifique qual das suas medidas estatísticas (a média ou a mediana) sofrerá uma maior variação e qual se manterá mais protegida, sem necessidade de recalcular os valores.

Desafio do tema. Como as telas influenciam o nosso ambiente? Você vai liderar uma investigação estatística real para analisar esse hábito na sua comunidade.

1. Coleta de dados: Pergunte a $15$ pessoas (familiares ou colegas) quantas horas por dia dedicam ao celular (admita decimais, ex. $1,5$ h ou $2,0$ h) ou colete as temperaturas máximas dos últimos $15$ dias no site do INMET. Identifique claramente a população, a amostra, o indivíduo e o tipo de variável.

2. Tabulação e cálculo: Insira os dados em uma planilha (Excel, Calc ou Google Sheets). Elabore a tabela de frequências (absolutas, relativas e porcentagens). Calcule as medidas de posição do centro (média $\bar{x}$, mediana e moda) e de dispersão (amplitude).

3. Representação: Construa o gráfico estatístico mais adequado (gráfico de barras ou de linhas), cuidando dos títulos, das escalas e das legendas.

4. Relatório final: Redija um breve relatório com a sua proposta: analise se os dados são homogêneos ou dispersos e apresente uma conclusão fundamentada sobre o uso saudável do tempo livre.

Será valorizado:

• Identificação correta dos conceitos-chave e elaboração precisa da tabela de frequências.

• Cálculo exato das medidas de posição do centro e de dispersão por meio de planilha.

• Clareza e rigor na representação gráfica digital.

• Justificativa crítica das conclusões a partir dos parâmetros obtidos.