Ejercicios: Posición relativa de dos rectas

Determina la posición relativa de las rectas $r: 2x - 3y + 5 = 0$ y $s: -4x + 6y - 10 = 0$ comparando directamente sus coeficientes.

Dadas las rectas $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ y $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indica su posición relativa justificando tu respuesta a partir del valor de sus pendientes.

Estudia la posición relativa de la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 2)$ y $B(3, 5)$, y la recta $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.

Calcula las coordenadas exactas del punto de corte de las rectas secantes $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: 3x - y - 5 = 0$.

Averigua el valor del parámetro $k$ para que las rectas $r: kx + 4y - 2 = 0$ y $s: 3x - 2y + 5 = 0$ sean estrictamente paralelas.

Dos drones de exploración siguen trayectorias rectilíneas descritas por las ecuaciones $r: x - y + 2 = 0$ y $s: 2x + y - 8 = 0$. Calcula las coordenadas del punto del plano donde sus trayectorias se cruzan.

Determina la posición relativa de las rectas dadas en forma paramétrica $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = 5 - 4\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$.

Halla el valor de $m$ para que las rectas $r: mx - 6y + 1 = 0$ y $s: 2x + 3y - 4 = 0$ sean secantes y no paralelas.

Lucía debe determinar la posición relativa de las rectas $r: 4x - 6y + 3 = 0$ y $s: \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y + 2}{2}$. En su examen escribe el siguiente razonamiento:

«La recta $r$ tiene pendiente $m_r = -\dfrac{4}{6} = -\dfrac{2}{3}$. Para la recta $s$, su vector director es $\vec{v}_s = (3, 2)$, por lo que su pendiente es $m_s = \dfrac{2}{3}$. Como las pendientes tienen signos distintos ($-\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{2}{3}$), concluyo que las rectas son secantes y se cortan en un único punto; si tuvieran el mismo signo, serían paralelas».

Identifica y explica razonadamente los dos errores (uno de cálculo algebraico y otro de concepto) que ha cometido Lucía. A continuación, resuelve de forma correcta el ejercicio determinando la verdadera posición relativa de ambas rectas mediante la comparación de sus vectores directores o de sus pendientes.

Dada la recta $r: 3x - 4y + 12 = 0$, plantea y obtén las ecuaciones generales de dos rectas distintas, $s$ y $t$, que cumplan de forma inversa las siguientes condiciones geométricas:

1. a) La recta $s$ debe ser paralela a $r$ y pasar exactamente por el origen de coordenadas $(0, 0)$.
2. b) La recta $t$ debe ser paralela a $r$, pero su ordenada en el origen debe ser el triple que la ordenada en el origen de $r$.

Justifica algebraicamente por qué ninguna de las tres rectas ($r$, $s$ y $t$) es coincidente con las demás analizando la proporcionalidad de sus coeficientes.

En un sistema de seguridad, dos haces láser se modelan en un plano coordenado. El primer haz sigue la recta $r: x + y - 6 = 0$ y el segundo pasa por los emisores ubicados en $P(2, 1)$ y $Q(-2, -1)$. Determina si los haces láser son paralelos, coincidentes o si se cruzan. Si se cruzan, halla el punto exacto de intersección.

Las trayectorias de dos aviones en la pantalla de un radar bidimensional vienen dadas por $r: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 4 + \lambda \end{cases}$. Comprueba si las rutas se cruzan y, en caso afirmativo, calcula el punto de intersección de las trayectorias en el plano.

Discute la posición relativa de las rectas $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ y $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ en función de los posibles valores del parámetro $m$.

Calcula el valor de $k$ para que las rectas $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ y $t: 3x + ky - 2 = 0$ se corten exactamente en el mismo punto del plano.

Un arquitecto diseña dos pasarelas rectas en un parque. La pasarela A sigue la dirección del vector $\vec{u} = (4, -2)$ y pasa por la fuente ubicada en $F(0, 5)$. La pasarela B viene dada por la ecuación $x + 2y - 10 = 0$. Demuestra analíticamente que ambas pasarelas se superponen, siendo en realidad la misma recta.

Halla las coordenadas de los vértices del triángulo formado por la intersección de las tres rectas $r: x - y - 2 = 0$, $s: 2x + 3y - 9 = 0$ y $t: x + 4y - 12 = 0$.

Dadas las rectas $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ y $s: 3x - 2y + k = 0$, averigua si existe algún valor del parámetro $k$ para el cual las rectas sean coincidentes. Razona tu respuesta de forma analítica.

Un rayo de luz en un experimento de óptica sigue la trayectoria descrita por la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. Un espejo plano está colocado exactamente sobre el eje de abscisas ($y = 0$). Determina las coordenadas del punto de incidencia del rayo sobre el espejo.

Dadas las rectas $r: 3x - 2y + 7 = 0$ y $s: \begin{cases} x = 1 - 4\lambda \\ y = 2 - 6\lambda \end{cases}$ (con $\lambda \in \mathbb{R}$), se desea determinar su posición relativa y hallar su punto de corte si existiera. Para resolverlo, se plantean dos estrategias:

• Método A: Transformar la recta $s$ a su ecuación general implícita $Ax + By + C = 0$ y contrastar la proporcionalidad de los coeficientes $\frac{A_1}{A_2}$, $\frac{B_1}{B_2}$ y $\frac{C_1}{C_2}$.

• Método B: Sustituir directamente las expresiones paramétricas de $x(\lambda)$ e $y(\lambda)$ de la recta $s$ en la ecuación general de $r$ y resolver la ecuación de primer grado resultante en $\lambda$.

Aplica ambos métodos paso a paso para clasificar la posición relativa de las rectas y justifica cuál de los dos procedimientos resulta más directo, eficiente y con menor riesgo de error en este caso particular.

El centro de Salvamento Marítimo en Tarifa monitoriza dos embarcaciones en aguas del Estrecho mediante coordenadas cartesianas (donde $1\text{ unidad} = 1\text{ milla náutica}$). Una lancha de salvamento navega en línea recta siguiendo la trayectoria de la recta $r$, que pasa por el punto $A(-1, 3)$ y lleva la dirección del vector $\vec{u} = (2, -1)$. Al mismo tiempo, un buque de carga mantiene una ruta descrita por la ecuación $s: x + 2y - 15 = 0$.

1. a) Determina razonadamente la posición relativa de ambas trayectorias. ¿Existe riesgo de colisión entre sus trayectorias si ambas naves prosiguieran su rumbo indefinidamente? Si se cortan, halla las coordenadas del punto de encuentro.
2. b) Debido a un fallo de gobierno en el timón, el carguero altera su trayectoria y pasa a seguir la recta $s_k: kx + 6y - 10 = 0$. Calcula el valor exacto de $k$ para que el nuevo rumbo sea estrictamente paralelo a la lancha de rescate y analiza si existe algún valor de $k$ que haga que ambas trayectorias sean coincidentes.

Discute la posición relativa de las rectas $r: ax + y - b = 0$ y $s: 2x - ay + 4 = 0$ realizando un análisis exhaustivo en función de los parámetros simultáneos $a$ y $b$.

Tres carreteras rectas se modelan en un plano topográfico mediante las ecuaciones $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ y $t: ax + y - 2 = 0$. Determina los valores del parámetro $a$ para los cuales las tres carreteras se cortan en un único punto o son paralelas entre sí, impidiendo que se forme un triángulo delimitado por ellas.

Un paralelogramo tiene dos de sus lados sobre las rectas $r: x - 2y + 4 = 0$ y $s: x - 2y - 6 = 0$. Otro de sus lados se encuentra sobre la recta $t: 2x + y - 2 = 0$. Sabiendo que uno de los vértices del paralelogramo es el punto $P(4, 4)$, calcula la ecuación de la recta que contiene al cuarto lado y determina las coordenadas exactas de los cuatro vértices.

Determina el valor o valores de $k$ para que el punto de intersección de las rectas secantes $r: 2x + ky - 6 = 0$ y $s: x - y + 2 = 0$ pertenezca a la bisectriz del primer y tercer cuadrante ($y = x$).

Se considera la familia o haz de rectas definido por la expresión matemática $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Demuestra que todas las rectas que componen este haz se cortan en un mismo punto fijo y calcula sus coordenadas. A continuación, halla la ecuación general de la recta de este haz que es paralela a $s: 3x - 4y + 5 = 0$.

Una bola de billar sigue la trayectoria dada por la recta $r: x - y + 2 = 0$ y rebota en la banda representada por la recta $s: x + 2y - 8 = 0$. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión, calcula las coordenadas del punto exacto donde la bola impacta con la banda y averigua la ecuación de la recta que describe la trayectoria tras el rebote.

Dadas las rectas $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$ y $s: ax + by - 5 = 0$, calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que ambas rectas sean idénticas. Posteriormente, halla la ecuación general de una recta perpendicular a ambas que pase por el origen de coordenadas.

Las órbitas proyectadas de dos cometas en un plano espacial siguen las trayectorias $r: (m+1)x + my - 2 = 0$ y $s: mx + (m-1)y - 1 = 0$. Determina si existe algún momento (valor de $m$) en el que las trayectorias sean estrictamente paralelas. ¿Para qué valores de $m$ las órbitas se cruzan en un único punto?

Se consideran las rectas $r: x - 2y + 4 = 0$ y $s: 3x + y - 9 = 0$.

1. a) Estima: Sin resolver el sistema de ecuaciones algebraicamente ni representarlas a escala milimétrica, deduce de forma razonada en qué cuadrante del plano cartesiano se cortarán necesariamente estas dos rectas, y demuestra por qué la abscisa de dicho punto de corte debe pertenecer estrictamente al intervalo abierto $(0, 3)$. Basa tu estimación exclusivamente en el signo de las pendientes y en los puntos de corte de cada recta con los ejes cartesianos.
2. b) Comprueba: Resuelve analíticamente el sistema formado por las ecuaciones de $r$ y $s$ para determinar las coordenadas exactas del punto de corte $P(x, y)$.
3. c) Valora: Contrasta el resultado analítico obtenido con tu estimación inicial y reflexiona sobre cómo el análisis cualitativo previo permite detectar incoherencias en cálculos algebraicos.

En el plano afín se consideran dos rectas fijas, $r: x - y - 1 = 0$ y $s: 2x + y - 5 = 0$, junto a una tercera recta que depende de un parámetro real: $t_k: kx + y - 7 = 0$.

Se desea investigar bajo qué condiciones las tres rectas delimitan un triángulo en el plano.

1. a) Explica de forma deductiva cuáles son las dos únicas causas geométricas por las que tres rectas coplanarias (sabiendo que $r$ y $s$ ya son secantes) NO forman un triángulo.
2. b) Impón las condiciones algebraicas de posición relativa para calcular los valores de $k$ que hacen que $t_k$ sea paralela a la recta $r$ o paralela a la recta $s$. Comprueba además si para alguno de esos valores $t_k$ llega a ser coincidente con ellas.
3. c) Halla el valor de $k$ para el cual las tres rectas son concurrentes, es decir, pasan simultáneamente por el mismo punto.
4. d) A partir de los apartados anteriores, determina con precisión el conjunto de valores de $k \in \mathbb{R}$ para los cuales las tres rectas SÍ determinan un triángulo.