Ejercicios: Ángulo entre dos rectas. Paralelismo y perpendicularidad

Calcula el ángulo agudo que forman las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: 3x + y - 1 = 0$.

Determina la ecuación general de la recta paralela a $y = 3x - 5$ que pasa por el punto $P(2, -1)$.

Halla la ecuación de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas. Expresa el resultado en forma explícita.

Dadas las rectas $r: kx - 2y + 5 = 0$ y $s: 3x + 4y - 1 = 0$, halla el valor del parámetro $k$ para que ambas rectas sean paralelas.

Encuentra el valor de $m$ para que las rectas $r: 5x + 2y = 0$ y $s: mx - 5y + 3 = 0$ sean perpendiculares.

Calcula el ángulo que forman las rectas dadas por sus ecuaciones explícitas $y = 2x + 1$ e $y = -3x + 4$.

Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles perpendiculares entre sí:

• $r_1: 2x - 3y + 1 = 0$

• $r_2: 6x + 4y - 5 = 0$

• $r_3: -4x + 6y + 7 = 0$

Determina el ángulo que forma la recta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ con la dirección positiva del eje de abscisas.

Marcos debe calcular la medida del ángulo que forman las rectas $r: 2x - y + 3 = 0$ y $s: 3x + y - 5 = 0$. Para ello, despeja sus pendientes obteniendo $m_r = 2$ y $m_s = -3$. A continuación, aplica la fórmula del ángulo:

Marcos deduce que $\alpha = \arctan(-1) = -45^\circ$ y argumenta: «Como un ángulo geométrico entre rectas no puede ser negativo, le sumo $180^\circ$ y la solución es $135^\circ$».

1. a) Señala los dos errores conceptuales cometidos por Marcos (uno en la propia fórmula aplicada y otro al interpretar qué ángulo define la posición relativa de dos rectas secantes).
2. b) Explica por qué en geometría euclídea el ángulo entre dos rectas se toma siempre no obtuso, es decir, acotado en el intervalo $[0^\circ, 90^\circ]$ (o $[0, \pi/2]\text{ rad}$).
3. c) Corrige el desarrollo y calcula la medida correcta del ángulo agudo, expresándola tanto en grados sexagesimales como en radianes (en función de $\pi$).

Considera las rectas $r: y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1$ y $s: y = \sqrt{3}x - 4$.

1. a) Sin recurrir todavía a las fórmulas de cálculo del ángulo entre rectas, relaciona la pendiente de cada recta con su ángulo de inclinación respecto al semieje positivo de abscisas ($m = \tan \theta$). A partir de esa relación, estima de forma razonada el valor exacto del ángulo agudo $\alpha$ que forman entre sí (tanto en grados sexagesimales como en radianes).
2. b) Comprueba analíticamente tu estimación calculando el ángulo mediante el producto escalar de sus vectores directores con la expresión $\cos \alpha = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$.
3. c) Vuelve a comprobar el resultado aplicando la fórmula de la tangente a partir de las pendientes: $\tan \alpha = \left|\frac{m_s - m_r}{1 + m_s \cdot m_r}\right|$. ¿Por qué coinciden los tres caminos y qué utilidad tiene estimar antes de calcular?

En el diseño de un parque, una nueva avenida debe ser perpendicular a la calle principal definida por la ecuación $3x - 4y + 10 = 0$. Además, esta avenida debe pasar por el punto de intersección de las calles secundarias $x + y - 2 = 0$ y $2x - y - 4 = 0$. Obtén la ecuación general de la nueva avenida.

Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $kx + y - 2 = 0$ forme un ángulo de $45^\circ$ con la recta de ecuación $x - 2y + 1 = 0$.

Un rayo láser viaja a lo largo de la recta $y = -2x + 5$ y se refleja en un espejo plano situado sobre el eje de abscisas. Calcula el ángulo de incidencia (ángulo entre el rayo y la normal al espejo) y determina la ecuación de la recta que contiene al rayo reflejado.

Dos aviones siguen trayectorias rectilíneas en la pantalla de un radar dadas por las ecuaciones $r: x - 3y + 2 = 0$ y $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o valores) de $k$ para que sus rutas se crucen formando un ángulo exacto de $60^\circ$.

Dado un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(4, 6)$, halla la ecuación general de la altura correspondiente al vértice $A$ y calcula el ángulo que forma esta altura con el lado $AB$.

En el plano de una estructura metálica, una viga de soporte principal se asienta sobre la recta que pasa por los nudos $P(-2, 4)$ y $Q(4, 1)$. Se necesita soldar una segunda viga perpendicular a la primera exactamente en su punto medio. Halla la ecuación explícita de la recta que define esta segunda viga.

Encuentra las coordenadas de la proyección ortogonal del origen de coordenadas $(0,0)$ sobre la recta de ecuación $2x - 5y + 10 = 0$.

Dos brazos robóticos en una fábrica se desplazan sobre raíles rectilíneos. El primero sigue la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ y el segundo la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$.

1. Determina $a$ para que los raíles sean paralelos.

2. Halla la ecuación de un tercer raíl transversal que sea perpendicular a ambos y que cruce al raíl $r$ exactamente en su punto de corte con el eje de ordenadas.

Se consideran las rectas del plano $r: x - \sqrt{3}y + 6 = 0$ y la recta vertical $s: x = -3$.

1. a) Intenta calcular el ángulo agudo entre $r$ y $s$ mediante la fórmula de las pendientes $\tan \alpha = \left|\frac{m_r - m_s}{1 + m_r \cdot m_s}\right|$. Explica qué limitación matemática o indeterminación surge al asignar un valor numérico a $m_s$ y por qué esta fórmula no resulta operativa directamente.
2. b) Plantea el cálculo empleando los vectores directores $\vec{u}_r$ y $\vec{u}_s$ junto con la fórmula del coseno. Justifica por qué el enfoque vectorial es más general y ventajoso en este caso.
3. c) Obtén el valor del ángulo agudo $\alpha$ mediante el método vectorial y exprésalo tanto en grados sexagesimales como en radianes (como fracción irreducible de $\pi$).

En un proyecto de infraestructura ferroviaria de la Administradora Boliviana de Carreteras (ABC) en las inmediaciones de Cochabamba, la vía principal discurre sobre la recta $r: 3x - 4y + 12 = 0$ (en un plano coordenado en kilómetros). Un nuevo ramal de enlace hacia una terminal logística se proyecta sobre la recta $s: x - 7y - 5 = 0$.

La normativa de la Agencia Estatal de Seguridad Ferroviaria (AESF) estipula que si el ángulo agudo de divergencia entre dos alineaciones es mayor que $0,26\text{ rad}$ (aproximadamente $15^\circ$), no es admisible un desvío directo a velocidad convencional y debe proyectarse una curva de transición con deceleración previa.

1. a) Modela la situación calculando el ángulo agudo $\alpha$ que forman ambas vías. Determina el valor exacto de $\tan \alpha$ y la medida de $\alpha$ en grados sexagesimales y en radianes (con tres cifras decimales).
2. b) Dictamina, justificando la conclusión con el cálculo anterior, si la infraestructura requiere obligatoriamente dicha curva de deceleración.
3. c) Se proyecta una vía secundaria de escape $t$ que parte del punto donde $r$ corta al eje de abscisas y es rigurosamente perpendicular a la vía principal $r$. Obtén la ecuación general de $t$ comprobando la perpendicularidad mediante la relación entre sus pendientes.

Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Demuestra analíticamente, utilizando sus vectores directores o sus pendientes, que ambas bisectrices son perpendiculares entre sí.

Las diagonales de un rombo están contenidas en las rectas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: 2x - y - 3 = 0$. Sabiendo que uno de sus vértices es $A(0, 2)$ y que la longitud de su lado es $\sqrt{20}$, halla las coordenadas de los otros tres vértices.

Un vértice de un triángulo equilátero es el origen de coordenadas $(0,0)$ y el lado opuesto está contenido en la recta $x + y - 4 = 0$. Determina las ecuaciones generales de las rectas que contienen a los otros dos lados del triángulo sabiendo que deben formar un ángulo de $60^\circ$ con el lado dado.

Dada la familia de rectas dependiente del parámetro $k \in \mathbb{R}$: $(2 + k)x + (1 - 2k)y + 3k - 4 = 0$. Demuestra que todas las rectas de esta familia pasan por un mismo punto fijo y calcula sus coordenadas. Después, halla el valor de $k$ para obtener la recta de la familia que es perpendicular a $3x - y + 2 = 0$.

Un panel solar está alineado con la recta $r: \sqrt{3}x - y + 10 = 0$. Los rayos del sol inciden de forma paralela a la recta $s: 2x + 2y - 5 = 0$. Calcula el ángulo de incidencia de los rayos sobre el panel. Si se debe reorientar el panel pivotando sobre su punto de corte con el eje $OY$ para que los rayos incidan totalmente perpendiculares a su superficie, ¿cuál será la nueva ecuación general de la recta que define el panel?

Dos vértices opuestos de un cuadrado son $A(-1, 3)$ y $C(5, 1)$. Encuentra las ecuaciones de las rectas que contienen a los cuatro lados del cuadrado, calculando primero su centro y las direcciones de sus diagonales.

Determina la ecuación general de la recta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ con respecto a la recta $s: x + y - 1 = 0$.

Demuestra que si dos rectas $r: ax + by + c = 0$ y $s: a'x + b'y + c' = 0$ se cortan formando un ángulo $\alpha$, se cumple que $\tan \alpha = \left| \frac{ab' - a'b}{aa' + bb'} \right|$. Utiliza este resultado para encontrar las ecuaciones generales de las rectas que pasan por $P(1,1)$ y forman un ángulo $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ con la recta $2x - y + 3 = 0$.

Una antena de comunicaciones se encuentra en el punto $P(2, 1)$. Se necesita instalar una línea de fibra óptica subterránea en línea recta, representada por $s$, de modo que forme un ángulo agudo de $\frac{\pi}{4}\text{ rad}$ ($45^\circ$) con una conducción de agua ya construida que sigue la recta $r: 2x - y + 5 = 0$.

1. a) Plantea la ecuación que debe cumplir la pendiente $m$ de la recta $s$ a partir de la fórmula $\tan \alpha = \left|\frac{m - m_r}{1 + m \cdot m_r}\right|$. Al resolver algebraicamente la ecuación con valor absoluto, justifica por qué surgen dos pendientes posibles y calcúlalas.
2. b) Obtén las ecuaciones generales de las dos rectas solución, $s_1$ y $s_2$, que pasan por el punto $P$.
3. c) Demuestra que $s_1$ y $s_2$ son perpendiculares entre sí comprobando tanto el producto de sus pendientes como el producto escalar de sus vectores directores.
4. d) Interpreta geométricamente el resultado del apartado c): razona, sin recurrir al cálculo algebraico, por qué dos rectas que forman el mismo ángulo de $45^\circ$ a ambos lados de una recta de referencia dada deben ser necesariamente perpendiculares entre sí.

Considera la familia de rectas $r_k: kx + (k - 1)y - 3 = 0$, donde $k \in \mathbb{R}$, y la recta fija $s: 2x - y + 1 = 0$.

1. a) Determina el valor de $k$ para el cual $r_k$ es perpendicular a $s$, verificando la condición tanto con el producto de pendientes como mediante el producto escalar de vectores directores.
2. b) Halla el valor de $k$ para el cual $r_k$ y $s$ son paralelas.
3. c) Se busca que el ángulo agudo entre $r_k$ y $s$ sea exactamente $\alpha = \frac{\pi}{4}\text{ rad}$ ($45^\circ$). Plantea la ecuación correspondiente (mediante pendientes o vectores), resuélvela y determina cuántos valores de $k$ verifican dicha condición.
4. d) Expresa la ecuación de la familia en la forma $A(x,y) + k\cdot B(x,y) = 0$ para demostrar que todas las rectas $r_k$ pasan por un mismo punto fijo $Q$ (haz de rectas secantes). Utilizando esta propiedad geométrica, justifica por qué era previsible obtener exactamente dos valores de $k$ en el apartado c), uno en el apartado a) y uno en el apartado b).