Ejercicios: Integración de fracciones racionales

Calcula la siguiente integral indefinida observando que el numerador es, o puede transformarse fácilmente, en la derivada del denominador:

Un grupo de jóvenes ingenieros está monitorizando el flujo de datos de un servidor. La velocidad de crecimiento de los datos almacenados (en GB/min) viene dada por la función $v(t) = \frac{4}{t + 1}$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Obtén la expresión general de la función de almacenamiento de datos $S(t)$.

Determina la integral indefinida de la siguiente función, cuya forma corresponde a una primitiva de tipo arco tangente:

Descompón en fracciones simples el integrando para calcular la integral de esta función racional con raíces reales simples en el denominador:

Calcula la primitiva de la función $g(x)$ realizando un ajuste previo en el numerador para obtener una parte entera y una parte fraccionaria:

En el estudio de circuitos eléctricos de corriente alterna, la intensidad de corriente $i(t)$ en amperios suele modelarse mediante funciones que combinan exponenciales y trigonométricas. Supongamos que la velocidad de variación de la carga de un condensador viene dada por la función:

Calcula el conjunto de todas las funciones primitivas $F(t)$ asociadas a esta intensidad mediante el método de integración por partes. Ten en cuenta que este tipo de integrales se resuelven por el método de "iteración" o "cíclicas".

Halla la expresión analítica de una función $f(x)$ tal que su derivada segunda es $f''(x) = x \cdot \operatorname{sen}(x)$, sabiendo que la recta tangente a la curva en el origen de coordenadas es el propio eje de abscisas.

Halla la función $f(x)$ que cumple la condición de ser continua en todo el dominio de definición de sus ramas, sabiendo que su derivada viene dada por:

y que $f(1) = 1$. Deberás integrar por partes la segunda rama y determinar el valor de las constantes de integración para garantizar la continuidad en $x = 0$.

Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración dependiente del tiempo definida por $a(t) = \ln(t+1)$. Si en el instante inicial ($t=0$) el objeto se encontraba en el reposo y en la posición $s=10$ metros, determina la ecuación de la posición $s(t)$ en cualquier instante $t$.

Nota: Recuerda que la velocidad es la integral de la aceleración y la posición es la integral de la velocidad. Ambas integrales requieren el uso del método de integración por partes.

Alba tiene que calcular la primitiva $\int \frac{2x^2 - 3}{x^2 - 1} \, dx$. En su examen escribe el siguiente desarrollo:

«Como el denominador descompone en $(x-1)(x+1)$, planteo directamente la descomposición:

Multiplicando por el denominador común: $2x^2 - 3 = A(x+1) + B(x-1)$.

• Si $x = 1 \implies -1 = 2A \implies A = -1/2$.

• Si $x = -1 \implies -1 = -2B \implies B = 1/2$.

Por tanto, la integral es $-\frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$».

1. a) Sin calcular aún la integral correcta, explica de forma razonada por qué el planteamiento algebraico inicial de Alba es erróneo y qué condición fundamental sobre los grados de los polinomios ha ignorado.
2. b) Deriva el resultado final que obtuvo Alba y comprueba que no coincide con el integrando original, identificando qué término falta.
3. c) Resuelve la integral de forma correcta realizando la división polinómica previa y la descomposición correspondiente.

Para resolver la integral indefinida $I = \int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x - 10} \, dx$, dos compañeros de clase proponen caminos distintos:

• Marcos afirma: «El denominador tiene dos raíces reales distintas, $x = 2$ y $x = -5$. Por tanto, debemos descomponer obligatoriamente la fracción en $\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+5}$, calcular $A$ y $B$, e integrar la suma de los dos logaritmos resultantes».

• Lucía responde: «Ese procedimiento es innecesariamente largo para este caso concreto; la integral se puede resolver en una sola línea de forma casi inmediata sin necesidad de descomponer nada».

1. a) Analiza ambas posturas: ¿son matemáticamente válidas las dos? Justifica cuál es la más eficiente y qué propiedad o estructura del integrando permite aplicar el método directo de Lucía.
2. b) Resuelve la integral aplicando el método de Lucía.
3. c) Modifica levemente el numerador de la integral (manteniendo el mismo denominador $x^2 + 3x - 10$) de modo que la estrategia de Lucía ya no sea aplicable directamente y sea imprescindible recurrir al método de fracciones simples de Marcos. Resuelve a continuación la nueva integral que has propuesto.

Utiliza el método de integración por partes para resolver la siguiente integral. Recuerda elegir adecuadamente $u$ y $dv$ siguiendo la regla mnemotécnica ALPES:

$\displaystyle \int x \cdot e^x dx$

Resuelve la siguiente integral por el método de integración por partes:

$\displaystyle \int (x + 2) \cdot \cos(x) dx$

Calcula la primitiva de la función logaritmo neperiano utilizando el método de integración por partes, tomando $u = \ln(x)$ y $dv = dx$:

$\displaystyle \int \ln(x) dx$

Un equipo de ingenieros está analizando el ritmo de descarga de la batería de un nuevo prototipo de dron. Han determinado que la función que representa la velocidad de variación de la carga (en mAh por minuto) viene dada por $f(t) = 3t^2 - \frac{4}{t+1} + \sqrt{t}$, donde $t$ es el tiempo en minutos.

Halla la función de carga total $F(t)$, sabiendo que en el instante inicial ($t = 0$) la carga del dron era de $2500$ mAh.

Una empresa de componentes electrónicos estima que su costo marginal (el costo de producir una unidad adicional) sigue la función $C'(x) = x \cdot \ln(x)$, donde $x$ es el número de miles de unidades producidas.

Determina la función de costo total $C(x)$ sabiendo que los costos fijos (costo cuando $x = 1$, en este modelo simplificado) son de $70$ mil bolivianos.

Halla la primitiva de la función $g(x) = x^2 \cdot \cos(x)$ que pase por el origen de coordenadas. Deberás aplicar el método de integración por partes dos veces consecutivas.

Halla la integral indefinida $\int e^{2x} \cdot \sin(x) \, dx$.

Este tipo de integrales se denominan "cíclicas". Aplica el método de integración por partes hasta que vuelva a aparecer la integral original y despeja el valor de la misma.

Se considera la función racional $f(x) = \dfrac{x + 4}{x^2 - 1}$, definida para $x \in [2, 4]$. Se desea estudiar la función primitiva $F(x) = \int f(x) \, dx$ que verifica la condición $F(2) = 0$, y en particular determinar el valor de $F(4)$.

1. a) Comprueba que $f(x)$ es estrictamente decreciente y positiva en el intervalo $[2, 4]$ calculando los valores exactos de $f(2)$ y $f(4)$. A partir de dichos valores, realiza una estimación razonada del incremento $F(4) - F(2)$ acotándolo entre un valor mínimo y un valor máximo (pista: considera el área bajo una curva decreciente comparándola con rectángulos inferior y superior construidos sobre la base del intervalo $[2, 4]$).
2. b) Calcula la expresión analítica exacta de la primitiva $F(x)$ mediante la descomposición en fracciones simples y determina el valor de la constante de integración con la condición dada.
3. c) Utilizando las aproximaciones $\ln 3 \approx 1,099$ y $\ln 5 \approx 1,609$, calcula el valor numérico de $F(4)$ y comprueba si tu estimación previa del apartado a) ha sido coherente y acertada.

Dada la función racional $f(x) = \dfrac{a x^2 + b x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1}$, donde $a$ y $b$ son coeficientes reales:

1. a) Factoriza el denominador indicando las raíces y su orden de multiplicidad, y escribe la estructura teórica de su descomposición en fracciones simples.
2. b) Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumplan simultáneamente las siguientes dos condiciones:

1. En la familia de primitivas de $f(x)$, el coeficiente del término logarítmico $\ln|x-1|$ es igual a cero.

2. La recta tangente a la gráfica de cualquier primitiva $F(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$ tiene pendiente $m = 1$.

1. c) Con los valores de $a$ y $b$ hallados en el apartado anterior, obtén la expresión de la primitiva específica $F(x)$ cuya gráfica pasa por el punto $P(2, 3)$.

Calcula la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{x^4 + x^3 - 2}{x^3 - x^2}$ que pasa por el punto $P(2, 5)$. Ten en cuenta que, debido a los grados de los polinomios, deberás realizar una división previa y posteriormente descomponer la fracción restante considerando la existencia de raíces reales múltiples.

Determina la integral indefinida de la función $g(x) = \dfrac{1}{x^4 - 1}$. Para resolver este ejercicio, deberás factorizar el denominador completamente en el cuerpo de los números reales y descomponer la fracción en una suma que incluya términos con raíces reales simples y un término con raíces complejas de tipo arcotangente.

Un equipo de ingenieros está monitorizando el flujo de refrigerante en una central térmica. La tasa de variación del volumen de líquido respecto al tiempo $t$ viene dada por la función $v(t) = \dfrac{4t + 10}{t^2 + 4t + 13}$. Halla la expresión del volumen total $V(t)$ sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) el depósito contenía $100$ litros.

Nota: Observa que el denominador no tiene raíces reales, por lo que la solución combinará un logaritmo neperiano y un arco tangente.

Se desea encontrar una función $F(x)$ cuya derivada es $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{(x+1)^3}$. Halla dicha función sabiendo que su gráfica pasa por el punto $(0, 2)$. Este problema requiere el uso de fracciones simples con raíces reales de multiplicidad tres.

Calcula la integral indefinida $\displaystyle \int \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x^2 + x + 1} \, dx$.

Para ello, observa que el denominador puede factorizarse mediante el método de Ruffini o por agrupación de términos, resultando en un producto de un factor lineal y un factor cuadrático irreducible.

Determina los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que la siguiente igualdad sea cierta y, posteriormente, calcula la primitiva de $f(x)$ que se anula en $x=0$:

Un estudio de mercado analiza el ritmo de crecimiento de las ventas de un nuevo modelo de monopatín eléctrico. La función que describe la tasa de variación de las ventas (en cientos de unidades por mes) viene dada por:

$f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1}$

Donde $x$ es el tiempo en meses. Calcula la familia de funciones de ventas totales $F(x)$ obteniendo la antiderivada de dicha función. (Nota: Realiza primero la división polinómica).

Calcula la integral indefinida de la siguiente función racional descomponiéndola en fracciones simples, sabiendo que su denominador presenta una raíz real doble:

$\displaystyle \int \dfrac{5x - 2}{x^2 - 4x + 4} \, dx$

Determina la integral de la siguiente función racional descomponiéndola previamente en una suma de fracciones más sencillas:

$\displaystyle \int \dfrac{x + 7}{x^2 + 4x + 3} \, dx$

En las integrales de tipo arcotangente, a veces es necesario manipular el denominador. Calcula la siguiente primitiva completando el cuadrado en el denominador para que adopte la forma del tipo $\int \frac{u'}{1+u^2} dx$:

$\displaystyle \int \dfrac{3}{x^2 + 2x + 5} \, dx$

Se sabe que la pendiente de la recta tangente a una curva en cualquier punto $(x, y)$ viene dada por la expresión $m = \dfrac{x^3 + x^2}{x^2 + 1}$. Halla la ecuación de dicha curva sabiendo que pasa por el punto $(0, 1)$.

Durante un episodio de deshielo primaveral en la cordillera de los Andes, los técnicos de la Autoridad de Fiscalización y Control Social de Agua Potable y Saneamiento Básico (AAPS) monitorean el aporte extraordinario de agua a un embalse. La tasa de caudal neto de entrada se modela durante los primeros días mediante la función:

donde $t \ge 0$ es el tiempo transcurrido en días y $q(t)$ se mide en hectómetros cúbicos por día ($\text{hm}^3/\text{día}$).

1. a) Realiza la división polinómica para descomponer $q(t)$ en la suma de un polinomio y una fracción racional propia con denominador irreducible. Determina la ecuación de la asíntota oblicua de la función e interpreta su significado respecto a la tendencia a largo plazo del caudal.
2. b) Halla la función $V(t)$ que describe el volumen total extraordinario acumulado en el embalse desde el inicio del episodio ($t=0$), sabiendo que $V(0) = 0$. Muestra con claridad cómo descompones la fracción propia restante en un término logarítmico y otro asociado al arcotangente.
3. c) El protocolo de seguridad de la presa establece que debe abrirse preventivamente un aliviadero si el volumen acumulado supera los $10\text{ hm}^3$ al cumplirse el segundo día ($t=2$). Tomando las aproximaciones $\ln 5 \approx 1,61$ y $\arctan 2 \approx 1,11\text{ rad}$, evalúa numéricamente $V(2)$ y justifica de manera cuantitativa si la AAPS debe o no ordenar la apertura del aliviadero en ese instante.

Se considera la familia de funciones racionales dependientes de un parámetro real $m$:

1. a) Obtén la descomposición en fracciones simples de $f_m(x)$ expresando los coeficientes de los numeradores en función de $m$.
2. b) Un estudiante plantea la siguiente conjetura: «Ajustando adecuadamente el valor de $m$, es posible conseguir que la primitiva $\int f_m(x) \, dx$ sea una función puramente racional algebraica, es decir, que no contenga ningún término logarítmico». Demuestra analíticamente que la conjetura del estudiante es FALSA: comprueba que la suma de los tres coeficientes de la descomposición es constante e independiente de $m$, y deduce por qué no pueden anularse todos simultáneamente para ningún valor de $m$.
3. c) Encuentra el único valor de $m$ que consigue anular el coeficiente del término $\ln|x+2|$ en la primitiva. Para dicho valor de $m$, calcula la primitiva $F(x)$ que verifica $F(2) = 0$, escribe su expresión para $x > 1$ agrupando los términos en un único logaritmo mediante sus propiedades y calcula e interpreta el límite $\lim_{x \to 1^+} F(x)$.