Ejercicios: Rectas y puntos notables de un triángulo

Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ y $C(-1, 5)$.

Halla la ecuación explícita de la mediana que parte del vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, -2)$ y $C(2, 6)$.

Determina la ecuación general de la altura trazada desde el vértice $B$ en el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(1, -5)$.

Calcula la ecuación general de la mediatriz del lado $AB$ de un triángulo sabiendo que sus vértices correspondientes son $A(2, 5)$ y $B(-4, 1)$.

Halla las coordenadas del ortocentro del triángulo rectángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ y $C(0, 4)$.

Calcula las coordenadas del circuncentro del triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(8, 0)$ y $C(0, 6)$.

Comprueba analíticamente si el punto $P(1, 2)$ es el baricentro del triángulo de vértices $A(2, 3)$, $B(-1, 4)$ y $C(5, 1)$.

Calcula las ecuaciones de las dos bisectrices de los ángulos formados por las rectas que contienen a los lados de un triángulo, cuyas ecuaciones son $3x-4y+1=0$ y $4x+3y-5=0$.

En un examen de Matemáticas de 1.º de Bachillerato, se pide hallar la ecuación general de la altura correspondiente al vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(1, 3)$, $B(-2, 1)$ y $C(4, -1)$.

Marcos entrega la siguiente resolución:

1.º Halla el punto medio del lado $BC$: $M = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right) = (1, 0)$.

2.º Calcula la pendiente del lado $BC$: $m_{BC} = \frac{-1-1}{4-(-2)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

3.º Deduce la pendiente perpendicular: $m_\perp = 3$.

4.º Escribe la recta con pendiente $3$ que pasa por $M(1, 0)$: $y - 0 = 3(x - 1) \implies 3x - y - 3 = 0$.

Identifica y explica detalladamente el error conceptual cometido por Marcos: ¿qué recta notable ha calculado en realidad en lugar de la altura? A continuación, redacta el procedimiento correcto y obtén la ecuación general de la altura que se pedía.

En un triángulo $\triangle ABC$, se conocen dos de sus vértices: $A(-3, 2)$ y $B(5, -4)$. Se sabe además que su baricentro (centro de gravedad) se sitúa en el punto $G(1, 1)$.

1. a) Plantea las ecuaciones vectoriales o analíticas necesarias y determina razonadamente las coordenadas del tercer vértice $C$.
2. b) Con las coordenadas de los tres vértices ya calculadas, clasifica el triángulo según la longitud de sus lados (equilátero, isósceles o escaleno), justificando tu respuesta con el cálculo explícito de sus módulos.
3. c) Halla la ecuación continua de la recta que contiene a la mediana que parte del vértice $C$.

Tres árboles en una plantación agrícola están situados en los puntos $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ y $C(1, 5)$ (coordenadas expresadas en decenas de metros). Se quiere instalar un aspersor que equidiste de los tres árboles. Calcula las coordenadas del punto donde debe colocarse (circuncentro) y el radio de alcance del agua necesario para regarlos.

Tres antenas de telecomunicaciones forman un triángulo con vértices en $A(-4, 0)$, $B(2, -2)$ y $C(5, 5)$. Calcula la ubicación del centro de gravedad (baricentro) para colocar un transmisor central, y determina la distancia exacta desde dicho transmisor hasta la antena $C$.

En un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ y $C(a, b)$, se sabe que el baricentro es el punto $G(2, 1)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$ y la ecuación continua de la mediana que parte de dicho vértice.

Un edificio tiene una planta triangular con vértices en los puntos $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ y $C(2, 5)$. Calcula las coordenadas del ortocentro de dicho triángulo.

El ortocentro de un triángulo es el punto $H(2, 2)$. Se conocen dos de sus vértices, que son $A(-1, 3)$ y $B(4, 1)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$.

Dado el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 6)$, halla las coordenadas de su baricentro y de su ortocentro. A continuación, obtén la ecuación general de la recta de Euler que pasa por ambos puntos.

Un triángulo tiene vértices $A(1, 1)$ y $B(5, 1)$. El vértice $C$ se encuentra sobre la recta de ecuación $y = x+2$. Sabiendo que el triángulo es isósceles y que el lado desigual es $AB$, halla las coordenadas del vértice $C$ y de su circuncentro.

Tres refugios de montaña están situados en las coordenadas $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ y $C(-2, -2)$ (expresadas en kilómetros). Un helicóptero de rescate se mantiene en vuelo estacionario en el circuncentro del triángulo formado por los refugios. Calcula las coordenadas del helicóptero y el radio de la circunferencia que abarca a los tres refugios.

Considera el triángulo de vértices $A(-4, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(0, 6)$.

1. a) Estima antes de calcular: Observando las coordenadas y la simetría del triángulo respecto al eje de ordenadas, ¿sobre qué recta deben situarse necesariamente el baricentro $G$, el ortocentro $H$ y el circuncentro $O$? Clasifica además el ángulo en el vértice $C$ (calculando el signo del producto escalar $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$) para razonar si el ortocentro y el circuncentro quedarán dentro o fuera del triángulo.
2. b) Calcula: Obtén analíticamente las coordenadas del circuncentro $O$ (mediante la intersección de mediatrices o la condición de equidistancia a los vértices) y del ortocentro $H$ (intersecando dos alturas).
3. c) Comprueba: Halla las coordenadas del baricentro $G$ mediante su fórmula directa y comprueba si tus estimaciones del apartado a) eran correctas. Verifica numéricamente si se cumple la relación de la recta de Euler $\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$.

El dispositivo de extinción de incendios forestales de Castilla-La Mancha (Plan INFOCAM) analiza la ubicación de un puesto de mando avanzado helitransportado para coordinar tres torres de vigilancia situadas en los puntos $A(1, 3)$, $B(8, 10)$ y $C(9, 3)$, cuyas coordenadas vienen dadas en kilómetros respecto al centro comarcal. La comisión técnica baraja dos criterios:

• Criterio 1 (Equidistancia): Situar el puesto en el circuncentro $O$, de modo que la distancia en línea recta a cualquiera de las tres torres sea exactamente la misma.

• Criterio 2 (Centro de masas): Situar el puesto en el baricentro $G$, de modo que se minimice el desplazamiento medio habitual del helicóptero.

1. a) Modela analíticamente ambos criterios calculando las coordenadas exactas de la base según el Criterio 1 y según el Criterio 2.
2. b) Si el helicóptero de reconocimiento tiene un radio de acción garantizado de $6\text{ km}$ sin repostar desde su puesto de mando, determina de forma justificada si ambas ubicaciones permiten alcanzar las tres torres dentro de ese límite de seguridad.

Dado un triángulo rectángulo genérico cuyos vértices se sitúan en $A(0,0)$, $B(a,0)$ y $C(0,b)$ con $a, b > 0$, demuestra analíticamente que su ortocentro coincide con el origen de coordenadas y su circuncentro es exactamente el punto medio de la hipotenusa.

Los vértices de un triángulo son $A(1, 0)$, $B(3, 0)$ y $C(t, 2t)$, donde $t$ es un parámetro real que determina la posición del vértice $C$ sobre una recta. Encuentra la ecuación del lugar geométrico que describe el baricentro del triángulo al variar $t$.

De un triángulo $ABC$ se conoce el vértice $A(1, 3)$ y las ecuaciones de dos de sus medianas: $x-2y+1=0$ y $y-1=0$. Calcula las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.

Dados los vértices de un triángulo $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ y $C(1, 5)$, halla las coordenadas del ortocentro $H$, el baricentro $G$ y el circuncentro $O$. Demuestra analíticamente que la distancia entre el ortocentro y el baricentro es el doble de la distancia entre el baricentro y el circuncentro ($HG = 2GO$).

Tres carreteras se cruzan formando un triángulo delimitado por las rectas $x=0$, $y=0$ y $3x+4y-12=0$. Calcula las coordenadas del incentro para situar una rotonda tangente a las tres vías, y el radio de dicha rotonda.

En un triángulo $ABC$, el vértice $A$ tiene coordenadas $(-1, 2)$. Las alturas trazadas desde los vértices $B$ y $C$ están contenidas en las rectas de ecuaciones $x-y+1=0$ y $2x+y-4=0$ respectivamente. Determina las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.

Se conoce el vértice $A(2, 5)$ de un triángulo $ABC$. Las mediatrices de los lados $AB$ y $AC$ tienen por ecuaciones $x-y+2=0$ y $2x+y-3=0$, respectivamente. Halla las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.

Halla las coordenadas de los vértices $B$ y $C$ de un triángulo sabiendo que el vértice $A$ es $(-3, 1)$, su circuncentro es el punto $O(5, 2)$ y su baricentro es $G(4, 2)$.

Para calcular las coordenadas del circuncentro $O$ del triángulo de vértices $A(1, 5)$, $B(-1, 1)$ y $C(5, -2)$, tres estudiantes proponen estrategias distintas:

• Estrategia A: Obtener las ecuaciones de dos mediatrices (calculando puntos medios y vectores normales) y resolver el sistema lineal $2 \times 2$.

• Estrategia B: Exigir la igualdad métrica de distancias $d(O, A)^2 = d(O, B)^2 = d(O, C)^2$ para un punto genérico $O(x, y)$, desarrollar los productos notables y resolver el sistema lineal resultante.

• Estrategia C: Comprobar primero las propiedades geométricas particulares del triángulo (calculando los productos escalares entre los vectores de sus lados) por si fuese un triángulo rectángulo, en cuyo caso una propiedad teórica permite hallar el circuncentro de forma directa.

1. a) Compara críticamente las estrategias A y B: ¿cuántas etapas algebraicas requiere cada una y en cuál es más fácil cometer errores de signo o de cálculo?
2. b) Aplica la Estrategia C: calcula los vectores $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$, efectúa su producto escalar $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ e interpreta geométricamente el resultado obtenido.
3. c) Apoyándote en la conclusión del apartado b), obtén las coordenadas del circuncentro $O$ con el mínimo cálculo posible y justifica por qué esta estrategia resulta muy superior a las otras dos para este triángulo concreto.

En un triángulo no equilátero $\triangle ABC$, se han extraviado en el plano de trabajo las coordenadas de los vértices $B$ y $C$, pero se conocen con certeza los siguientes datos:

• El circuncentro del triángulo es $O(1, -2)$.

• El ortocentro del triángulo es $H(7, 4)$.

• Uno de los vértices es $A(-1, 2)$.

1. a) Deduce razonadamente las coordenadas del baricentro $G$ utilizando la propiedad vectorial de la recta de Euler ($\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$), demostrando que no es necesario conocer previamente los vértices $B$ y $C$.
2. b) Sabiendo que el baricentro divide a la mediana que parte de $A$ en la razón $2:1$ desde dicho vértice (es decir, $\vec{AG} = 2\,\vec{GM_A}$, donde $M_A$ es el punto medio del lado $BC$), halla las coordenadas de $M_A$.
3. c) Justifica por qué la recta que pasa por el circuncentro $O$ y por el punto medio $M_A$ es necesariamente la mediatriz del segmento $BC$. Escribe su ecuación general y deduce a partir de ella la pendiente de la recta que contiene al lado $BC$.
4. d) Explica de forma razonada cómo se podrían determinar con exactitud las coordenadas de los dos vértices que faltan, $B$ y $C$, a partir de la intersección de la recta que contiene al lado $BC$ con la circunferencia circunscrita de centro $O$ y radio $R = d(O, A)$ (no es necesario resolver la ecuación de segundo grado resultante, basta con formular el procedimiento y justificar por qué proporciona exactamente dos soluciones).

Reto del tema. ¿Dónde ubicarías un helipuerto de emergencias para dar servicio óptimo a tres municipios de tu provincia?

1. Toma de datos: Accede al visor del IGN o a Google Maps y elige tres localidades que formen un triángulo. Fija un origen de coordenadas cartesianas (en km) para obtener las coordenadas de los tres vértices: $A$, $B$ y $C$.

2. Construcción y rectas notables: Traslada los puntos a GeoGebra. Halla analíticamente los puntos medios de los lados y las ecuaciones continuas y generales de dos mediatrices. Analiza su posición relativa y calcula su punto de corte para hallar el circuncentro (centro de evacuación equidistante).

3. Métrica y ángulos: Determina la distancia euclídea del helipuerto a cada municipio y la distancia a la recta que une $A$ y $B$. Halla también el ángulo del vértice $A$ tanto en grados sexagesimales como en radianes ($rad$) a partir de los vectores directores de los lados.

4. Propuesta razonada: Elabora un informe de una página con la gráfica de GeoGebra que justifique si conviene más construir la base en el circuncentro o en el baricentro.

Se valorará:

• Rigor en el cálculo analítico de ecuaciones, distancias y conversión de ángulos.

• Corrección al hallar puntos medios, puntos notables y posiciones relativas.

• Uso preciso de GeoGebra y coherencia en la justificación territorial elegida.