Ejercicios: Integración de funciones trigonométricas

Para empezar a practicar con el cálculo de antiderivadas, halla la primitiva general de la siguiente función que incluye un ajuste lineal en el argumento del coseno:

$f(x) = \cos(4x - 1)$

Calcula la integral indefinida de la siguiente función, observando que se trata de una función compuesta donde aparece la derivada del argumento:

$\int x \cdot \sin(x^2 + 3) \, dx$

En muchas ocasiones, las identidades trigonométricas nos permiten transformar una expresión difícil en una inmediata. Utiliza la relación $\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x)$ para calcular la siguiente primitiva:

$\int \tan^2(x) \, dx$

Determina la familia de funciones primitivas de la expresión dada. Ten en cuenta que la derivada del seno es el coseno:

$f(x) = \sin^4(x) \cdot \cos(x)$

Halla la primitiva de la función $f(x) = \sec^2(3x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(0, 2)$. Recuerda que debes calcular la constante de integración $C$.

Un oscilador armónico simple se mueve de tal forma que su velocidad en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por $v(t) = 3 \cdot \cos(t)$. Si en el instante inicial $t=0$ el objeto se encuentra en la posición $s=0$, obtén la expresión de su posición $s(t)$ calculando la primitiva correspondiente.

Calcula la siguiente integral indefinida utilizando el logaritmo neperiano como resultado, reconociendo que el numerador es (casi) la derivada del denominador:

$\int \frac{\sin(x)}{5 + \cos(x)} \, dx$

Obtén el conjunto de todas las primitivas de la siguiente función compuesta, que combina una raíz cuadrada con una función trigonométrica:

$f(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$

Elena está calculando la primitiva de la función $f(x) = \sin^2(x)$ y escribe en su examen:

argumentando que ha aplicado la regla de las potencias $\int u^n\, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ tomando $u = \sin(x)$ y $n = 2$.

1. a) Explica con precisión el error conceptual cometido por Elena. ¿Qué factor fundamental le falta al integrando para que su deducción a partir de la regla de la cadena fuese matemáticamente válida?
2. b) Corrige el ejercicio hallando la familia de primitivas correcta mediante la identidad trigonométrica del ángulo doble.

Se sabe que una función continua $f(x)$ admite como primitiva general una función de la forma:

donde $a$ es una constante real no nula.

1. a) Sabiendo que en el punto $x = \frac{\pi}{4}$ la función original toma el valor $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 8$, deduce el valor exacto del parámetro $a$ aplicando la regla de la cadena sobre $F(x)$.
2. b) Una vez hallado el valor de $a$, escribe la expresión algebraica de $f(x)$ expresada únicamente en términos de potencias de $\tan(x)$ y $\cos(x)$.

Calcula la primitiva de la siguiente función trigonométrica utilizando identidades fundamentales para simplificar la expresión antes de integrar:

Halla la integral indefinida de la función $f(x) = \tan^3(x) \cdot \sec^2(x)$. Recuerda observar si la expresión se ajusta a una integral de tipo potencial donde una función está elevada a un exponente y multiplicada por su derivada.

Un estudio de arquitectura está diseñando el perfil de una rampa para un parque de deportes extremos. La pendiente de la rampa en cada punto $x$ viene dada por la función $g(x) = \sin^2(x)$. Si la rampa comienza en el punto $(0, 0)$, determina la función $G(x)$ que describe la altura de la rampa en cualquier punto.

Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{\sin^3(x)}{\cos^2(x)}$.

Sugerencia: Al ser una función impar en $\sin(x)$, realiza el cambio de variable $t = \cos(x)$.

Determina la integral indefinida de la función $f(x) = \frac{1}{\sin^2(x) \cdot \cos^2(x)}$.

Ayuda: Puedes intentar sustituir el número $1$ del numerador por la identidad fundamental $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ para separar la integral en dos sumandos más sencillos.

Halla la primitiva de la función $h(x) = x^2 \cdot \cos(x)$ utilizando el método de integración por partes. Deberás aplicar el método dos veces para reducir el grado del polinomio hasta obtener una integral inmediata.

En un experimento de física, se analiza la oscilación amortiguada de un muelle cuya velocidad de vibración en función del tiempo $t$ se comporta según la función $v(t) = e^{-t} \cdot \sin(2t)$. Determina la función de posición $s(t)$ sabiendo que esta integral es de tipo cíclica.

Calcula la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}$ que cumple la condición de pasar por el origen de coordenadas, es decir, $F(0) = 0$.

Para resolver la integral indefinida $\int \sin(x) \cdot \cos(x)\, dx$, tres estudiantes de 2.º de Bachillerato proponen caminos diferentes:

• Lucía efectúa el cambio directo tomando $u = \sin(x)$ y obtiene $F_1(x) = \frac{1}{2}\sin^2(x) + C_1$.

• Marcos toma $u = \cos(x)$ y obtiene $F_2(x) = -\frac{1}{2}\cos^2(x) + C_2$.

• Sergio aplica primero la identidad del ángulo doble $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ y obtiene $F_3(x) = -\frac{1}{4}\cos(2x) + C_3$.

1. a) Demuestra algebraicamente que las tres respuestas son correctas y que describen exactamente la misma familia de funciones primitivas, determinando la relación numérica exacta que existe entre las constantes $C_1$, $C_2$ y $C_3$.
2. b) Si ahora tuvieras que resolver $\int \sin^5(x) \cdot \cos(x)\, dx$, compara los tres métodos anteriores y justifica cuál de ellos es el único que resulta inmediato y generalizable sin recurrir a cálculos farragosos. Obtén el resultado final con dicho método.

Durante una jornada de verano en una central termosolar de Andalucía, la potencia eléctrica instantánea inyectada a la red (en megavatios, MW) entre las 10:00 ($t = 0$) y las 16:00 ($t = 6$ horas) se modeliza según la función:

La energía acumulada $E(t)$ (en MW·h) desde las 10:00 es una primitiva de $P(t)$ que satisface la condición inicial $E(0) = 0$.

1. a) Utiliza la fórmula del ángulo doble para transformar la expresión de $P(t)$ e integra paso a paso para obtener la función $E(t)$, prestando atención a la constante que introduce la derivada interior del argumento lineal.
2. b) Halla la energía total acumulada al finalizar el periodo, $E(6)$, dejando el resultado en función de $\pi$ y calculando su valor aproximado con dos cifras decimales. A partir de este dato, determina e interpreta la potencia media suministrada por la planta durante ese intervalo de 6 horas.

En el diseño de circuitos de corriente alterna, la potencia instantánea suele venir dada por el producto de funciones exponenciales y trigonométricas. Calcula la familia de funciones primitivas de la siguiente expresión, que representa la tasa de variación de energía en un componente específico:

Consejo: Utiliza primero una identidad trigonométrica para reducir el exponente del coseno antes de aplicar el método de integración por partes.

Calcula la integral indefinida de la siguiente función racional trigonométrica. Este tipo de integrales aparecen frecuentemente en el cálculo de campos gravitatorios en astrofísica:

Nota: Considera un cambio de variable que relacione las funciones trigonométricas presentes y recuerda la identidad fundamental de la trigonometría.

Determina la primitiva de la función $f(x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ y su derivada es:

$f'(x) = \frac{1}{\sin^4(x) \cdot \cos^2(x)}$

Sugerencia: Intenta expresar el numerador utilizando la identidad fundamental $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ de forma iterativa o busca un cambio de variable basado en la tangente.

El "cambio de variable universal" es una herramienta potente para resolver integrales de funciones racionales de seno y coseno. Utiliza el cambio $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$ para hallar la siguiente primitiva:

Halla la primitiva de la función $f(x)$ que se describe a continuación, empleando transformaciones de productos en sumas:

Una vez obtenida la familia de primitivas, determina aquella cuya gráfica tiene un punto de inflexión con tangente horizontal en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{2}$ con un valor de ordenada $y = 2$.

En el estudio de las oscilaciones de un puente colgante, la aceleración de un punto de la estructura viene dada por la función $a(t)$. Encuentra la función velocidad $v(t)$ sabiendo que la velocidad inicial es $v(0) = 0$ y la aceleración es:

$a(t) = \frac{\sec^2(t)}{\sqrt{4 - \tan^2(t)}}$

Ayuda: Ten cuidado con los dominios de las funciones resultantes.

Calcula la integral indefinida de la función $f(x)$, que combina potencias de funciones trigonométricas inversas y funciones directas:

Halla la familia de primitivas de la siguiente función utilizando un cambio de variable adecuado para funciones trigonométricas pares en seno y coseno:

Sugerencia: Divide numerador y denominador por $\cos^2(x)$ para expresar la función en términos de $\tan(x)$ y su derivada $\sec^2(x)$.

Se considera la función $f(x) = \frac{\cos^3(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$, definida en el intervalo abierto $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

1. a) Antes de calcular ninguna primitiva, realiza una estimación razonada del comportamiento de cualquier primitiva $F(x) = \int f(x)\, dx$ cuando $x \to 0^+$. Para ello, ten en cuenta que para valores muy próximos a cero se verifican las aproximaciones $\cos(x) \approx 1$ y $\sin(x) \approx x$; con base en esto, deduce si cabe esperar que $F(x)$ tienda a un valor finito o diverge hacia infinito al aproximarse al origen.
2. b) Emplea la identidad fundamental $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ para descomponer la integral en una suma de integrales inmediatas de tipo potencial $u^n \cdot u'$, y calcula la expresión algebraica de la familia general de primitivas $F(x)$.
3. c) Calcula el límite $\lim_{x \to 0^+} F(x)$ a partir de la expresión obtenida y comprueba si tu estimación cualitativa inicial era correcta, razonando la coherencia entre el análisis local del integrando y el resultado de la integración.

Se busca determinar una función $f(x)$ derivable en el intervalo $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ cuya gráfica pase por el origen de coordenadas, $f(0) = 0$, y cuya función derivada responda a la expresión:

1. a) Un alumno intenta integrar por separado cada sumando buscando fórmulas para potencias cuartas, encontrando serias dificultades. Demuestra que, aplicando la factorización de una diferencia de cuadrados y la identidad fundamental $\sec^2(x) - \tan^2(x) = 1$, la derivada se reduce de forma inmediata a $f'(x) = 2\sec^2(x) - 1$. Justifica por qué transformar el integrando antes de operar simplifica radicalmente el problema.
2. b) Integra la expresión simplificada y halla la fórmula explícita de la función $f(x)$ que cumple la condición $f(0) = 0$.
3. c) Sin calcular la segunda derivada $f''(x)$, deduce los intervalos de concavidad y convexidad de $f(x)$ en $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, así como la existencia de puntos de inflexión, analizando exclusivamente el crecimiento y los extremos relativos de $f'(x)$ a partir de las propiedades de la función coseno.

Reto del tema. ¿Cómo modelizarías el flujo diario de energía en nuestro país?

1. Captura de datos: Entra en la web del Comité Nacional de Despacho de Carga (CNDC) y descarga los datos de demanda eléctrica del Sistema Interconectado Nacional (SIN) por horas de un día reciente.

2. Modelización: En GeoGebra o una hoja de cálculo, representa la serie temporal $t \in [0, 24]$. Diseña un modelo continuo $f(t) = k \left( \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) + \frac{1}{t^2 + 4} + 1,1 \right)$ y halla la constante $k$ para que cumpla las condiciones de función de densidad de una variable aleatoria continua.

3. Integración analítica: Obtén la función de distribución $F(t) = \int_{0}^{t} f(u)\,du$ aplicando descomposición elemental, primitivas trigonométricas y de funciones racionales. A partir de $F(t)$, calcula la probabilidad de que el consumo diario se concentre en las horas pico, entre las $19,0$ y las $22,0$ horas.

4. Informe final: Redacta un informe breve con las gráficas de $f(t)$ y $F(t)$, el desarrollo algebraico de las integrales y una reflexión razonada sobre el ajuste a los datos reales.

Se valorará:

• Dominio analítico en el cálculo de integrales inmediatas, racionales y trigonométricas.

• Rigor al determinar los parámetros y validar las propiedades de la variable aleatoria continua ($f$ y $F$).

• Destreza técnica en GeoGebra u hoja de cálculo y contraste crítico frente a la serie real del CNDC.