Ejercicios: Ecuaciones de la recta en el plano

Escribe la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $A(3, -2)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (-1, 4)$.

Dada la recta en ecuaciones paramétricas $x = 2 - 3t$, $y = 1 + 5t$, exprésala en forma continua y en forma general.

Determina la pendiente y la ordenada en el origen de la recta cuya ecuación general es $4x - 2y + 8 = 0$.

Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos $P(-1, 5)$ y $Q(2, -1)$.

Comprueba si los puntos $M(4, -3)$ y $N(1, 2)$ pertenecen a la recta de ecuación continua $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2}$.

Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene una pendiente $m = -\frac{3}{5}$.

Escribe las ecuaciones implícitas de la recta horizontal que pasa por el punto $H(-7, 4)$ y de la recta vertical que pasa por el punto $V(3, -9)$.

Dada la ecuación implícita $5x + 7y - 11 = 0$, indica un vector director, un vector normal y un punto por el que pase la recta.

En un examen de Matemáticas, Alejandro debe escribir la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $A(-3, 5)$ y tiene vector director $\vec{v} = (2, -4)$. En su hoja escribe:

Al corregirlo, su profesora señala que la respuesta contiene un error conceptual muy extendido.

1. a) Identifica con precisión los dos fallos de signo que ha cometido Alejandro en los numeradores de la expresión.
2. b) Explica el origen de este error deduciendo la ecuación continua paso a paso a partir de las ecuaciones paramétricas: escribe primero $x = a_1 + t\cdot v_1$ e $y = a_2 + t\cdot v_2$ con los datos del enunciado y despeja el parámetro $t$ en cada una para demostrar por qué los signos deben ser los opuestos a los que puso Alejandro.
3. c) Escribe la ecuación continua correcta y, a partir de ella, obtén la ecuación general de la recta simplificando los coeficientes enteros al máximo.

Diseña la trayectoria rectilínea de un robot de transporte en un centro logístico cumpliendo las siguientes especificaciones:

1. a) Escribe unas ecuaciones paramétricas de una recta que pase por el punto $P(4, -1)$ y cuya pendiente sea exactamente $m = -\frac{2}{3}$.
2. b) A partir de los datos anteriores, escribe directamente la ecuación punto-pendiente de la recta tomando como referencia el punto $P$.
3. c) Una compañera afirma que otra respuesta válida para las ecuaciones paramétricas de la misma recta es $x = 1 - 6k$, $y = 1 + 4k$ ($k \in \mathbb{R}$). Comprueba si el punto que ella ha usado como base pertenece a la recta y si su vector director es colineal con el tuyo. Concluye argumentando por qué las ecuaciones paramétricas de una recta no son únicas y qué elementos pueden variar representando geométricamente la misma recta.

Un dron de vigilancia se desplaza en línea recta y a velocidad constante desde el punto $A(10, 20)$ hasta el punto $B(50, 80)$, estando las coordenadas medidas en metros. Escribe las ecuaciones paramétricas de su trayectoria e indica cuáles serán sus coordenadas cuando haya recorrido exactamente la mitad del trayecto.

El costo de producción de un componente electrónico sigue un modelo lineal. Fabricar $100$ unidades cuesta $3\,150$ bolivianos, y fabricar $250$ unidades cuesta $5\,775$ bolivianos. Determina la ecuación explícita que relaciona el costo $y$ con el número de unidades $x$, y calcula el costo fijo de producción (el costo cuando se fabrican $0$ unidades).

Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $3x - ky + 5 = 0$ pase por el punto $P(-2, 1)$. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación de la recta en forma continua.

En el diseño de un puente colgante, uno de los cables tensores de acero debe unir el punto de anclaje $P(0, 15)$ con la base $Q(40, 0)$ (coordenadas en metros). Halla la ecuación general de la recta que define el cable y determina a qué altura se encuentra cuando la distancia horizontal desde el eje $Y$ es de $16$ metros.

Halla la ecuación general de la recta que pasa por el punto $A(-4, 6)$ y es paralela a la recta que une los puntos $B(1, 1)$ y $C(3, -5)$.

Una tubería subterránea sigue la trayectoria dada por las ecuaciones paramétricas $x = -5 + 2t$, $y = 12 - 3t$ (en km). Determina en qué puntos exactos la tubería cruza los ejes de coordenadas.

Calcula el área del triángulo que forma la recta $2x + 5y - 20 = 0$ con los ejes de coordenadas cartesianas.

Expresa la recta $y = -\frac{1}{4}x + 2$ en forma vectorial y encuentra tres puntos distintos que pertenezcan a ella, donde al menos uno tenga abscisa negativa.

Considera la recta $r$ que pasa por los puntos $A(-2, 7)$ y $B(4, -5)$.

1. a) Antes de calcular ninguna ecuación analítica:

• Observa cómo varían las coordenadas al pasar de $A$ a $B$ y estima el signo de la pendiente (¿la recta asciende o desciende de izquierda a derecha?).

• Sabiendo que el punto $A$ tiene $x = -2$ con $y = 7$ y el punto $B$ tiene $x = 4$ con $y = -5$, estima razonadamente si la ordenada en el origen $n$ (el corte con el eje $Y$, donde $x = 0$) será positiva o negativa, y si su valor estará más cerca de $7$ o de $-5$.

1. b) Escribe la ecuación continua de la recta $r$ y transfórmala mediante pasos algebraicos limpios hasta obtener su ecuación explícita $y = mx + n$.
2. c) A partir de la ecuación explícita, calcula las coordenadas exactas de los puntos de corte con el eje de ordenadas ($x = 0$) y con el eje de abscisas ($y = 0$). Comprueba si el valor de la ordenada en el origen coincide con tu estimación inicial y justifica geométricamente por qué dicho valor queda a esa altura.

Se quiere hallar la ecuación general de la recta $s$ que pasa por el punto $P(-3, 2)$ y es perpendicular a la recta $r: 2x - 5y + 11 = 0$. Dos estudiantes proponen estrategias distintas:

• Método de Sergio: Despejar $y$ en la recta $r$ para hallar su pendiente $m_r$; calcular la pendiente perpendicular $m_s = -\frac{1}{m_r}$; escribir la ecuación en forma punto-pendiente con $P(-3, 2)$ y, finalmente, quitar denominadores y trasponer términos para llegar a la ecuación general.

• Método de Irene: Obtener directamente de los coeficientes de $r$ su vector normal $\vec{n}_r = (2, -5)$; deducir que dicho vector es un vector director de la recta perpendicular $s$; extraer de ahí un vector normal para $s$, $\vec{n}_s = (5, 2)$; y plantear la ecuación $5x + 2y + C = 0$, hallando $C$ al sustituir las coordenadas de $P$.

1. a) Compara ambos caminos analizando sus ventajas e inconvenientes: número de pasos, aparición de fracciones intermedias y probabilidad de cometer errores operativos con los signos.
2. b) Justifica cuál de los dos métodos es más eficiente y directo para este ejercicio.
3. c) Aplica el método que has seleccionado como preferible para determinar la ecuación general de $s$.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta dada en forma paramétrica $x = a + 2t$, $y = 3 - bt$ represente la misma recta que la ecuación general $4x + 3y - 10 = 0$.

Un rayo láser parte del punto $A(2, 5)$, incide sobre un espejo plano situado a lo largo del eje de abscisas, se refleja y pasa por el punto $B(8, 3)$. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, halla las ecuaciones de las rectas que contienen al rayo incidente y al rayo reflejado, y el punto exacto de rebote en el espejo.

Los lados de un triángulo están contenidos en las rectas $r: x - 2y + 4 = 0$, $s: 3x + y - 9 = 0$ y $t: x + 5y + 4 = 0$. Calcula las coordenadas de sus tres vértices y decide, calculando las longitudes de sus lados, de qué tipo de triángulo se trata.

Demuestra que si una recta corta a los ejes de coordenadas en los puntos $(a, 0)$ y $(0, b)$, con $a \neq 0$ y $b \neq 0$, su ecuación se puede escribir en la forma segmentaria $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Utiliza este resultado para hallar la ecuación de una recta que forma con los ejes cartesianos un triángulo de área $12 \text{ u}^2$ sabiendo que $a = 2b$ y que ambos interceptos son positivos.

Dos aviones se mueven en el plano de un radar. El avión $A$ sigue la trayectoria $x = 2 + 3t$, $y = 1 + 4t$, y el avión $B$ sigue la trayectoria $x = 10 - t$, $y = -2 + 5t$ (donde $t$ es el tiempo en minutos y las coordenadas están en km). Determina el punto exacto donde se cruzan sus trayectorias y averigua si los aviones llegan a colisionar (es decir, si pasan por ese punto en el mismo instante $t$).

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas $r: 2x - y + 5 = 0$ y $s: x + 3y - 1 = 0$, y que forma con los semiejes negativos de coordenadas un triángulo isósceles.

Dado el punto $P(3, 4)$ y la recta $r: 2x + y - 5 = 0$, halla las coordenadas de un punto $Q$ situado sobre el eje de ordenadas de manera que la recta que une $P$ y $Q$ tenga la misma ordenada en el origen que la recta $r$.

Considera el haz de rectas determinado por la ecuación $(2 + k)x + (1 - 2k)y + (3k - 4) = 0$. Halla el centro del haz (el punto por el que pasan todas las rectas independientemente del valor de $k$) y determina el valor de $k$ para el cual la recta del haz tiene una pendiente de $\frac{3}{5}$.

En un estudio meteorológico de la AEMET en el Parque Nacional de Sierra Nevada (Granada), se analiza la variación de la temperatura con la altitud durante una jornada invernal anticiclónica. En la estación de Pradollano (cota $x_1 = 2100\text{ m}$) se mide a mediodía una temperatura de $y_1 = 8,4\ ^\circ\text{C}$, mientras que en la estación cercana a la cumbre del Veleta (cota $x_2 = 3100\text{ m}$) el termómetro marca simultáneamente $y_2 = 1,9\ ^\circ\text{C}$. Se asume un comportamiento lineal entre la altitud $x$ (en metros) y la temperatura $y$ (en $^\circ\text{C}$).

1. a) Escribe la ecuación continua que modeliza esta relación lineal tomando como punto de referencia Pradollano y un vector director cuyas componentes reflejen la variación de temperatura por cada $1000\text{ m}$ de ascenso.
2. b) Transforma dicha ecuación a la forma explícita $y = mx + n$. Interpreta con rigor físico el significado de la pendiente $m$ (gradiente térmico vertical) y de la ordenada en el origen $n$. ¿Tiene sentido físico el valor numérico de $n$ si se compara con una temperatura verosímil a nivel del mar ($x = 0$) en la costa mediterránea andaluza?
3. c) Utiliza el modelo lineal para calcular la altitud de la cota de nieve (isocero térmico: altitud donde la temperatura desciende hasta los $0\ ^\circ\text{C}$). A partir de ese dato, justifica si un montañero que corone la cima del Mulhacén ($3479\text{ m}$) registrará temperaturas positivas o bajo cero en ese mismo instante.

Una recta $r$ de pendiente negativa pasa por el punto $A(2, 3)$ y corta a la parte positiva de los ejes coordenados en los puntos $P(p, 0)$ y $Q(0, q)$, determinando con el origen de coordenadas un triángulo rectángulo situado en el primer cuadrante cuya área mide exactamente $12\text{ u}^2$.

1. a) Deduce paso a paso que la ecuación continua de la recta que pasa por $(p, 0)$ y $(0, q)$ puede reescribirse en la forma segmentaria $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$.
2. b) Sabiendo que el punto $A(2, 3)$ pertenece a la recta y que el área del triángulo es $\frac{p\cdot q}{2} = 12$, plantea un sistema de dos ecuaciones algebraicas con incógnitas $p$ y $q$.
3. c) Resuelve el sistema y demuestra que únicamente existe una pareja de valores reales $(p, q)$ que cumple ambas condiciones simultáneamente. Con esos valores, escribe la ecuación general de la recta.
4. d) Analiza algebraicamente por qué el discriminante de la ecuación de segundo grado que surge al resolver el sistema resulta ser exactamente cero para un área de $12\text{ u}^2$, e interpreta geométricamente qué ocurriría con la existencia de rectas que pasen por $A(2,3)$ si hubiéramos exigido que el área del triángulo fuera menor, por ejemplo de $10\text{ u}^2$.