Ejercicios: Información acerca de la función

Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$, realiza un estudio previo de sus elementos básicos determinando:

1. a) El dominio de definición de la función.

1. b) Los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

1. c) La existencia de simetrías (indica si es par, impar o no presenta simetría).

Un equipo de ingenieros está monitorizando la temperatura de un componente electrónico. La evolución de la temperatura $T$ (en grados Celsius) respecto al tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la función:

$T(t) = \dfrac{40t + 100}{t + 2}$ con $t \geq 0$

Se pide:

1. a) Hallar la temperatura inicial del componente ($t=0$).

1. b) Determinar la asíntota horizontal de la función e interpretar su significado en el contexto del problema (temperatura a largo plazo).

Estudia la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento) y calcula los extremos relativos (máximos y mínimos) de la siguiente función polinómica:

$f(x) = x^3 - 3x + 2$

Dada la función $f(x) = \frac{2x}{x-1}$, determina:

1. Las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.

2. La posición de la curva respecto a dichas asíntotas mediante el estudio de los límites laterales y en el infinito.

Analiza la curvatura de la función $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Para ello:

1. Halla la segunda derivada $f''(x)$.

2. Determina los intervalos de concavidad ($\cup$) y convexidad ($\cap$).

3. Encuentra las abscisas de los puntos de inflexión.

Se conoce la siguiente información sobre una función $f(x)$ continua en todo $\mathbb{R}$:

• Corta al eje $X$ en $x = -2$ y $x = 2$.

• Tiene un mínimo relativo en $(0, -4)$.

• Es decreciente en $(-\infty, 0)$ y creciente en $(0, +\infty)$.

• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

Dibuja un esbozo de la gráfica que cumpla todas estas condiciones. Para ayudarte, aquí tienes los ejes con los puntos que se conocen; copia los ejes en tu papel y traza la curva.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Determina el periodo de la función trigonométrica $f(x) = \sin(2x)$. A continuación, indica razonadamente si la función presenta algún tipo de simetría respecto al origen o al eje de ordenadas.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$, realiza un estudio de sus ramas infinitas:

1. a) Comprueba si tiene asíntotas verticales.

1. b) Comprueba si tiene asíntotas horizontales.

1. c) En caso de no tener asíntota horizontal, averigua si tiene una asíntota oblicua y halla su ecuación.

En un examen de 2.º de Bachillerato, Marta debe analizar la función racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 5x + 6}$ y escribe en su desarrollo:

«1. Los ceros del denominador son $x = 2$ y $x = 3$. Por tanto, la gráfica tiene dos asíntotas verticales en las rectas $x = 2$ y $x = 3$.

1. Como la función contiene términos cuadráticos ($x^2$) e independientes tanto en el numerador como en el denominador, la función es par y simétrica respecto al eje $OY$».

1. a) Identifica los dos errores conceptuales cometidos por Marta y explica con rigor matemático por qué su razonamiento es incorrecto en cada caso.
2. b) Realiza la corrección adecuada: determina el dominio real de $f$, factoriza la expresión para simplificarla, calcula los límites laterales pertinentes para clasificar el comportamiento en $x = 2$ y $x = 3$ (distinguiendo entre asíntota vertical y discontinuidad evitable) y comprueba formalmente la simetría evaluando $f(-x)$.

Considera la función $f(x) = \frac{4x - 1}{\sqrt{x^2 + 3}}$.

1. a) Estima razonadamente: Antes de aplicar técnicas de límites analíticos, razona sobre el comportamiento de la función cuando la variable $x$ toma valores extremadamente grandes en valor absoluto ($x \to +\infty$ y $x \to -\infty$). A partir de esa intuición cualitativa:

• Estima cuántas asíntotas horizontales esperas encontrar y en qué valores aproximados de $y$ se situarán.

• Predice si la gráfica corta al eje horizontal de abscisas ($OX$) y en qué punto debería hacerlo.

1. b) Comprueba formalmente: Calcula los límites $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, prestando atención al signo que introduce la raíz cuadrada al extraer factor común ($√{x^2} = |x|$), y deduce las ecuaciones exactas de las asíntotas horizontales. Halla el punto de corte con el eje $OX$ y valora si tus estimaciones iniciales eran correctas o si omitiste algún cambio de signo.

Realiza un estudio completo de la monotonía y los extremos relativos de la función racional $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$. Determina con precisión los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de sus máximos y mínimos si los tuviera.

Considera la función polinómica $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Halla los intervalos de concavidad y convexidad, así como las coordenadas exactas de sus puntos de inflexión. Utiliza el símbolo $\cup$ para denotar los intervalos donde la función es convexa (curvatura hacia arriba) y $\cap$ para los intervalos donde es cóncava (curvatura hacia abajo).

Determina todas las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas) de la función $f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x - 3}$. En caso de que exista una asíntota oblicua, calcula su ecuación de la forma $y = mx + n$ y estudia la posición de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to \infty$.

Dibuja el esbozo de la gráfica de una función continua $f(x)$ que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones obtenidas de su estudio analítico:

• Dominio: $\mathbb{R} - \{0\}$

• Cortes con los ejes: $(2, 0)$ y $(-2, 0)$.

• Asíntota vertical en $x = 0$, con $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.

• Asíntotas horizontales: $y = -1$ cuando $x \to +\infty$ e $y = 1$ cuando $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ en todo su dominio.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un equipo de ingenieros monitoriza el nivel de carga de una nueva batería de litio mediante la función $B(t) = \frac{100t}{t^2 + 9} + 10$, donde $B$ es el porcentaje de carga y $t$ es el tiempo en horas ($t \ge 0$).

1. a) ¿En qué instante alcanza la batería su nivel máximo de carga? Justifica que se trata de un máximo.

1. b) ¿A qué valor tiende la carga de la batería si se deja conectada indefinidamente? Justifica la respuesta mediante el cálculo de límites.

Dada la gráfica de la función derivada $f'(x)$ que se muestra a continuación (una recta que pasa por los puntos $(-2, 0)$ y $(0, 4)$), indica razonadamente:

1. a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$.
2. b) La abscisa de los extremos relativos de $f(x)$ y su tipo (máximo o mínimo).
3. c) El intervalo de concavidad o convexidad de $f(x)$.

Se considera la función $f(x) = \ln(x^2 + k)$, donde $k$ es un parámetro real.

1. a) Determina el valor de $k$ para que la función tenga un punto de inflexión en $x = 1$.
2. b) Para ese valor de $k$, estudia el dominio de la función y comprueba si presenta algún tipo de simetría (par o impar).

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{ax}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

1. a) Calcula el valor de $a$ para que la función sea derivable en $x = 0$.
2. b) Para el valor de $a$ obtenido, estudia si la función tiene alguna asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$.

Diseña la expresión analítica de una función racional irreducible $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios con coeficientes reales) que cumpla simultáneamente las siguientes cinco condiciones:

1. Su gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas ($OY$).

2. Su dominio de definición es $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$, presentando asíntotas verticales en ambas abscisas.

3. Tiene una asíntota horizontal de ecuación $y = 3$.

4. Corta al eje vertical de ordenadas en el punto $(0, -1)$.

5. No corta en ningún punto al eje de abscisas ($OX$).

Justifica paso a paso cómo eliges el grado, las raíces y los coeficientes de $P(x)$ y de $Q(x)$ para satisfacer cada una de las condiciones dadas. Por último, comprueba formalmente que la función obtenida presenta un extremo relativo en $(0, -1)$ mediante el estudio del signo de su primera derivada $f'(x)$.

A partir de datos hidrológicos inspirados en los informes del Ministerio para la Transición Ecológica (MITECO), el porcentaje de capacidad de agua embalsada $V(t)$ en una cuenca del sur peninsular a lo largo del tiempo $t$ (en meses, con $t \ge 0$, donde $t = 0$ representa el inicio de un plan especial de gestión tras una sequía) se modeliza mediante la función:

1. a) Interpreta el significado físico del valor inicial $V(0)$ en el contexto del problema y justifica si tiene sentido buscar puntos de corte con el eje de abscisas para $t \ge 0$.
2. b) Estudia la existencia de asíntotas horizontales cuando $t \to +\infty$. Interpreta su significado en términos de gestión ambiental a largo plazo y explica por qué, según este modelo, el volumen de agua almacenada nunca llegará a alcanzar el $60\,\%$.
3. c) Analiza la monotonía de $V(t)$ calculando el signo de su primera derivada para $t > 0$. A continuación, obtén la segunda derivada $V''(t)$ y determina en qué mes exacto el ritmo de llenado de los embalses alcanza su velocidad máxima (punto de inflexión de la curva).

Se considera la función $f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x + c}$. Determina los valores de los parámetros reales $a$, $b$ y $c$ sabiendo que se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

1. La recta $x = 2$ es una asíntota vertical de la gráfica de la función.

2. La función presenta un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 3$.

3. La recta tangente a la gráfica en el punto de corte con el eje $OY$ es paralela a la recta $y = -2x + 5$.

Una vez hallados los parámetros, estudia la existencia de una asíntota oblicua y determina la posición relativa de la curva respecto a ella.

La siguiente gráfica corresponde a la función derivada $f'(x)$ de una función continua $f(x)$ definida en todo $\mathbb{R}$. A partir de la información visual proporcionada:

1. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$.

2. Determina las abscisas de los extremos relativos de $f(x)$ clasificándolos en máximos o mínimos.

3. Estudia la curvatura de $f(x)$ y localiza sus puntos de inflexión.

4. Si se sabe que $f(0) = 1$, realiza un esbozo de la gráfica de la función original $f(x)$ justificando la forma obtenida.

Dada la función $f(x) = (x^2 - 1) \cdot e^{-x}$, realiza un estudio exhaustivo para su representación gráfica analizando:

1. Dominio y puntos de corte con los ejes de coordenadas.

2. Comportamiento en el infinito (límites y asíntotas).

3. Intervalos de monotonía y extremos relativos (abscisas y ordenadas).

4. Puntos de inflexión y convexidad.

5. Utiliza toda la información anterior para dibujar la gráfica de la función, destacando especialmente el comportamiento asintótico horizontal.

Un equipo de ingenieros está diseñando el perfil de una rampa de salto para una competición de skate. El perfil lateral sigue la curva de la función $f(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)$ en el intervalo $[0, 3]$.

1. Encuentra el punto de la rampa que se encuentra a menor altura respecto al suelo.

2. Determina los puntos de la rampa donde la pendiente es máxima y mínima. ¿Qué interpretación física tienen estos puntos en el contexto del patinaje?

3. Estudia si la función tiene algún punto de inflexión en dicho intervalo y explica cómo cambia la sensación del patinador al pasar por él.

Sea la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x-1} & \text{si } x < 0 \\ \ln(x^2 + 1) + ax + b & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

1. Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en $x = 0$, sabiendo que en el primer tramo el parámetro $k$ toma el valor $1$.

2. Para los valores hallados, estudia si la función posee alguna asíntota oblicua cuando $x \to -\infty$. En caso afirmativo, hállala.

3. ¿Presenta la función algún extremo relativo en el intervalo $(0, +\infty)$? Justifica tu respuesta.

Se desea inscribir un rectángulo de área máxima en la región del primer cuadrante limitada por el eje $OX$, el eje $OY$ y la gráfica de la función $f(x) = 4e^{-0,5x}$.

1. Expresa el área del rectángulo en función de la abscisa $x$ de uno de sus vértices situados sobre el eje $OX$.

2. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo para que su área sea máxima.

3. Realiza un dibujo de la situación utilizando el siguiente esquema visual.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función $f(x) = x \cdot |x - 2|$. A partir de este estudio:

1. Expresa la función como una función definida a trozos.

2. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

3. Determina los máximos y mínimos relativos y absolutos en el intervalo $[0, 4]$.

4. Estudia la curvatura y los puntos de inflexión. Ten especial cuidado con el punto donde la función cambia de definición.

Considera la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$.

1. Analiza sus simetrías y dominio.

2. Determina todas sus asíntotas y la posición de la gráfica respecto a ellas.

3. Encuentra los puntos de la gráfica donde la recta tangente es horizontal.

4. Demuestra que la función es cóncava en todo su dominio excepto en el intervalo $(-1, 1)$, donde es convexa.

5. Esboza la gráfica de la función integrando todos los elementos anteriores.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Para estudiar las asíntotas y la posición relativa de la curva respecto a ellas en la función racional $f(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 - 5x + 6}{x^2 - 1}$, dos alumnos de 2.º de Bachillerato plantean métodos distintos:

• Método 1 (Límites estándar): Calcular directamente los ceros del denominador ($x = \pm 1$) para postular asíntotas verticales, determinar la asíntota oblicua $y = mx + n$ mediante los límites $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ y $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$, y estudiar la posición de la curva respecto a la asíntota evaluando la diferencia $f(x) - (mx + n)$ en valores numéricos grandes como $x = 1000$ y $x = -1000$.

• Método 2 (Simplificación previa y descomposición polinómica): Factorizar numerador y denominador para simplificar factores comunes antes del cálculo asintótico, y realizar la división euclídea de polinomios para expresar la función en la forma $f(x) = mx + n + \frac{R(x)}{D(x)}$.

1. a) Compara críticamente ambos métodos: ¿qué falso supuesto comete quien aplica el Método 1 en $x = 1$? ¿Por qué evaluar en valores puntuales ($x = \pm 1000$) no constituye una demostración rigurosa de la posición de la curva?
2. b) Justifica razonadamente cuál de los dos métodos es más seguro, general y eficiente para este tipo de funciones.
3. c) Siguiendo el método más conveniente, determina justificadamente la única asíntota vertical, la ecuación de la asíntota oblicua, la posición relativa exacta de la curva en $\pm\infty$ mediante el signo algebraico del resto y las coordenadas del punto donde existe una discontinuidad evitable.

Se considera una función $f$ continua en $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ cuya función derivada es:

1. a) Estudia detalladamente el signo de $f'(x)$ y deduce los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$, así como las abscisas de todos sus extremos relativos. Justifica razonadamente por qué en $x = 1$ la función no presenta un extremo relativo a pesar de cumplirse $f'(1) = 0$.
2. b) Sabiendo que la curvatura de $f$ depende del crecimiento de la propia función derivada, calcula la segunda derivada $f''(x)$ simplificando la expresión al máximo. Determina los intervalos de concavidad ($f'' < 0$) y convexidad ($f'' > 0$) de $f$, halla las abscisas de sus puntos de inflexión y clasifica con precisión la naturaleza del punto singular situado en $x = 1$.
3. c) Sabiendo además que $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$ y que $f(1) = 4$, demuestra de forma rigurosa que la gráfica de $f$ no puede cortar a la recta $y = 4$ en ningún punto del intervalo $(1, +\infty)$.