Ejercicios: Números reales

Clasifica los siguientes números reales indicando a cuáles de los conjuntos numéricos pertenecen: naturales ($\mathbb{N}$), enteros ($\mathbb{Z}$), racionales ($\mathbb{Q}$) o irracionales ($\mathbb{I}$). Razona brevemente tu respuesta para los números decimales y las raíces:

• $a) \ - \sqrt{16}$

• $b) \ \frac{15}{3}$

• $c) \ 2,131313...$

• $d) \ \sqrt{7}$

• $e) \ \frac{\pi}{2}$

• $f) \ -4,25$

Representa en la recta real los siguientes intervalos y semirrectas, y exprésalos utilizando la notación de conjuntos (usando desigualdades). Para $I_3$, que ya aparece con desigualdades, escríbelo además en notación de intervalo.

• $I_1 = (-3, 2]$

• $I_2 = [0, +\infty)$

• $I_3 = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x < 4\}$

Calcula la distancia entre los siguientes pares de puntos de la recta real utilizando el concepto de valor absoluto:

• $a)$ $x = 5$ e $y = -2$

• $b)$ $x = -8$ e $y = -3$

• $c)$ $x = \frac{1}{2}$ e $y = \frac{3}{4}$

Expresa los siguientes entornos en forma de intervalo abierto y represéntalos gráficamente sobre la recta real:

1. a) $E(2; 3)$ (entorno de centro 2 y radio 3)

1. b) $E(-1; 0,5)$ (entorno de centro $-1$ y radio $0,5$)

1. c) $E^*(0; 4)$ (entorno reducido de centro 0 y radio 4)

Halla los valores de $x$ que cumplen las siguientes igualdades y desigualdades con valor absoluto. Expresa el resultado como un intervalo:

• $a) \ |x| = 7$

• $b) \ |x - 2| = 5$

• $c) \ |x| < 3$

• $d) \ |x + 1| \leq 2$

Un sensor de temperatura en un servidor de datos indica que la CPU está a $42,6^{\circ}C$. Si el valor real medido con un termómetro de precisión es de $42,45^{\circ}C$, calcula:

• $a)$ El error absoluto de la medición del sensor.

• $b)$ El error relativo cometido, expresado en porcentaje.

Simplifica las siguientes expresiones utilizando las propiedades de las potencias y raíces, dejando el resultado en forma de potencia de exponente fraccionario:

• $a) \ \sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt{x}$

• $b) \ \frac{x^3}{\sqrt[4]{x}}$

• $c) \ (\sqrt[5]{x^2})^3$

En una tienda de componentes electrónicos, el precio de un modelo de dron de carreras fluctúa según la oferta del mercado. Se sabe que el precio $p$, en bolivianos, cumple la condición $|p - 150| \leq 20$.

1. a) Determina el intervalo de precios posibles para este dron.

1. b) ¿Cuál es el precio mínimo y el precio máximo que podría pagar un cliente?

Mateo afirma en clase de 2.º de Bachillerato lo siguiente:

«Dado que $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$, podemos asegurar que $\sqrt{x^2 - 6x + 9} = x - 3$ para cualquier valor de $x \in \mathbb{R}$. Por ejemplo, si evaluamos en $x = 1$, tenemos $\sqrt{1 - 6 + 9} = 1 - 3$, lo que demuestra que $\sqrt{4} = -2$».

1. a) Localiza y explica detalladamente los dos errores conceptuales cometidos por Mateo (uno relativo a la definición aritmética de la raíz cuadrada en $\mathbb{R}$ y otro sobre la simplificación algebraica de $\sqrt{A^2}$).
2. b) Corrige la igualdad expresando el resultado correcto de $\sqrt{x^2 - 6x + 9}$ mediante valor absoluto, y desarróllalo como una función definida a trozos según el signo del radicando.
3. c) Comprueba tu corrección evaluando la expresión en $x = 1$ y en $x = 5$, verificando que no surge ninguna contradicción.

A partir de los siguientes conjuntos de números reales, realiza el proceso inverso para construir sus expresiones analíticas:

1. a) Escribe el conjunto de números cuya distancia al punto central $-1,5$ en la recta real es estrictamente menor que $2,5$ utilizando:

1. Una desigualdad con valor absoluto.

2. La notación de entorno simétrico $E(a, r)$.

3. Un intervalo acotado en $\mathbb{R}$.

1. b) Dada la unión de semirrectas $(-\infty; -2] \cup [8; +\infty)$, determina su centro de simetría y su radio de exclusión. A partir de ellos, escribe una única inecuación con valor absoluto cuya solución sea exactamente dicho conjunto.
2. c) Dado el conjunto $(-3; 5) \setminus \{1\}$, exprésalo en la notación de entorno reducido $E^*(a, r)$ e indica qué significado tiene excluir el centro de cara a la definición formal de límite en un punto.

En el proceso de fabricación de microchips para satélites, la longitud de una pista de cobre debe ser de $12,5$ micras. Por razones térmicas, se admite un margen de error (tolerancia) de modo que la diferencia entre la longitud real $x$ y la teórica sea, como máximo, de $0,05$ micras.

a) Expresa esta condición mediante una desigualdad con valor absoluto.

b) Determina el intervalo de valores aceptables para la longitud de la pista utilizando la notación de intervalos.

c) Representa gráficamente dicho intervalo en la recta real.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un laboratorio de biotecnología mantiene una muestra de enzimas en una cámara climática. Para que las enzimas no se desnaturalicen, la temperatura $T$ (en grados Celsius) debe satisfacer la siguiente condición:

Resuelve la inecuación y determina el rango de temperaturas (intervalo) en el que pueden trabajar los investigadores sin dañar la muestra.

Para determinar el dominio de una función futura, necesitamos resolver la siguiente inecuación de segundo grado:

a) Halla las raíces del polinomio asociado.

b) Determina el conjunto solución en forma de intervalo.

c) Justifica el resultado analizando el signo del polinomio en cada tramo de la recta real.

En astrofísica, la distancia entre dos cuerpos celestes se mide a menudo en unidades astronómicas (UA). Supongamos que se han realizado dos mediciones de la distancia a un exoplaneta: $d_1 = 4,56 \cdot 10^8$ km y $d_2 = 4,562 \cdot 10^8$ km.

a) Calcula el error absoluto y el error relativo cometido si tomamos la primera medida como aproximación de la segunda.

b) Expresa el resultado del error relativo en porcentaje y comenta si la aproximación es aceptable para un entorno científico.

Simplifica la siguiente expresión con radicales y potencias, expresando el resultado final como una única potencia de base $a$ y exponente racional:

Dato: Supón que $a > 0$.

El diseño de una pieza metálica triangular requiere que sus lados midan $\sqrt{18}$ cm, $\sqrt{50}$ cm y $\sqrt{98}$ cm.

a) Simplifica cada uno de los radicales extrayendo factores.

b) Calcula el perímetro exacto de la pieza expresándolo como un único radical.

c) Si el material utilizado tiene un costo de $17,50$ bolivianos por cada centímetro de perímetro, calcula el costo total aproximando a dos cifras decimales.

Utilizando las propiedades de los logaritmos, desarrolla la siguiente expresión en términos de $\log x$, $\log y$ y $\log z$:

A continuación, si sabemos que $\log x = 0,5$, $\log y = 1,2$ y $\log z = 0,8$, calcula el valor numérico de $L$.

Dados los siguientes subconjuntos de la recta real:

$A = \{ x \in \mathbb{R} : |x - 2| < 3 \}$

$B = [ -1, 4 ]$

a) Expresa el conjunto $A$ mediante un intervalo.

b) Calcula y expresa mediante intervalos el conjunto resultante de la intersección $A \cap B$.

c) Calcula y expresa mediante intervalos el conjunto resultante de la unión $A \cup B$.

El Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (SENAMHI) monitorea las condiciones extremas en dos observatorios bolivianos muy diferentes. En la estación de alta montaña de Chacaltaya (La Paz), el termómetro registra una temperatura mínima de $-4,0\text{ }^\circ\text{C}$ con una cota de error absoluto del sensor de $0,2\text{ }^\circ\text{C}$. Por su parte, la estación del Aeropuerto de Viru Viru (Santa Cruz) registra en época de verano una temperatura máxima de $40,0\text{ }^\circ\text{C}$ con una cota de error absoluto de $0,8\text{ }^\circ\text{C}$.

1. a) Modela el intervalo de temperaturas reales admisibles para cada observatorio mediante una inecuación con valor absoluto y mediante la notación de entorno simétrico $E(a, r)$.
2. b) Calcula la cota de error relativo porcentual para cada una de las dos mediciones.
3. c) Interpreta los resultados: aunque el sensor de Chacaltaya tiene una cota de error absoluto cuatro veces menor que el de Santa Cruz ($0,2\text{ }^\circ\text{C}$ frente a $0,8\text{ }^\circ\text{C}$), ¿cuál de las dos mediciones es de mejor calidad relativa? Justifica por qué el error relativo es el criterio objetivo para comparar precisiones entre magnitudes de distinta escala.

Se considera el número real $K = \log_3(80) - \sqrt{17} + \log_2\left(\frac{1}{10}\right)$.

1. a) Estima: Sin recurrir a la calculadora:

1. Acota $\log_3(80)$ entre dos enteros consecutivos justificando tu respuesta mediante las potencias de base $3$.

2. Acota $\sqrt{17}$ entre dos enteros consecutivos comparando con cuadrados perfectos.

3. Acota $\log_2\left(\frac{1}{10}\right)$ entre dos enteros consecutivos sabiendo que $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ y utilizando potencias de base $2$.

A partir de estas tres acotaciones, obtén un intervalo para el valor de $K$ y predice de forma razonada si su signo debe ser positivo o negativo.

1. b) Comprueba y afina: Sabiendo que $80$ está sumamente próximo a $81$ y que $17$ está sumamente próximo a $16$, aproxima mentalmente el valor de la diferencia $\log_3(80) - \sqrt{17}$. A continuación, teniendo en cuenta que $2^3 = 8$ y $2^{3,5} = \sqrt{128} \approx 11,31 > 10$, comprueba si el valor global de $K$ se encuentra más cerca de $-3$ o de $-4$. Justifica si esta comprobación confirma o desmiente la predicción de tu estimación inicial.

Determina razonadamente el conjunto de valores de $x \in \mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente desigualdad simultánea, expresando el resultado final en forma de unión de intervalos:

Ten en cuenta las restricciones del dominio y analiza los diferentes casos según el signo del contenido del valor absoluto.

En el diseño de una pieza de alta precisión para un motor aeroespacial, el radio de un cilindro, denotado por $x$, debe cumplir que su diferencia con el radio nominal de $5\text{ cm}$ sea tan pequeña que el error en el área de su sección transversal, $A(x) = \pi x^2$, no supere los $0,01\text{ cm}^2$.

Utilizando la definición formal de entorno reducido $E^*(a, \delta)$, encuentra el valor máximo de la tolerancia $\delta$ que puede tener el radio $x$ para asegurar que el área se mantenga en el entorno $E(25\pi, 0,01)$. Expresa el resultado de $\delta$ en función de $\pi$ de forma exacta.

Demuestra, utilizando exclusivamente la definición métrica de límite ($\varepsilon - \delta$), que:

Para ello, dado un $\varepsilon > 0$, encuentra una expresión para $\delta$ en función de $\varepsilon$ (puedes suponer una acotación inicial para $\delta$, por ejemplo $\delta \leq 1$).

Considera la sucesión definida por el término general $a_n = \frac{3n^2 - 1}{n^2 + 2n}$.

1. a) Calcula el límite $L$ de la sucesión cuando $n \to \infty$.
2. b) Determina, a partir de qué valor del índice $n_0 \in \mathbb{N}$, todos los términos de la sucesión se encuentran a una distancia de $L$ menor que una milésima ($\varepsilon = 10^{-3}$).

Halla el conjunto de valores reales que satisfacen la siguiente inecuación con doble valor absoluto:

Representa la solución en la recta real y exprésala mediante un único intervalo abierto.

Se define la función $f(x) = \sqrt{x^2 - kx + 9}$. Determina el conjunto de valores del parámetro real $k$ para los cuales el dominio de la función es toda la recta real $\mathbb{R}$.

Para el valor más grande de dicho conjunto, estudia si existe alguna asíntota horizontal u oblicua cuando $x \to +\infty$.

Un inversionista analiza el crecimiento de un activo financiero cuyo valor en miles de bolivianos viene dado por la función $V(t) = \frac{28t^2 + k}{t^2 + 1}$, donde $t \geq 0$ es el tiempo en años.

1. a) Si se sabe que el valor inicial del activo fue de $7\,000$ bolivianos, determina el valor de la constante $k$.
2. b) ¿Cuál será el valor del activo a "muy largo plazo"? Justifica tu respuesta utilizando el concepto de límite en el infinito.
3. c) ¿En algún momento el valor del activo superará los $28\,000$ bolivianos? Demuéstralo analíticamente mediante una inecuación.

Dada la función $f(x) = \ln(|x^2 - 4| - 5)$, determina de forma exacta su dominio de definición. Expresa el resultado como unión de intervalos, prestando especial atención a los valores donde el argumento del logaritmo se anula o es negativo. Analiza la simetría de dicho dominio.

Para resolver en $\mathbb{R}$ la inecuación $|x + 2| + |x - 4| \le 8$, tres estudiantes de 2.º de Bachillerato proponen estrategias distintas:

• Álvaro propone elevar al cuadrado ambos miembros directamente para eliminar las barras de valor absoluto.

• Berta propone estudiar el signo de cada binomio en los intervalos determinados por las raíces $x = -2$ y $x = 4$, resolviendo la inecuación sin valor absoluto en cada uno de los tres tramos.

• Clara propone interpretar geométricamente la expresión como la suma de las distancias desde un punto $x$ hasta los puntos $-2$ y $4$ sobre la recta real, razonando sobre las distancias mínimas y el margen sobrante.

1. a) Analiza la propuesta de Álvaro: explica algebraicamente qué término cruzado aparece al elevar al cuadrado el miembro izquierdo y por qué este método no simplifica el problema, sino que lo complica.
2. b) Aplica de forma completa y ordenada el método de Berta (estudio por tramos), detallando las soluciones parciales de cada caso y la solución global en forma de intervalo.
3. c) Resuelve la inecuación aplicando el método de Clara mediante razonamiento puramente geométrico: ¿cuál es la distancia mínima entre $-2$ y $4$? ¿Cómo se distribuye la distancia restante de $8$ a izquierda y derecha?
4. d) Justifica cuál de los dos métodos válidos (B o C) es más eficiente en este ejercicio y plantea una pequeña modificación en la inecuación que obligaría a abandonar el método geométrico de Clara y a recurrir obligatoriamente al método por tramos de Berta.

En el diseño de un sensor óptico para el Gran Telescopio Canarias (GTC), la respuesta lumínica viene modelizada por la función $f(x) = \dfrac{8}{x + 1}$, donde $x > 0$ representa el grosor en milímetros de un filtro de calibración. El valor nominal de referencia para el grosor es $a = 3\text{ mm}$, al cual le corresponde una salida nominal $L = f(3) = 2$.

El equipo de ingeniería exige que la respuesta lumínica no se desvíe de $2$ en más de $\varepsilon = 0,1$, es decir, se requiere que $f(x) \in E(2; 0,1)$.

1. a) Problema inverso: Resuelve la doble desigualdad $1,9 < \dfrac{8}{x + 1} < 2,1$ para determinar el intervalo exacto $(x_1, x_2)$ en el que debe mantenerse el grosor $x$.
2. b) Comprueba que el intervalo $(x_1, x_2)$ obtenido no está centrado exactamente en el valor nominal $a = 3$. Calcula las distancias $d_1 = |3 - x_1|$ y $d_2 = |x_2 - 3|$.
3. c) Determina el mayor valor del radio $\delta > 0$ de un entorno simétrico centrado en $3$, $E(3, \delta)$, de manera que se garantice rigurosamente la implicación:

¿Por qué debes elegir obligatoriamente $\delta = \min(d_1, d_2)$ y no el mayor de los dos radios?

1. d) Traduce toda la condición anterior a la formulación formal con valor absoluto: $|x - 3| < \delta \implies |f(x) - 2| < 0,1$. Explica de forma razonada la conexión directa entre este resultado y la definición formal del límite $\lim_{x \to 3} f(x) = 2$ mediante entornos $\varepsilon$-$\delta$.