Exercícios: Conceito

Em uma loja de esportes, os preços de três artigos foram escritos por extenso. Escreva em seu caderno o número decimal que corresponde a cada um utilizando algarismos:

1. a) Uns óculos de natação que custam oito reais e quinze centavos.
2. b) Uma bola de tênis que custa dois reais e oito centavos.
3. c) Um calção de corrida que custa doze reais e cinquenta centavos.

Indique qual é a posição (unidades, décimos, centésimos ou milésimos) do algarismo $7$ em cada um dos seguintes números:

1. a) $15,72$
2. b) $0,007$
3. c) $7,431$
4. d) $2,075$

Decomponha os seguintes números decimais de acordo com as suas ordens, como no exemplo:

Exemplo: $4,25 = 4$ unidades + $2$ décimos + $5$ centésimos.

1. a) $8,39$
2. b) $12,045$
3. c) $0,614$

Observe a seguinte reta numérica e escreva qual número decimal corresponde a cada uma das letras marcadas com um ponto laranja:

Copie em seu caderno e utilize os sinais $<$ ou $>$ para comparar estes pares de números decimais:

1. a) $5,4$ ____ $5,39$
2. b) $0,25$ ____ $0,3$
3. c) $12,07$ ____ $12,071$
4. d) $6,1$ ____ $6,099$

Relacione cada número decimal com a sua fração decimal correspondente:

• Números: $0,7$ | $0,07$ | $7,7$ | $0,77$

• Frações: $\frac{77}{100}$ | $\frac{7}{10}$ | $\frac{7}{100}$ | $\frac{77}{10}$

Se dividirmos um quadrado em $100$ partes iguais, cada parte é um centésimo ($0,01$). Observe a seguinte imagem e escreva qual número decimal representa a região sombreada em laranja:

Complete estas equivalências entre ordens de unidades:

1. a) $4$ unidades = ____ décimos.
2. b) $70$ centésimos = ____ décimos.
3. c) $5$ décimos = ____ milésimos.
4. d) $300$ milésimos = ____ centésimos.

A Ana está ordenando medidas para uma aula prática do laboratório escolar e afirma com segurança: «O número $3,125$ é maior do que $3,8$ porque $125$ é muito maior do que $8$».

1. a) Explique qual é o erro conceitual que a Ana comete em relação ao valor posicional dos algarismos decimais depois da vírgula.
2. b) Mostre como se comparam corretamente os dois números igualando a quantidade de algarismos decimais por meio de zeros.
3. c) Escreva a relação de ordem correta entre eles utilizando o símbolo adequado ($<$ ou $>$).

Numa prova do Campeonato Espanhol de Atletismo Sub-14, o sistema de cronometragem digital registrou os tempos de três atletas na final dos $80\text{ m}$ planos: o Darío demorou $10,18\text{ s}$, o Lucas marcou $10,2\text{ s}$ e o Mateo parou o cronômetro em $10,105\text{ s}$.

1. a) Escreva os três tempos com a mesma precisão (em milésimos de segundo) acrescentando os zeros necessários para que tenham o mesmo número de casas decimais.
2. b) Ordene os atletas do menor para o maior tempo (do mais rápido para o mais lento) para determinar as posições do pódio.
3. c) Quantos centésimos de segundo separaram o vencedor da prova do segundo colocado? Justifique a sua resposta a partir do valor posicional de cada algarismo.

Em um laboratório de ciências, um grupo de estudantes mediu a massa de uma amostra de mineral com uma balança de precisão. O resultado obtido é de $42,308$ gramas.

Indique qual valor cada algarismo representa neste número:

• O algarismo $4$ representa ............................

• O algarismo $2$ representa ............................

• O algarismo $3$ representa ............................

• O algarismo $0$ representa ............................

• O algarismo $8$ representa ............................

Escreva também a sua decomposição polinômica utilizando unidades e frações decimais.

Nas olimpíadas escolares, os tempos registrados na final dos $100$ metros rasos foram muito acirrados. Os juízes anotaram os seguintes resultados em segundos:

$12,45$ — $12,408$ — $12,5$ — $12,099$ — $12,41$

Ordene os corredores do mais rápido (menor tempo) ao mais lento (maior tempo) utilizando o símbolo $<$ e escreva como se lê o número decimal correspondente ao vencedor da medalha de ouro.

Observe a seguinte reta numérica onde foram representados vários pontos. Identifique qual número decimal exato corresponde a cada uma das letras marcadas ($A$, $B$ e $C$).

Classifique os seguintes números decimais indicando se são decimais exatos, dízimas periódicas simples ou dízimas periódicas compostas. Para os periódicos, indique claramente qual é o período e, se houver, a parte não periódica:

1. a) $5,08$
2. b) $2,333...$
3. c) $14,252525...$
4. d) $0,1666...$
5. e) $3,141592...$ (este último é um número decimal periódico?)

Às vezes as frações nos ajudam a entender melhor o tipo de número decimal que temos. Sem realizar a divisão longa, classifique a representação decimal das seguintes frações como exata ou periódica:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{4}{9}$
3. c) $\frac{13}{6}$
4. d) $\frac{1}{25}$

Maria Eduarda está organizando a sua mochila para um passeio. Comprou uma garrafa de água por $1,25$ reais, um saco de frutas secas por $3,050$ reais e um boné por $9,9$ reais.

1. a) Escreva todos os preços de forma que tenham o mesmo número de casas decimais (acrescentando zeros, se necessário).
2. b) Transforme o preço do boné em uma fração irredutível.
3. c) Quantos centavos de reais custa o saco de frutas secas?

Uma das propriedades mais curiosas dos números decimais é que sempre podemos encontrar outro número entre dois dados, por mais próximos que estejam.

Represente graficamente em uma reta o intervalo entre $0,56$ e $0,57$ e posicione nela três números decimais que estejam entre ambos.

Você pode fazer em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Para descobrir se a fração $\frac{18}{150}$ dá origem a uma dízima finita, dízima infinita periódica simples ou dízima infinita periódica mista, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• Método A (Marcos): Realizar diretamente a divisão $18 : 150$ com o algoritmo tradicional no papel até verificar se o resto é zero ou se os algarismos começam a repetir-se.

• Método B (Sara): Simplificar primeiro a fração para a sua forma irredutível e decompor depois o novo denominador em fatores primos para aplicar o critério dos dois e dos cincos.

1. a) Aplica ambos os métodos passo a passo e classifica o decimal resultante.
2. b) Se em vez dessa fração te pedissem para classificar $\frac{21}{8.750}$, qual dos dois métodos escolherias e porquê? Justifica a tua decisão explicando a relação entre os fatores primos do denominador e as potências de $10$.

Propomos que você estude o valor decimal da fração $\frac{13}{32}$ combinando estimativa e análise teórica:

1. a) Estime: Sem fazer a divisão, calcule mentalmente entre quais duas décimas consecutivas ($0,1$; $0,2$; $0,3$; $0,4$; $0,5$...) deve estar este número. Para se orientar, compare-a com frações de referência mais simples com esse mesmo denominador, como $\frac{8}{32}$ e $\frac{16}{32}$.
2. b) Verifique: Faça a divisão até obter as três primeiras casas decimais e verifique se a sua estimativa estava correta.
3. c) Justifique: Observando a decomposição em fatores primos do denominador de $\frac{13}{32}$, justifique se o desenvolvimento decimal completo terá um número finito de algarismos (dízima finita) ou infinitos algarismos periódicos. Se for finita, deduza quantas casas decimais terá no total sem precisar continuar a dividir.

Um número decimal é composto por $4$ unidades, $15$ décimos, $27$ centésimos e $105$ milésimos. Faça os agrupamentos necessários (por exemplo, $10$ milésimos formam $1$ centésimo, $10$ centésimos formam $1$ décimo e $10$ décimos formam $1$ unidade) para escrever o número corretamente na sua forma decimal padrão e, depois, indique quantos milésimos totais esse número contém.

Encontre um número decimal $x$ que esteja exatamente à mesma distância de $3,14$ e $3,15$. Expresse-o tanto na forma decimal quanto na forma de fração irredutível. Que tipo de número decimal é o resultado?

Classifique as seguintes frações de acordo com o tipo de representação decimal que geram (Exata, Dízima Periódica Simples ou Dízima Periódica Composta) sem realizar a divisão, baseando-se apenas na decomposição em fatores primos dos seus denominadores:

1. a) $\frac{7}{40}$
2. b) $\frac{5}{18}$
3. c) $\frac{11}{21}$
4. d) $\frac{9}{250}$

Escreva a fração geratriz irredutível dos seguintes números decimais periódicos, mostrando o processo passo a passo:

1. a) $2,1\widehat{36}$
2. b) $0,00\widehat{5}$

Ordene do menor para o maior os seguintes números decimais misturados com frações. Para compará-los, transforme todos os elementos para a sua representação decimal com pelo menos quatro algarismos decimais:

$1,2\widehat{5}$ ; $\frac{5}{4}$ ; $1,2525...$ ; $1,25$ ; $\frac{11}{9}$

Descubra de que número se trata sabendo que ele cumpre as seguintes condições:

1. A sua parte inteira é o menor número primo par.

2. Tem quatro casas decimais.

3. O algarismo das milésimas é o triplo do das décimas.

4. A soma de todos os seus algarismos é $15$.

5. O algarismo das décimas de milésimo é a metade do das centésimas.

Um nanômetro ($nm$) equivale a $0,000000001$ metros. Se a espessura de um cabelo humano é de aproximadamente $0,08$ milímetros, expresse essa espessura em metros usando potências de $10$ e determine quantos nanômetros mede o cabelo.

Represente numa reta numérica o intervalo compreendido entre $5,67$ e $5,68$. Divida esse intervalo em dez partes iguais (cada parte mede $0,001$) e marque a posição exata dos números $5,674$ e $5,679$.

1. a) Desenhe a reta com o intervalo dividido em dez partes iguais e escreva embaixo das marcas os números correspondentes.

1. b) Marque na sua reta os números $5,674$ e $5,679$.

1. c) Encontre um número decimal que tenha exatamente cinco casas decimais (o último algarismo diferente de $0$) e que esteja situado entre $5,674$ e $5,679$.

É proposto a você o desafio inverso de construir duas frações irredutíveis distintas, $\frac{A}{B}$ e $\frac{C}{D}$, que cumpram simultaneamente estas três condições:

1. O valor decimal de ambas as frações deve estar compreendido estritamente entre $0,65$ e $0,75$.

2. Os denominadores $B$ e $D$ devem ser números inteiros de dois algarismos menores do que $30$.

3. A fração $\frac{A}{B}$ deve ser uma dízima finita, enquanto a fração $\frac{C}{D}$ deve ser uma dízima periódica composta.

1. a) Deduza quais fatores primos podem (e quais não podem) formar os denominadores $B$ e $D$ para garantir o tipo de dízima pedido em cada caso.
2. b) Encontre um par de frações $\frac{A}{B}$ e $\frac{C}{D}$ que cumpra todas as condições.
3. c) Verifique a sua resposta calculando a representação decimal de ambas e identificando, no caso da dízima periódica composta, o seu anteperíodo e o seu período.

Em um debate sobre números decimais, o Hugo defende a seguinte regra: «Para saber se uma fração irredutível dá uma dízima finita só é preciso olhar para o último algarismo do denominador: se terminar em $5$ ou em $0$, é sempre finita porque os números que terminam em $5$ ou em $0$ são divisíveis por $5$ ou por $10$. Pelo contrário, se terminar em qualquer outro algarismo, nunca pode ser finita».

1. a) Demonstre que a afirmação do Hugo é falsa encontrando:

• Um contraexemplo de fração irredutível cujo denominador termine em $5$ e NÃO seja finita.

• Um contraexemplo de fração irredutível cujo denominador termine em $0$ e NÃO seja finita.

• Um contraexemplo de fração irredutível cujo denominador NÃO termine nem em $5$ nem em $0$ e SEJA finita.

1. b) Classifique o tipo de dízima que cada um dos seus três contraexemplos gera.
2. c) Explique o erro conceitual do Hugo: por que não basta olhar para o último algarismo e que relação têm os fatores primos do denominador simplificado com a possibilidade de amplificar a fração até uma potência de $10$ ($10$, $100$, $1.000$...)?