Ejercicios: Integral indefinida. Descomposición elemental e integrales inmediatas

Un skater profesional está analizando la trayectoria de su último salto en una rampa. La función que describe la variación de su altura respecto al tiempo (velocidad vertical) viene dada por la expresión $v(t) = 3t^2 - 4t + 5$, cuya gráfica aparece en la figura. Halla la familia de funciones $H(t)$ que representan la altura del skater, calculando la integral indefinida:

En el estudio de la propagación de una noticia en una red social, se ha determinado que el ritmo de crecimiento de los "compartidos" sigue una ley potencial. Para encontrar el total acumulado, un programador debe resolver la siguiente integral de una función irracional. Calcúlala pasando primero la raíz a exponente fraccionario:

Determina si la función $F(x) = x \cdot e^x$ es una primitiva de la función $f(x) = (x+1)e^x$. Para justificar tu respuesta, recuerda utilizar la relación fundamental entre una función y su primitiva mediante la derivación.

Un estudio de audición para adolescentes analiza la intensidad de una señal sonora. La función que describe la presión acústica instantánea es $p(x) = \frac{3}{x} + e^{2x}$. Halla la primitiva general de dicha función realizando la integración:

Calcula la integral indefinida de la siguiente combinación de funciones trigonométricas y constantes, aplicando las propiedades de linealidad (sacar constantes y separar sumas):

Halla todas las primitivas de la función $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.

En el diseño de una lente para una cámara de smartphone, se requiere conocer la función de curvatura. La derivada de dicha función es $g'(x) = \frac{7}{1 + x^2} - 2^x$. Obtén la expresión de la función $g(x)$ calculando su integral indefinida:

Halla la primitiva de la función $f(x) = 2x - 6$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 4)$.

Nota: Primero calcula la integral indefinida para obtener la familia de funciones con la constante $C$, y luego utiliza el punto $P$ para hallar el valor específico de dicha constante.

Marcos tiene que calcular en un examen la integral indefinida $\int (3x - 2)(2x + 1)\, dx$. En su hoja de respuestas escribe lo siguiente:

1. a) Explica detalladamente cuál es el error conceptual que comete Marcos al aplicar la propiedad de linealidad de la integral.
2. b) Demuestra que el resultado de Marcos es incorrecto derivando la función que ha obtenido y comprobando que no coincide con el integrando $(3x - 2)(2x + 1)$.
3. c) Resuelve la integral de forma correcta realizando primero la multiplicación algebraica y aplicando después las reglas de las integrales inmediatas.

Considera la función continua $f(x) = 6 - 2x$ y la primitiva concreta $F(x)$ que cumple la condición inicial $F(0) = 2$.

1. a) Estima: Sin calcular la expresión analítica de $F(x)$, analiza razonadamente el signo de $f(x)$ en el intervalo $[0, 3]$ y en el intervalo $[3, 4]$. A partir del crecimiento y decrecimiento de $F(x)$, y teniendo en cuenta que $f(x)$ es simétrica respecto a su raíz $x = 3$, estima si el valor de $F(4)$ será mayor, menor o igual que $F(0)$.
2. b) Calcula: Obtén la familia general de primitivas de $f(x)$ mediante descomposición elemental e identifica la primitiva particular $F(x)$ que pasa por $(0, 2)$.
3. c) Comprueba: Calcula el valor exacto de $F(4)$ sustituyendo en la función hallada y confirma si tu estimación cualitativa era correcta.

Calcula la familia de funciones primitivas de la siguiente función, simplificando el resultado eliminando los exponentes negativos y utilizando radicales:

$f(x) = \dfrac{3}{x^4} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{5x}$

Halla la integral indefinida de la función $g(x)$, realizando los ajustes de constantes necesarios para obtener una estructura de tipo logarítmico:

$I = \displaystyle\int \dfrac{3x - 1}{x^2 - \frac{2}{3}x + 5} \, dx$

Un dron de vigilancia se desplaza de forma que su velocidad en el eje horizontal (en m/s) viene dada por la función $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sabiendo que en el instante inicial $t=0$ el dron se encuentra en la posición $s=0$, determina la expresión de la función de posición $s(t)$.

Calcula la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-2}$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 5)$.

Nota: Realiza primero la división de los polinomios.

Determina la integral indefinida de la siguiente función compuesta, identificando la derivada de la función interna:

$I = \displaystyle\int \dfrac{\ln^2(x) + 1}{x} \, dx$

Halla la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2(3x)} + 5^{2x}$ sabiendo que $F(0) = 1$.

Calcula la integral indefinida de la siguiente función utilizando la descomposición por linealidad y el ajuste de la derivada del exponente:

$I = \displaystyle\int \left( 2x \cdot e^{x^2+3} - \dfrac{5}{1+4x^2} \right) \, dx$

Dada la función $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}}$, calcula su primitiva general. Comprueba tu resultado derivando la función obtenida.

Determina los coeficientes reales $a$ y $b$ de la función $f(x) = a\cdot x + \dfrac{b}{x^2}$ (definida para $x > 0$) sabiendo que su familia de primitivas cumple las dos condiciones siguientes:

1. La recta tangente a la gráfica de cualquiera de sus primitivas en el punto de abscisa $x = 1$ es horizontal (pendiente nula).

2. La primitiva específica $F_0(x)$ que pasa por el punto $(1, 7)$ verifica además que $F_0(2) = 11$.

1. a) Plantea el sistema de ecuaciones que permite hallar los valores de $a$ y $b$, interpretando geométricamente la relación entre la derivada de una primitiva y la función integrando.
2. b) Halla la función $f(x)$ y la expresión analítica completa de la primitiva particular $F_0(x)$.

En un parque eólico situado en Bolivia, los técnicos de operación modelizan la potencia neta generada, es decir, la tasa de variación instantánea de la energía acumulada, $P'(t)$ (en $\text{MW}$), durante un intervalo de seguimiento de 9 horas ($t \in [1, 9]$) mediante la función:

donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas.

1. a) Descompón algebraicamente el cociente en una suma de potencias elementales de la forma $k\cdot t^n$ y cita qué regla de integración inmediata se aplica a cada término.
2. b) Halla la familia completa de primitivas $P(t)$ que describen la energía acumulada en función del tiempo.
3. c) Si a la primera hora de medición ($t = 1$) los contadores registraban una energía acumulada de $15\text{ MWh}$, halla la constante de integración $C$ y determina la energía acumulada cuando han transcurrido $4$ horas ($t = 4$).

Un ingeniero de sonido está analizando la señal de un nuevo sintetizador. La tasa de variación de la intensidad de la onda respecto al tiempo, $t$, viene dada por la función $f'(t) = \dfrac{e^{2t} + 3e^t}{e^t + 1}$.

Sabiendo que para un tiempo $t = 0$ la intensidad de la onda es de $10$ unidades, determina la expresión analítica de la intensidad $f(t)$ realizando las manipulaciones algebraicas necesarias para resolver la integral.

Calcula la familia de primitivas de la siguiente función trigonométrica utilizando identidades fundamentales para transformar el integrando en una suma de integrales inmediatas:

Determina la función $f(x)$ cuya derivada segunda es $f''(x) = \dfrac{12x^2 - 4}{(x^2 + 1)^3}$.

Se sabe que la gráfica de $f(x)$ tiene un punto de inflexión de abscisa positiva en el que la recta tangente es horizontal, y que la gráfica de $f(x)$ pasa por el punto $(0, 5)$.

Nota: Este ejercicio requiere un manejo experto de la regla de la cadena en sentido inverso para funciones racionales.

Una empresa de logística estudia el desgaste de los neumáticos de su flota. La velocidad de desgaste $V(x)$ (en mm por cada 1000 km) depende de la carga $x$ (en toneladas) según la función:

$V(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{4 - (x - 3)^2}}$

Halla la función de desgaste acumulado $D(x)$, sabiendo que para una carga de $3$ toneladas ($x = 3$) el desgaste es cero.

Halla la integral indefinida de la siguiente función racional completando el cuadrado en el denominador para identificar una estructura de arco tangente:

Dada la función $f(x) = |x - 2| \cdot e^x$, encuentra la primitiva $F(x)$ que verifica que $F(0) = 1$.

Recuerda que para que $F(x)$ sea una primitiva en todo su dominio, debe ser una función continua, por lo que tendrás que ajustar las constantes de integración en los diferentes tramos.

Determina los valores de los parámetros $A, B$ y $C$ para que la función $F(x) = (Ax^2 + B) \sin(2x) + Cx \cos(2x)$ sea una primitiva de $f(x) = x^2 \cos(2x)$.

Plantea el sistema de ecuaciones derivando $F(x)$ e igualando coeficientes.

Calcula la integral indefinida de la función:

Este ejercicio evalúa la capacidad de reconocer la estructura $g(u(x)) \cdot u'(x)$ cuando existen múltiples funciones compuestas.

Dos estudiantes de 2.º de Bachillerato, Alba y Hugo, debaten sobre cuál es el método más adecuado para resolver la integral indefinida $I = \int \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1}\, dx$:

• Alba sostiene que siempre debe realizarse la división euclídea de polinomios para expresar la fracción impropia en la forma $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.

• Hugo afirma que es más rápido utilizar el artificio algebraico de sumar y restar $1$ en el numerador: $x^2 + 3 = (x^2 + 1) + 2$, para separar directamente la fracción en dos integrales inmediatas.

• Un tercer compañero, Daniel, propone subir el denominador como $(x^2 + 1)^{-1}$ y aplicar directamente la regla de la potencia: $\int u^n = \frac{u^{n+1}}{n+1}$.

1. a) Justifica rigurosamente por qué la propuesta de Daniel es un error matemático grave, indicando qué elemento diferencial le falta al integrando para poder aplicar una regla de tipo potencial o logarítmica.
2. b) Desarrolla de manera completa los procedimientos de Alba y de Hugo, demostrando que ambos conducen a la misma descomposición. Razona cuál de los dos métodos es más eficiente y presenta menor riesgo de error en este caso concreto.
3. c) Calcula la primitiva particular $F(x)$ que cumple la condición $F(1) = \frac{\pi}{2} + 3$.

Se desea reconstruir analíticamente una función $f(x)$ y una de sus primitivas, $F(x)$, a partir de las siguientes propiedades geométricas observadas en la familia de curvas:

1. La recta tangente a cualquier primitiva en un punto de abscisa $x$ tiene pendiente estrictamente positiva si $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$ y pendiente estrictamente negativa si $x \in (0, 2)$.

2. La derivada segunda de cualquier primitiva es una función lineal $F''(x) = \alpha x + \beta$ cuya gráfica corta al eje de abscisas en $x = 1$.

3. Existe una primitiva específica $F_1(x)$ cuyo mínimo relativo se alcanza a una altura de $-3$ unidades y que además corta al eje $X$ en el punto $(3, 0)$.

1. a) Traduce razonadamente las condiciones 1 y 2 para demostrar que la función integrando debe ser un polinomio de segundo grado de la forma $f(x) = k(x^2 - 2x)$ con $k > 0$.
2. b) Obtén mediante descomposición elemental la familia de primitivas $F(x)$ en función de los parámetros $k$ y de la constante $C$.
3. c) Emplea la condición 3 para deducir de forma unívoca los valores de $k$ y de $C$, y escribe las fórmulas definitivas de $f(x)$ y de la primitiva particular $F_1(x)$.