Ejercicios: Continuidad de una función en un intervalo. Clasificación de discontinuidades. Teoremas de Bolzano y Weierstrass

Observa la gráfica de la función $f(x)$ representada a continuación e identifica los puntos de discontinuidad. Para cada uno de ellos, indica de qué tipo se trata (evitable, de salto finito o de salto infinito).

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo el conjunto de los números reales:

Dada la función racional $f(x) = \frac{x-3}{x^2-9}$, estudia su continuidad en los puntos $x = 3$ y $x = -3$. En caso de que existan discontinuidades, clasifícalas razonadamente calculando sus límites laterales.

Considera la función $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$.

1. Demuestra que la función no es continua en $x = 2$.

2. ¿Qué valor debería tomar $f(2)$ para que la discontinuidad fuera evitable y la función resultase continua en ese punto?

Comprueba si la función $f(x) = x^3 - 3x + 1$ cumple las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalo $[0, 1]$. ¿Puedes asegurar que existe al menos una raíz de la ecuación $x^3 - 3x + 1 = 0$ en dicho intervalo? Justifica tu respuesta.

Un senderista inicia una ruta en un refugio a 1200 metros de altitud ($t=0$). Tras 4 horas de marcha, se encuentra en un mirador a 1800 metros de altitud. Suponiendo que la función que describe su altitud respecto al tiempo, $A(t)$, es continua:

1. Explica, utilizando el Teorema de los Valores Intermedios (Darboux), si el senderista ha pasado en algún momento por la cota de los 1500 metros.

2. ¿Podemos asegurar que ha pasado por los 2000 metros?

Razona si la función $f(x) = \frac{1}{x}$ alcanza obligatoriamente un máximo y un mínimo absoluto en los siguientes intervalos basándote en el Teorema de Weierstrass:

1. En el intervalo cerrado $[1, 5]$.

2. En el intervalo abierto $(0, 1)$.

Estudia la continuidad lateral de la siguiente función en los extremos del intervalo $[0, 4]$:

Indica si la función es continua en $x=1$ comparando sus límites laterales.

Para estudiar si la función $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ se anula en el intervalo $[1, 4]$, Alejandro escribe lo siguiente en su examen:

«Calculamos los extremos del intervalo: $f(1) = \frac{1+1}{1-2} = -2 < 0$ y $f(4) = \frac{4+1}{4-2} = \frac{5}{2} > 0$. Como tienen signos opuestos, por el Teorema de Bolzano existe al menos un valor $c \in (1, 4)$ tal que $f(c) = 0$. Además, en $x = 2$ la función presenta una discontinuidad evitable porque solo falla en un punto aislado del denominador».

1. a) Explica de forma razonada qué error grave comete Alejandro al aplicar el Teorema de Bolzano y comprueba analíticamente si la ecuación $f(x) = 0$ tiene realmente alguna solución dentro del intervalo $(1, 4)$.
2. b) Clasifica con rigor la discontinuidad de $f(x)$ en $x = 2$ calculando los límites laterales pertinentes e indica qué hipótesis incumplida impedía aplicar el teorema.

Construye la expresión analítica de una función a trozos $g(x)$, con dominio en todo $\mathbb{R}$, que cumpla simultáneamente las tres condiciones siguientes:

1) Presenta una discontinuidad evitable en $x = -2$, con $\lim_{x \to -2} g(x) = 3$.

2) Presenta una discontinuidad de salto finito en $x = 1$, de manera que la longitud del salto entre sus límites laterales sea exactamente de 4 unidades.

3) Es continua en cualquier otro punto de $\mathbb{R}$.

Justifica analíticamente que la función que has diseñado satisface cada una de las condiciones calculando los límites laterales correspondientes y los valores de la función en dichos puntos.

Sea la función $f(x)$ definida a trozos como:

La figura muestra los tres tramos de definición (cambian en $x=2$ y en $x=4$) y el intervalo $[1, 5]$.

1. a) Calcula los valores de $a$, $b$ y $k$ para que la función sea continua en todo su dominio $\mathbb{R}$.

1. b) Una vez hallados, razona si la función cumple las hipótesis del Teorema de Weierstrass en el intervalo $[1, 5]$.

Estudia la continuidad de la siguiente función y clasifica razonadamente todos sus puntos de discontinuidad:

Indica si alguna de las discontinuidades es evitable y, en tal caso, redefine la función en ese punto para que resulte continua.

Un diseñador gráfico está trazando la trayectoria de un objeto en una animación. La altura $h$ en metros respecto al tiempo $t$ (en segundos) viene dada por:

1. a) Indica el dominio de la trayectoria.
2. b) Estudia la continuidad en $t = 3$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta? Interpreta el resultado en el contexto de la animación (¿hay un salto, desaparece el objeto o se va al infinito?).
3. c) ¿Es posible que el objeto alcance una altura de $0$ metros en algún instante del intervalo $[0, 2]$? Justifica tu respuesta usando el Teorema de Bolzano.

Demuestra, utilizando el Teorema de Bolzano, que las gráficas de las funciones $f(x) = e^x - 2$ y $g(x) = \cos(x)$ se cortan en al menos un punto dentro del intervalo $[0, \pi]$. Explica detalladamente los pasos y las hipótesis necesarias para aplicar el teorema.

Dada la función $f(x) = x^3 + x - 5$, justifica si existe algún valor $c \in [1, 2]$ tal que $f(c) = -1$. ¿Qué teorema garantiza este resultado? Enuncia dicho teorema y comprueba que se cumplen sus hipótesis.

Se sabe que una función $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 4]$. Si $f(0) = 1$ y $f(4) = 1$, ¿se puede asegurar que existe un punto $c \in (0, 4)$ tal que $f(c) = 0$? Pon un ejemplo gráfico de una función que cumpla las condiciones pero que no tenga raíces en ese intervalo y explica por qué no contradice al Teorema de Bolzano.

Dada la función $f(x) = \frac{k \cdot \sin(x)}{x}$ para $x \neq 0$:

1. a) Halla el valor de $k$ sabiendo que $\lim_{x \to 0} f(x) = 5$.
2. b) Con ese valor de $k$, define $f(0)$ para que la función sea continua en $x = 0$.
3. c) Justifica si la función resultante es continua en el intervalo $[0, 2\pi]$. ¿Podemos asegurar que alcanza un valor máximo absoluto en dicho intervalo?

Un dron despega desde el suelo ($y=0$) y sigue una trayectoria dada por la función altura $h(t) = t^2 \cdot e^{-t} + \ln(t+1)$, donde $t$ es el tiempo en minutos.

Demuestra que en algún instante entre el minuto $1$ y el minuto $6$ de vuelo, el dron se encuentra exactamente a una altura de $2$ metros. Utiliza para ello el Teorema de los Valores Intermedios (Darboux).

La temperatura $T$ (en grados Celsius) registrada por una estación meteorológica de AEMET en una zona de montaña durante una jornada invernal de 12 horas viene modelizada por la función:

donde $t$ representa el tiempo transcurrido en horas desde las $08:00$ de la mañana ($t = 0$).

1. a) Sin necesidad de calcular derivadas, justifica razonadamente si se puede asegurar que en algún instante entre las $08:00$ y las $20:00$ ($t = 12$) los termómetros marcaron exactamente $0^\circ\text{C}$. Enuncia el teorema en el que te apoyas y comprueba detalladamente el cumplimiento de todas sus hipótesis.
2. b) ¿Permiten los teoremas de continuidad garantizar que a lo largo de esas 12 horas existió al menos un instante de temperatura máxima absoluta y otro de temperatura mínima absoluta? Cita el teorema correspondiente, comprueba sus hipótesis e interpreta su significado práctico.

Considera la función polinómica $f(x) = x^3 + 5x - 3$ definida en el intervalo cerrado $[0, 1]$.

1. a) Estima: Observando los valores de $f(0)$ y $f(1)$, así como el peso relativo del término lineal $5x$ frente al cúbico $x^3$ en el intervalo $[0, 1]$, razona intuitivamente en cuál de los dos subintervalos, $[0;\, 0,5]$ o $[0,5;\, 1]$, es más probable que se encuentre la raíz de la función.
2. b) Comprueba: Aplica rigurosamente el Teorema de Bolzano para localizar con certeza la raíz en uno de los dos subintervalos anteriores. Para ello, enuncia sus hipótesis, evalúa $f$ en el punto medio $x = 0,5$ y concluye justificadamente.
3. c) Valora si tu estimación inicial coincidió con el resultado obtenido y razona si es posible que la función tenga más de una solución en el intervalo global $[0, 1]$ atendiendo a la monotonía de $f(x)$.

Dada la función $f(x)$ definida a trozos mediante la siguiente expresión:

1. a) Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio.

1. b) En el caso de que $b=1$, clasifica el tipo de discontinuidad que presenta la función en $x=0$ en función del valor de $a$.

Un equipo de ingenieros está probando dos nuevos modelos de drones de vigilancia, $D_1$ y $D_2$. La altura (en metros) del dron $D_1$ respecto al suelo viene dada por la función $h_1(t) = t \cdot \ln(t+1)$, mientras que la altura del dron $D_2$ sigue la función $h_2(t) = 10 \cdot e^{-t} + 5$, donde $t$ es el tiempo en minutos desde el despegue ($t \geq 0$).

Utiliza el Teorema de Bolzano para demostrar que existe un instante $t_0 \in [2, 5]$ en el que ambos drones se encuentran exactamente a la misma altura. Justifica detalladamente si podrías asegurar, mediante el Teorema de Weierstrass, que la diferencia de alturas entre ambos drones alcanza un valor máximo en ese intervalo de tiempo.

Considera la familia de funciones dependientes del parámetro $k \in \mathbb{R}$:

Analiza y clasifica todas las discontinuidades de $f(x)$ en función de los posibles valores de $k$. Indica específicamente para qué valores de $k$ alguna de las discontinuidades es evitable y redefine la función en ese punto para que sea continua.

Demuestra razonadamente que la ecuación $\sqrt{x^4 + 1} = 3x^2 \cdot \cos(x)$ tiene al menos dos soluciones reales en el intervalo $[-\pi, \pi]$. Para ello, define una función auxiliar adecuada y aplica los teoremas de continuidad necesarios. ¿Es posible afirmar que existe un valor máximo absoluto para la función $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^4+1} - 3x^2\cos(x)}$ en el intervalo $[0, \pi/4]$? Justifica tu respuesta basándote en el Teorema de Weierstrass.

Estudia la continuidad de la siguiente función en su dominio de definición:

Determina los puntos donde la función presenta discontinuidades y clasifícalas. Investiga si la función cumple las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalo $[0,5; 2]$ para asegurar la existencia de una raíz.

Sea la función $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^{-|x|}$. La figura muestra su gráfica como apoyo visual.

1. a) Expresa la función sin valores absolutos, es decir, definida a trozos.

1. b) Estudia su continuidad en los puntos donde se anulan los argumentos de los valores absolutos.

1. c) Utilizando el Teorema de Weierstrass, demuestra que la función alcanza un máximo absoluto en el intervalo cerrado $[-3, 3]$.

1. d) ¿Presenta la función alguna asíntota horizontal? Relaciona este hecho con el comportamiento de la función a largo plazo.

Se considera una función continua $f:[0, 1] \to [0, 1]$. Es decir, el dominio es el intervalo $[0, 1]$ y todas sus imágenes también están contenidas en $[0, 1]$.

Demuestra, haciendo uso del Teorema de Bolzano, que existe al menos un punto $c \in [0, 1]$ tal que $f(c) = c$ (un punto fijo de la función). Pista: Considera la función auxiliar $g(x) = f(x) - x$. Explica gráficamente qué significa este resultado en términos de la intersección de la gráfica de $f(x)$ con la bisectriz del primer cuadrante.

Dada la función $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$, se pide:

1. Hallar el dominio de la función.

2. Calcular los límites laterales en el punto donde la función no está definida.

3. Clasificar la discontinuidad encontrada.

4. ¿Es posible aplicar el Teorema de Bolzano en el intervalo $[-1, 1]$ para demostrar que existe un valor donde $f(x) = 0,5$? Razona si la falta de continuidad en un punto invalida la aplicación del teorema aunque los valores en los extremos sugieran que debería existir dicho punto.

Se desea demostrar que la ecuación $\cos(x) = x^2 - 2$ posee al menos dos soluciones reales distintas en el intervalo cerrado $[-\pi, \pi]$. Para abordar la demostración, se proponen dos estrategias:

• Método A: Definir la función auxiliar $h(x) = x^2 - 2 - \cos(x)$, analizar su simetría (paridad) y aplicar el Teorema de Bolzano en subintervalos adecuados de $[0, \pi]$ para deducir la existencia de ambas soluciones.

• Método B: Intentar aislar algebraicamente la variable $x$ mediante transformaciones trigonométricas directas y la función inversa $\arccos(x)$ para calcular los valores exactos de los puntos de corte.

1. a) Compara razonadamente ambos métodos. Justifica por qué el Método B resulta inviable en la práctica para esta ecuación trascendente y explica las ventajas del Método A.
2. b) Desarrolla de forma completa y rigurosa el Método A: comprueba las hipótesis del Teorema de Bolzano, selecciona un subintervalo adecuado dentro de $[0, \pi]$ donde se aprecie el cambio de signo y concluye por qué existen necesariamente al menos dos raíces simétricas en $[-\pi, \pi]$.

Para profundizar en la necesidad de las hipótesis de los teoremas fundamentales de la continuidad, resuelve las siguientes cuestiones de construcción analítica:

1. a) Diseña la expresión analítica de una función $f:[0, 4] \to \mathbb{R}$ que verifique a la vez: $f(0) = -2$, $f(4) = 3$, $f(x) \neq 0$ para todo $x \in [0, 4]$ (es decir, no tiene raíces en el intervalo) y presenta una única discontinuidad en $x = 2$. Clasifica dicha discontinuidad y explica por qué la ausencia de raíces no contradice el Teorema de Bolzano.
2. b) ¿Es posible definir una función $g:[0, 4] \to \mathbb{R}$ en ese mismo intervalo cerrado y acotado que NO alcance ni máximo absoluto ni mínimo absoluto? Si crees que es imposible, demuestra por qué; si crees que es posible, construye un ejemplo analítico explícito de dicha función $g(x)$, calcula su conjunto imagen y explica qué hipótesis del Teorema de Weierstrass se ha vulnerado.

Reto del tema. ¿Hacia dónde converge la incertidumbre? Investiga la ley de los grandes números y la saturación de procesos modelizando un fenómeno real.

1. Recolección y sucesión: Realiza en GeoGebra o en una hoja de cálculo una simulación de $n=1000$ repeticiones de un evento aleatorio con $p=0,5$ (o descarga frecuencias de días de lluvia en la web del SENAMHI). Genera la sucesión de frecuencias relativas $f_n$ y comprueba experimentalmente cómo $\lim_{n \to \infty} f_n = p$, conectando sucesiones con la interpretación frecuentista de la probabilidad.

2. Modelo y asíntotas: Diseña una función continua por tramos $P(t)$ que modele dicha estabilización temporal. Estudia formalmente su continuidad en la frontera de los tramos y determina sus asíntotas horizontales y verticales, extrayendo conclusiones sobre el comportamiento a largo plazo ($t \to +\infty$).

3. Indeterminaciones y L'Hôpital: Plantea la velocidad de convergencia calculando la derivada o la tasa de variación mediante un límite que presente una indeterminación $\left[\frac{0}{0}\right]$. Resuélvelo aplicando con rigor la regla de L'Hôpital para obtener información sobre el crecimiento de la función.

Entrega un informe breve de una página con el enlace a tu archivo digital y los desarrollos algebraicos.

Se valorará:

• Corrección en el cálculo de límites e indeterminaciones mediante la regla de L'Hôpital.

• Justificación analítica de la continuidad en un punto y deducción de asíntotas.

• Conexión conceptual entre el límite de la sucesión de frecuencias y la probabilidad teórica.

• Rigor del informe y adecuado uso de GeoGebra o la hoja de cálculo.