Exercícios: Mínimo múltiplo comum

Para começar a praticar, vamos utilizar o método de escrever a lista de múltiplos. Escreva os $10$ primeiros múltiplos dos números $4$ e $5$ (sem contar o zero). Depois, identifique qual é o mínimo múltiplo comum ($m.m.c.$) de ambos.

Procure o primeiro número que aparece repetido nas duas listas.

Calcule de forma rápida o $m.c.m. (3, 9)$. Observe bem a relação que existe entre os dois números antes de começar a calcular. Um é múltiplo do outro? Justifique se, neste caso, é necessário fazer muitas operações.

Na prateleira de uma loja de quadrinhos, querem empilhar volumes de "Mangá" que medem $12$ mm de espessura e volumes de "Graphic Novel" que medem $18$ mm de espessura. Qual é a altura mínima que ambas as pilhas devem atingir para que meçam exatamente o mesmo?

Três sinos de uma igreja tocam em intervalos diferentes: o primeiro toca a cada $6$ minutos, o segundo a cada $9$ minutos e o terceiro a cada $12$ minutos. Se os três tocaram juntos às $10:00$ da manhã, a que horas voltarão a coincidir novamente?

Dois atletas treinam em uma pista circular. Maria Eduarda leva $60$ segundos para dar uma volta completa e Lucas leva $75$ segundos. Se partirem juntos da linha de chegada, quantos segundos levarão para cruzar a linha de chegada ao mesmo tempo novamente? Quantas voltas cada um terá dado nesse momento?

Calcule o mínimo múltiplo comum dos seguintes pares de números utilizando a decomposição em fatores primos:

1. a) $\text{m.m.c.}(10, 15)$

1. b) $\text{m.m.c.}(8, 12)$

1. c) $\text{m.m.c.}(20, 30)$

Marta está organizando uma festa e quer comprar cachorros-quentes. As salsichas vêm em pacotes de $6$ unidades e os pães em pacotes de $8$ unidades. Qual é o número mínimo de cachorros-quentes que ela pode preparar para que não sobre nenhuma salsicha nem nenhum pão? Quantos pacotes de cada produto ela terá de comprar?

Para calcular o $m.c.m.(6, 18)$, a Lucía faz a decomposição em fatores primos de ambos os números ($6 = 2 \cdot 3$ e $18 = 2 \cdot 3^2$) e aplica a regra geral dos fatores comuns e não comuns com o maior expoente. Em contrapartida, o Marcos afirma que não é preciso fazer nenhuma decomposição porque se vê logo que o resultado é $18$.

1. a) Explique a propriedade teórica que o Marcos utiliza para dar a resposta de forma imediata sem necessidade de efetuar cálculos.
2. b) O Marcos poderia utilizar esse mesmo atalho mental para calcular diretamente o $m.c.m.(6, 15)$? Justifique por que, nesse segundo caso, é conveniente recorrer ao método de decomposição da Lucía.

A Julia tem que calcular o $m.c.m.(12, 15)$ para resolver uma tarefa de aula. No seu caderno escreve:

«Passo 1: Decomponho em fatores primos: $12 = 2^2 \cdot 3$ e $15 = 3 \cdot 5$.

Passo 2: Pego os fatores com o menor expoente: o único fator comum é o $3$.

Resultado: $m.c.m.(12, 15) = 3$».

1. a) Indique os dois erros conceituais que a Julia comete ao aplicar o método. Que conceito matemático ela calculou, na realidade, no Passo 2?
2. b) Corrija o exercício no seu caderno encontrando o resultado verdadeiro e deduza por que o número $3$ nunca poderia ser um múltiplo de $12$ nem de $15$.

Para desbloquear um nível especial em um jogo de matemática, é necessário encontrar o código de acesso. O código é o mínimo múltiplo comum dos três números a seguir: $36$, $48$ e $60$.

Faça a decomposição em fatores primos de cada número e calcule o código final.

Duas luzes de um palco de shows piscam em ritmos diferentes. A luz laranja acende a cada $12$ segundos e a luz branca a cada $15$ segundos. Se ambas as luzes acabaram de acender ao mesmo tempo no início de uma música:

1. a) Quantos segundos levarão para voltar a coincidir acesas pela primeira vez?

1. b) Quantas vezes elas terão coincidido durante os primeiros $3$ minutos da música?

A figura mostra as primeiras vezes em que cada luz acende.

Uma loja de esportes recebe um carregamento de bolas de futebol em caixas de $15$ unidades e bolas de basquete em caixas de $20$ unidades. Se a loja quer ter o mesmo número de bolas de cada tipo para uma promoção:

1. a) Qual é o número mínimo de bolas de cada tipo que ela deve ter?
2. b) Quantas caixas de bolas de futebol e quantas de basquete ela precisa comprar para atingir essa quantidade?

Queremos cobrir o piso de um estúdio de gravação com formato de quadrado perfeito usando painéis de isolamento acústico retangulares de $18$ cm de largura por $24$ cm de comprimento.

Qual deve ser a medida mínima do lado da sala para podermos colocar os painéis sem precisar cortar nenhum? De quantos painéis precisaremos no total para cobrir todo o piso?

Três ônibus escolares partem da mesma estação central às $08:00$ da manhã. O ônibus da Rota A passa pela estação a cada $45$ minutos, o da Rota B a cada $60$ minutos e o da Rota C a cada $90$ minutos.

A que horas os três ônibus voltarão a coincidir na estação pela primeira vez?

Encontre um número compreendido entre $300$ e $400$ que seja, simultaneamente, múltiplo de $12$, $15$ e $18$. Explique os passos seguidos para encontrá-lo utilizando o conceito de mínimo múltiplo comum.

Em um ponto de ônibus urbano coincidem duas linhas às 08:00 da manhã. A linha circular A passa a cada $14$ minutos e a linha suburbana B a cada $21$ minutos.

1. a) Antes de calcular o resultado exato, estime e defina o intervalo: é possível que voltem a coincidir antes de passarem $21$ minutos? E depois de $294$ minutos ($14 \cdot 21$)? Justifique por que o $m.c.m.$ de dois números nunca pode ser menor do que o maior deles nem maior do que o seu produto.
2. b) Calcule o $m.c.m.(14, 21)$ por meio da decomposição em fatores primos e verifique se a sua estimativa estava correta.
3. c) A que horas exatas voltarão a coincidir no ponto pela primeira vez?

Na estação de trem de Pinheiros (São Paulo), coincidem às 07:00 da manhã as partidas de três trens: um trem da linha C-1 (partidas a cada $12$ minutos), outro da linha C-5 (a cada $8$ minutos) e outro da linha C-10 (a cada $20$ minutos).

1. a) Modele a situação calculando quantos minutos os três trens demorarão para voltar a partir simultaneamente da referida estação.
2. b) A que horas exatas da manhã ocorrerá essa próxima coincidência?
3. c) Um aviso nas telas da estação afirma que os três trens coincidirão mais quatro vezes ao longo dessa mesma manhã, antes das 13:00. Verifique matematicamente se a informação das telas é verdadeira ou falsa.

Um colecionador de figuras de ação tem menos de $1.000$ peças. Ele sabe que, se as organizar em caixas de $18$, não sobra nenhuma. Se as organizar em caixas de $20$, tampouco sobra nenhuma, e se as agrupar de $24$ em $24$, a contagem também é exata.

1. a) Qual é a quantidade mínima de figuras que ele pode ter?
2. b) Se ele sabe que o número total de figuras está entre $700$ e $800$, quantas figuras ele tem exatamente?

Queremos construir um cubo maciço utilizando blocos de brinquedo que medem $15$ cm de comprimento, $10$ cm de largura e $6$ cm de altura.

1. a) Qual deve ser a medida da aresta do menor cubo que podemos formar sem cortar nenhum bloco?
2. b) Quantos blocos de brinquedo serão necessários no total para construir esse cubo?

Três músicos de uma banda de jazz estão ensaiando um padrão rítmico. O baterista toca o prato a cada $8$ tempos, o baixista toca uma nota grave a cada $12$ tempos e o pianista toca um acorde a cada $15$ tempos.

1. a) Se eles começarem o compasso juntos, em qual tempo os três instrumentos voltarão a soar ao mesmo tempo?
2. b) Se o pianista decidisse tocar a cada $18$ tempos em vez de $15$, eles demorariam mais ou menos para coincidir? Justifique a resposta com cálculos.

O farol de uma ilha emite uma luz branca a cada $12$ segundos, e um farol próximo emite uma luz vermelha a cada $16$ segundos. Um terceiro farol emite uma luz verde a cada $20$ segundos. Às $22:00$ horas, as três luzes coincidiram.

1. a) A cada quantos minutos e segundos as três luzes coincidem?
2. b) Quantas vezes as três luzes coincidirão no total das $22:00$ às $23:00$ horas? (Leve em consideração que a primeira coincidência ocorre às $22:00$).

Encontre todos os números naturais menores que $150$ que sejam múltiplos comuns de $4, 6$ e $9$ ao mesmo tempo. Para isso:

1. a) Calcule primeiro o $m.c.m.(4, 6, 9)$.
2. b) Escreva a sequência de múltiplos desse valor até atingir o limite indicado.
3. c) Qual é o maior múltiplo desses três números que é menor que $500$?

O mínimo múltiplo comum de dois números naturais, $24$ e $b$, é igual a $120$. Ou seja, $m.c.m.(24, b) = 120$.

1. a) Decomponha em fatores primos tanto o número $24$ quanto o resultado, $120$.
2. b) Deduza qual fator primo tem de aparecer obrigatoriamente na decomposição de $b$ e explique por que nenhum número que não tenha esse fator primo poderia satisfazer a condição.
3. c) Encontre os três menores valores que o número $b$ pode assumir, sabendo que $b > 1$. Verifique em cada caso que o $m.c.m.(24, b)$ continua sendo exatamente $120$.
4. d) O número $b$ poderia ser igual a $120$? Justifique se é possível com base na relação de divisibilidade entre $24$ e $120$.

Uma oficina de cerâmica em Campinas fabrica azulejos retangulares de $15\text{ cm}$ de largura por $24\text{ cm}$ de comprimento. Pretendem colocá-los sobre uma parede, sem cortar nenhuma peça e todos orientados no mesmo sentido, para formar uma superfície quadrada a menor possível.

1. a) Justifique com precisão por que razão a medida do lado desse quadrado deve ser um múltiplo comum de $15$ e $24$, e calcule quanto medirá o lado do menor quadrado que podem formar.
2. b) De quantos azulejos retangulares precisarão no total para cobrir esse primeiro quadrado? Justifique a sua resposta relacionando as dimensões do quadrado com as do azulejo.
3. c) Um cliente pretende encomendar um painel quadrado maior, mas a oficina dispõe apenas de uma caixa com $140$ azulejos desse modelo. Justifique se terão peças suficientes para formar o tamanho seguinte de quadrado possível sem que falte nem sobre nenhum azulejo no painel.