Ejercicios: Sucesiones; límite de una sucesión

Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{1}{n^2}$, con $n = 1, 2, 3, \dots$

1. a) Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión.

1. b) Razona, de forma intuitiva, cuál es el valor de su límite cuando $n$ tiende a infinito:

$$\lim_{n \to \infty} a_n$$

Calcula el límite de la siguiente sucesión racional comparando los grados del numerador y del denominador:

$$a_n = \frac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 7}$$

Determina el valor del límite de la sucesión $b_n$ cuando $n$ crece indefinidamente:

$$b_n = \frac{100n + 50}{n^2 - 1}$$

En una red social, el número de "me gusta" de una publicación en las primeras horas sigue la progresión $c_n = \frac{4n^2}{n+2}$, donde $n$ es el número de horas desde la publicación. ¿Qué ocurre con la cantidad de "me gusta" a muy largo plazo? Calcula:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n+2}$$

Calcula el límite de la siguiente sucesión que involucra una raíz cuadrada, analizando el término de mayor grado:

$$d_n = \frac{\sqrt{9n^2 + n}}{2n - 3}$$

La gráfica muestra algunos de sus primeros términos (a partir de $n=3$).

Utilizando la comparación de órdenes de infinitud (exponencial frente a polinómica), halla el límite de la sucesión:

$$e_n = \frac{3^n}{n^{10} + 500}$$

Se estima que el valor de una computadora portátil después de $n$ años viene dado por la sucesión $v_n = 1200 \cdot (0,8)^n$. Calcula el límite de esta sucesión e interpreta qué significa el resultado en el contexto de la devaluación del equipo.

$$\lim_{n \to \infty} 1200 \cdot (0,8)^n$$

En la figura se representan, para $n=1,2,\dots,10$, los términos de dos sucesiones: los puntos azules corresponden a $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ y los puntos verdes a

$$x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}$$

1. a) Identifica cuál de las dos sucesiones de la figura (azul o verde) corresponde a la definición del número $e$ y escribe su límite.

1. b) Calcula $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n$ (los puntos verdes), razonando a partir de la definición de $e$, y comprueba que el resultado es coherente con la tendencia que se observa en la figura.

En un examen de Matemáticas II, Marcos debe calcular el límite de la siguiente sucesión:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{5^n + n!}{2\cdot n! - 3^n}$$

Para resolverlo, Marcos escribe el siguiente desarrollo:

«En el numerador, $5^n$ es una función exponencial con base 5, por lo que domina sobre $n!$. En el denominador ocurre lo mismo con $3^n$, que domina sobre $2\cdot n!$. Por tanto, el límite equivale a $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{-3^n} = -\lim_{n \to \infty} \left(\frac{5}{3}\right)^n = -\infty$».

1. a) Identifica y explica detalladamente el error conceptual que comete Marcos en relación con la jerarquía de infinitos ($\log n \ll n^k \ll a^n \ll n! \ll n^n$).
2. b) Corrige su resolución: extrae factor común en el numerador y en el denominador del término que verdaderamente domina en el infinito y calcula el valor correcto del límite.

Dada la sucesión de término general:

$$a_n = \frac{6n^2 + \cos(n)\cdot \sqrt{n}}{2n^2 + 5}$$

1. a) Estima: Analiza qué términos crecen con mayor rapidez en el numerador y en el denominador cuando $n$ tiende a infinito. Teniendo en cuenta que los valores de la función coseno oscilan acotados en el intervalo $[-1, 1]$, realiza una estimación intuitiva y razonada del valor al que debe converger la sucesión antes de efectuar cálculos formales.
2. b) Comprueba: Demuestra formalmente tu estimación aplicando el teorema del sándwich. Para ello, construye dos sucesiones sencillas $b_n$ y $c_n$ que verifiquen la desigualdad $b_n \le a_n \le c_n$ para todo $n \ge 1$, calcula $\lim_{n \to \infty} b_n$ y $\lim_{n \to \infty} c_n$, y confirma si el resultado obtenido coincide con el valor estimado.

Calcula el límite de la siguiente sucesión analizando los grados de los polinomios y justificando el resultado mediante la comparación de los términos de mayor grado:

$a_n = \frac{(3n - 1)^2 \cdot (n + 2)}{(2n + 3)^3 - 5n}$

Dadas las siguientes sucesiones, utiliza la jerarquía de infinitos para determinar, sin realizar operaciones algebraicas extensas, cuál es el valor de su límite cuando $n \to \infty$:

1. a) $b_n = \frac{n^5 + 10^6}{\ln(n^2 + 1) + 0,5^n}$

1. b) $c_n = \frac{\sqrt{n^3 + 4n}}{2n + \sqrt[3]{n^5}}$

1. c) $d_n = \frac{1,02^n}{n^{1000} + 5n}$

Resuelve el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + 3n - 1} - 2n$.

Para visualizar su comportamiento, en la figura se representan los ocho primeros términos $a_1, a_2, \dots, a_8$. Observa hacia qué valor parecen acercarse y después justifica el resultado con el cálculo del límite (por ejemplo, multiplicando y dividiendo por el conjugado).

Un inversor analiza el crecimiento de una criptomoneda cuya evolución diaria sigue la ley de una sucesión de tipo exponencial. El valor relativo tras $n$ días viene dado por:

$V_n = \left( \frac{5n^2 + 3n}{5n^2 - 2} \right)^{n+1}$

Calcula el valor al que tiende la moneda a largo plazo utilizando la relación con el número $e$.

Halla el valor de los parámetros reales $k$ y $t$ para que se verifique la siguiente igualdad:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{kn + 5}{3n - 1} \right)^n = e^t$

Sabiendo que el límite de la base es $1$ y que el resultado final es $e^2$.

Estudia el comportamiento de la sucesión recurrente definida por:

$a_1 = 2$

$a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right)$

Si suponemos que la sucesión es convergente y que su límite es $L$ ($L > 0$), calcula dicho valor resolviendo la ecuación $L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{2}{L} \right)$. ¿A qué constante irracional famosa corresponde este resultado?

En un laboratorio de biotecnología, el número de bacterias de una cepa (en millones) después de $n$ horas se modeliza mediante la sucesión:

$P_n = \frac{12n^2 + \text{sen}(n)}{3n^2 + 500}$

Determina la población de bacterias cuando el tiempo tiende a infinito. Razona qué ocurre con el término $\text{sen}(n)$ en el cálculo del límite.

Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta una resta de fracciones con distinto denominador:

$a_n = \frac{2n^2 + 1}{n - 1} - \frac{2n^3 + 5}{n^2 + 2}$

Indica si la sucesión es divergente o convergente tras resolver la indeterminación $\infty - \infty$.

El Instituto Nacional de Estadística (INE) estudia la evolución demográfica de un municipio rural en la provincia Tomina (Chuquisaca). El número de habitantes al inicio del año $n+1$, denotado por $P_{n+1}$, se modeliza a partir de la población del año previo $P_n$ mediante la siguiente relación de recurrencia:

$$P_{n+1} = 0,95\cdot P_n + 30$$

El coeficiente $0,95$ modeliza una pérdida neta anual del $5\,\%$ por el balance vegetativo y migratorio, mientras que la constante $30$ representa los nuevos residentes que se registran cada año atraídos por incentivos al teletrabajo.

1. a) Si en el año inicial el censo es de $P_1 = 800$ habitantes, calcula de forma justificada la población de los tres años siguientes ($P_2$, $P_3$ y $P_4$) redondeando los resultados a números enteros, e indica la tendencia inmediata que observas.
2. b) Sabiendo que la sucesión es convergente y que su límite finito $L = \lim_{n \to \infty} P_n$ satisface la ecuación de punto fijo $L = f(L)$, calcula a qué cantidad de habitantes tenderá la población del municipio a largo plazo.
3. c) Interpreta el valor de $L$ en el contexto sociodemográfico del problema: ¿acabará la localidad despoblándose por completo o alcanzará un equilibrio demográfico estable? Justifica tu respuesta.

Considera la sucesión dada por:

$$a_n = \left(\frac{3n + a}{3n - 1}\right)^{b\cdot n + 2}$$

donde $a$ y $b$ son constantes reales fijas, con $b > 0$.

1. a) Justifica que la base de la potencia tiende a $1$ y el exponente a $+\infty$ cuando $n \to \infty$, identificando el tipo de indeterminación que presenta la sucesión.
2. b) Problema inverso: Determina los valores exactos de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que la sucesión converge al número real $e^4$ y que ambos satisfacen la relación lineal $a - 2b = 1$. Muestra todo el procedimiento aplicando la equivalencia $\lim_{n \to \infty} (u_n)^{v_n} = e^L$, con $L = \lim_{n \to \infty} v_n \cdot (u_n - 1)$.
3. c) Con los valores hallados, calcula razonadamente el límite de la sucesión auxiliar $s_n = \ln(a_n)$ justificando la propiedad de límites y continuidad que utilizas.

Calcula el valor del siguiente límite de una sucesión que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$, prestando especial atención a la manipulación algebraica de la base y el exponente:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 5n - 1}{2n^2 - 3n + 2} \right)^{\frac{n^2 + 1}{2n - 3}}$$

Determina el límite de la siguiente sucesión, la cual involucra una diferencia de raíces de distinto índice (cúbica y cuadrada). Para resolverlo, deberás forzar la aparición de un factor común o utilizar la técnica de sumar y restar un término intermedio que permita separar la expresión en dos límites tratables:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{n^3 + 3n^2} - \sqrt{n^2 - 4n} \right)$$

En el estudio de algoritmos de computación, es fundamental conocer la velocidad a la que crecen ciertas funciones. Calcula el límite de la siguiente sucesión comparando los órdenes de infinitud de los diferentes términos (factoriales, exponenciales y potencias):

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n! + 10^n}{n^n - 5^n}$$

Explica razonadamente qué término domina en el numerador y cuál en el denominador para justificar tu resultado.

Utiliza el Teorema del Sándwich (o Teorema de la existencia de límite por acotación) para hallar el valor del límite de la sucesión $a_n$ definida por la siguiente suma de fracciones:

$$a_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^2+3} + \dots + \frac{n}{n^2+n}$$

Halla los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre el límite de la sucesión y el valor indicado:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n + 1}{n - 2} - an - b \right) = 0$$

Se define una sucesión de forma recurrente mediante la fórmula:

$$a_1 = \sqrt{6}$$ $$a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$$

Suponiendo que la sucesión es convergente (puedes visualizar su comportamiento en el diagrama de abajo), calcula el valor exacto de su límite $L = \lim_{n \to \infty} a_n$.

Un dron de vigilancia está programado para realizar una serie de saltos en línea recta. En el primer segundo recorre $d$ metros. En cada segundo posterior, recorre una distancia que es la mitad de la distancia recorrida en el segundo anterior más un metro extra para compensar el viento. Si $x_n$ es la distancia total acumulada tras $n$ segundos:

1. a) Encuentra la expresión del término general de la distancia recorrida en cada segundo $a_n$.
2. b) Determina la distancia que recorrerá el dron en un segundo dado cuando $n$ tiende a infinito (es decir, $\lim_{n \to \infty} a_n$).

Dada la sucesión $a_n = \frac{3n + 2}{n + 1}$, demuestra mediante la definición formal de límite ($\varepsilon$ y $N$) que su límite es $L = 3$.

Para ello, para un valor de $\varepsilon = 0,001$, determina a partir de qué término $N$ de la sucesión se cumple que $|a_n - L| < \varepsilon$.

Se desea hallar el límite de la sucesión formada por la siguiente suma de $n$ sumandos:

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}}$$

Para resolverlo, dos estudiantes de 2.º de Bachillerato proponen caminos distintos:

• Propuesta de Javier: «Como el límite de una suma es la suma de los límites, calculo el límite de cada sumando cuando $n \to \infty$. Como $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} = 0$ para cualquier $k$, la suma de todos los límites da $0 + 0 + \dots + 0 = 0$. Por tanto, $\lim_{n \to \infty} S_n = 0$».

• Propuesta de Elena: «El método de Javier no es válido porque el número de sumandos no es fijo, sino que depende de $n$ y tiende a infinito. Debemos acotar la suma completa sustituyendo todos los denominadores por el mayor y por el menor para aplicar después el teorema del sándwich».

1. a) Analiza la propuesta de Javier: explica por qué la propiedad algebraica del límite de una suma no puede aplicarse en este caso y propón un contraejemplo sencillo donde una suma de $n$ términos que tienden individualmente a cero converja a un valor distinto de cero.
2. b) Aplica la propuesta de Elena: determina de forma razonada dos sucesiones $b_n$ y $c_n$ tales que $b_n \le S_n \le c_n$, calcula sus respectivos límites cuando $n \to \infty$ y deduce el verdadero valor de $\lim_{n \to \infty} S_n$.

Considera la sucesión con raíces de diferente índice:

$$a_n = \sqrt{n^2 + 6n} - \sqrt[3]{n^3 + 3n^2}$$

1. a) Estima: Para valores gigantescos de $n$, aproxima el comportamiento de cada término completando cuadrados y cubos: observa que $n^2 + 6n = (n+3)^2 - 9 \approx (n+3)^2$ y que $n^3 + 3n^2 = (n+1)^3 - (3n+1) \approx (n+1)^3$. A partir de esta aproximación asintótica informal, propón una estimación razonada del límite de la sucesión antes de operar.
2. b) Comprueba: Demuestra rigurosamente el valor exacto del límite sumando y restando el término auxiliar $n$ para transformar la expresión en la diferencia de dos bloques tratables:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left[ \left(\sqrt{n^2 + 6n} - n\right) - \left(\sqrt[3]{n^3 + 3n^2} - n\right) \right]$$

Multiplica y divide cada bloque por su expresión conjugada correspondiente (utilizando en el bloque cúbico la identidad $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$), calcula el límite de cada parte y verifica si el resultado coincide con tu estimación.

1. c) Justifica el error típico: Explica razonadamente por qué un procedimiento que conserve únicamente el término de mayor grado dentro de cada radical (haciendo $\sqrt{n^2} - \sqrt[3]{n^3} = n - n = 0$) conduce a una conclusión errónea, detallando por qué en una resta que genera una indeterminación $\infty - \infty$ no está permitido ignorar los términos de grado inferior.