Ejercicios: Límites en el infinito x → ±∞

Calcula el límite de la siguiente función polinómica cuando la variable independiente crece indefinidamente:

$$\lim_{x \to +\infty} (-3x^4 + 5x^2 - 10x + 1)$$

Explica en qué término te has basado para determinar el resultado y por qué los demás términos no influyen en el valor del límite.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina, de forma visual, el valor de los límites en el infinito. Indica también la ecuación de la asíntota horizontal si existe.

1. a) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

Una empresa de reciclaje de componentes electrónicos estima que el costo total (en miles de bolivianos) para procesar $x$ toneladas de material viene dado por la función:

$$C(x) = \frac{12x + 45}{3x + 2}$$

¿A qué valor tiende el costo por tonelada cuando la cantidad de material procesado es extremadamente grande? Interpreta el resultado en términos de "economía de escala".

Determina el valor de los siguientes límites basándote en la comparación de los grados de los polinomios:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 1}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2x}{x^4 - 5}$

El número de seguidores de un nuevo "influencer" en una red social, medido en miles, evoluciona según la función:

$$S(t) = \frac{100t^2}{2t^2 + 50}$$

donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses desde que abrió su cuenta. Dibuja un esquema de la situación y calcula cuántos seguidores tendrá a largo plazo (cuando $t \to +\infty$).

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Calcula el límite de la siguiente función racional que contiene radicales, simplificando la expresión mediante el uso de potencias efectivas:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 5}}{2x - 1}$$

Dadas las funciones $f(x) = 2^x$ y $g(x) = x^{10} + 500x^2$, razona cuál de las dos funciones crece más rápidamente cuando $x \to +\infty$ utilizando la escala de infinitos. A partir de tu respuesta, deduce el valor del siguiente límite:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{10} + 500x^2}{2^x}$$

Completa la siguiente tabla de valores para la función $f(x) = \left( \frac{x+1}{x} \right)^x$ y utiliza los resultados obtenidos para conjeturar a qué número famoso tiende la función cuando $x$ se hace muy grande.

$x$	$10$	$100$	$1000$	$10000$
$f(x)$	$2,5937$	$2,7048$	$2,7169$	$2,7181$

Escribe el resultado utilizando la notación de límites:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = \dots$$

Marcos está resolviendo el siguiente límite en el infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^3 - 2^x}{4x^3 + \ln(x)}$$

En su examen escribe la siguiente justificación: «Como el mayor grado polinómico que aparece tanto en el numerador como en el denominador es 3, nos fijamos en los coeficientes líderes de $x^3$; por tanto, el límite es $\frac{5}{4}$».

1. a) Explica con detalle por qué el razonamiento de Marcos es conceptualmente erróneo, indicando qué familias de funciones intervienen en la expresión y cuál es la jerarquía de infinitos entre ellas cuando $x \to +\infty$.
2. b) Resuelve correctamente el límite justificando qué término impone su ritmo de crecimiento en el numerador y cuál en el denominador.

Considera la función $f(x) = \left(\frac{x+3}{x+1}\right)^{2x}$. Se desea estudiar su comportamiento asintótico cuando $x \to +\infty$.

1. a) Realiza una estimación cualitativa razonada antes de aplicar fórmulas: observa que para valores grandes de $x$, la base $\frac{x+3}{x+1}$ es estrictamente mayor que 1 pero muy próxima a 1 (por ejemplo, para $x = 100$, vale $\frac{103}{101} \approx 1{,}0198$), mientras que el exponente $2x$ crece indefinidamente. ¿Esperas intuitivamente que el límite sea 1, menor que 1 o mayor que 1? Justifica tu respuesta.
2. b) Resuelve formalmente el límite $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ identificando el tipo de indeterminación y aplicando la fórmula $\lim g(x)^{h(x)} = e^{\lim h(x)\cdot(g(x)-1)}$.
3. c) Expresa el valor exacto obtenido en función del número $e$ y comprueba si tu estimación inicial era acertada teniendo en cuenta que $e \approx 2{,}718$.

Dada la función racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 3x - 5}{2x^2 - k}$, calcula los valores de los parámetros reales $a$ y $k$ sabiendo que la función tiene una asíntota horizontal en $y = 3$ y que su gráfica pasa por el punto $(1, -2)$. Una vez hallados, comprueba si el límite cuando $x \to -\infty$ coincide con el límite cuando $x \to +\infty$.

Calcula el límite de la siguiente función cuando la variable $x$ tiende a $+\infty$. Para resolverlo, identifica primero el término dominante tanto en el numerador como en el denominador:

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^4 + 2x^2 - 1}}{2x^2 - 5x + 3}$$

Un servidor de videojuegos ha estimado que el número de usuarios conectados simultáneamente durante el primer año sigue la función $U(t) = \dfrac{500t^2 + 1000}{0,2t^2 + 5}$, donde $t$ es el tiempo en meses.

1. a) ¿Qué ocurre con el número de usuarios si el tiempo crece indefinidamente?
2. b) Interpreta el resultado en términos de asíntotas horizontales.

Resuelve el siguiente límite que involucra una diferencia de funciones irracionales. Recuerda utilizar la técnica del conjugado para deshacer la indeterminación de tipo $[\infty - \infty]$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - \sqrt{x^2 - 3x} \right)$$

Determina el valor del siguiente límite utilizando la relación con el número $e$. Debes transformar la expresión para que aparezca la forma de la definición de dicha constante:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 5}{2x - 1} \right)^{x+3}$$

Dadas las funciones $f(x) = e^x$, $g(x) = x^{10}$ y $h(x) = \ln(x)$, ordena los siguientes límites de menor a mayor valor según el orden de magnitud de los infinitos involucrados cuando $x \to +\infty$:

1. $L_1 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{f(x)}$

2. $L_2 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{h(x)}$

3. $L_3 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{h(x)}{f(x)}$

Calcula el límite cuando $x \to -\infty$ de la siguiente función. Presta especial atención al tratamiento de los signos cuando la variable negativa sale o entra en una raíz de índice par:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x - 2}{\sqrt{4x^2 + 1}}$$

Halla el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x - 1} - ax - b \right) = 0$$

Este tipo de límite es fundamental para el cálculo de las asíntotas oblicuas que estudiarás en temas posteriores.

El Instituto Nacional de Estadística (INE), dentro de sus informes sobre digitalización territorial, analiza la cobertura de banda ancha ultrarrápida en municipios rurales de menos de 5.000 habitantes en España. El porcentaje estimado de hogares rurales con acceso a esta red en función del tiempo se modeliza mediante la función:

$$P(t) = \frac{88t^2 + 120t}{t^2 + 2t + 5}$$

donde $t$ es el tiempo transcurrido en años desde la implantación de la estrategia estatal ($t = 0$, correspondiente al año 2018).

1. a) Calcula el porcentaje de hogares rurales que disponía de conexión al inicio del plan ($t = 0$) e interpreta el resultado.
2. b) Determina y razona matemáticamente el valor de $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ comparando los grados del numerador y del denominador, y explica qué significado práctico tiene dicho límite para la cohesión territorial.
3. c) Una operadora afirmó en prensa que este modelo garantiza que, con el paso de los años, se alcanzará la cobertura universal ($100\,\%$) en dichas zonas rurales. A partir de los resultados analíticos obtenidos, refuta o corrobora dicha afirmación con argumentos matemáticos.

Para calcular el límite en el infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^4 + 6x^2} - x^2 \right)$$

dos estudiantes proponen estrategias distintas:

• Método A (Marta): Extraer factor común de la máxima potencia dentro de la raíz: $\sqrt{x^4\left(1 + \frac{6}{x^2}\right)} - x^2 = x^2\sqrt{1 + \frac{6}{x^2}} - x^2 = x^2\left(\sqrt{1 + \frac{6}{x^2}} - 1\right)$. Como $\frac{6}{x^2} \to 0$, sustituye $\sqrt{1+0}-1 = 0$ y concluye que el resultado es $\infty \cdot 0 = 0$.

• Método B (Sergio): Identificar una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ entre términos del mismo orden y multiplicar y dividir por la expresión conjugada $\sqrt{x^4 + 6x^2} + x^2$.

1. a) Analiza críticamente el Método A: explica por qué no es matemáticamente válido sustituir solo una parte de la expresión por su límite parcial manteniendo otra parte variable, y recuerda qué naturaleza tiene la expresión $\infty \cdot 0$.
2. b) Desarrolla detalladamente el Método B y obtén el valor correcto del límite.
3. c) A partir de la comparación de ambos métodos, establece un criterio general: ¿en qué condiciones es imprescindible recurrir al conjugado en lugar de limitarse a comparar los términos dominantes de cada sumando?

Calcula los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que se verifique la siguiente igualdad en el infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + ax + 1} - \sqrt{4x^2 - 3x + b} \right) = \frac{5}{4}$$

Para resolverlo, considera el uso de la expresión conjugada y el análisis de los términos dominantes en el numerador y denominador resultantes.

Se está analizando la propagación de una noticia falsa en una red social. El número de usuarios afectados $N(t)$ tras $t$ horas viene dado por la función:

$$N(t) = \frac{e^{0,5t} + 10t^4}{2e^{0,5t} + \ln(t^2 + 1)}$$

Determina el comportamiento de la función a largo plazo, es decir, calcula $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. Justifica tu respuesta basándote en la comparación de órdenes de infinitos (exponencial frente a polinómica y logarítmica).

Halla el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el siguiente límite de tipo $1^\infty$ sea igual a $\sqrt[3]{e^2}$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 + kx - 1}{3x^2 + 2} \right)^{\frac{x^2 + 1}{x}}$$

Asegúrate de aplicar correctamente la fórmula para la resolución de la indeterminación del tipo número $e$.

Estudia el límite en el infinito negativo de la siguiente función racional que contiene un valor absoluto y una raíz cuadrada:

$$f(x) = \frac{|3x - 2| + \sqrt{x^2 + 5x}}{2x - 7}$$

Es decir, calcula $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Ten especial cuidado con el signo de la variable $x$ al introducir o extraer factores de la raíz cuadrada y al deshacer el valor absoluto.

Un prototipo de motor de propulsión iónica para satélites tiene un consumo de energía $E(x)$ en julios que depende de la velocidad $x$ (en km/s) según la expresión:

$$E(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 2} - x$$

La figura muestra la gráfica de $E(x)$ para $0 \le x \le 20$.

Calcula la energía límite que consume el motor cuando la velocidad tiende a infinito. Interpreta gráficamente si el consumo se estabiliza o si sigue creciendo indefinidamente mediante el cálculo de la asíntota horizontal si existiera.

Calcula el valor de la siguiente expresión límite, resolviendo la indeterminación $\infty - \infty$ mediante la simplificación a una sola fracción y el estudio de los grados de los polinomios:

$$\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{2x^2 + 5}{x - 1} - \frac{2x^3 - 3x}{x^2 + 1} \right]$$

Una vez obtenida la forma racional simple, indica si la función presenta una asíntota horizontal u oblicua basándote en el resultado del límite.

Calcula el límite de la sucesión de funciones dada por la siguiente raíz anidada:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right)$$

Este ejercicio requiere un uso preciso de la técnica de la conjugada y un análisis cuidadoso de la potencia dominante dentro de los radicales.

Dada la función $f(x) = \frac{ax^3 + bx^2 + 1}{2x^2 - 4}$, determina los valores de los coeficientes reales $a$ y $b$ sabiendo que la función tiene una asíntota oblicua cuya pendiente es $m = 3$ y que el límite de la función cuando $x$ tiende a $+\infty$ después de restarle su componente de pendiente (es decir, el término $n$ de la asíntota $y=mx+n$) es $4$.

En otras palabras, resuelve para $a$ y $b$ sabiendo que:

1. $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 3$

2. $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - 3x] = 4$

Halla los valores de los parámetros reales $a$, $b$ y $c$ para que la función:

$$f(x) = \sqrt{4x^2 + ax + 1} - (bx + c)$$

verifique simultáneamente las dos condiciones asintóticas siguientes:

1) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

2) $\lim_{x \to -\infty} \left( f(x) + 4x \right) = 3$

Para resolver el problema ordenadamente:

1. a) Analiza la condición (1) cuando $x \to +\infty$: deduce razonadamente qué valor constante debe tomar $b$ para que el límite no sea infinito y, aplicando la técnica del conjugado, obtén una relación lineal entre $a$ y $c$.
2. b) Analiza la condición (2) cuando $x \to -\infty$: realiza el cambio de variable formal $x = -t$ (con $t \to +\infty$), teniendo en cuenta que $\sqrt{x^2} = |x| = -x = t$, aplica la técnica correspondiente y obtén una segunda ecuación con $a$ y $c$.
3. c) Resuelve el sistema planteado, escribe la expresión analítica definitiva de la función $f(x)$ y comprueba la consistencia de los resultados.

Carlos debe calcular el siguiente límite en el infinito negativo:

$$\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 - 4x} + x \right)$$

En su cuaderno desarrolla los siguientes pasos:

1. Aplica el cambio de variable $x = -t$ con $t \to +\infty$: $\lim_{t \to +\infty} \left( \sqrt{(-t)^2 - 4(-t)} + (-t) \right) = \lim_{t \to +\infty} \left( \sqrt{t^2 + 4t} - t \right)$.

2. Razona: «Cuando $t \to +\infty$, el término $4t$ es insignificante frente a $t^2$, por lo que $\sqrt{t^2 + 4t} \approx \sqrt{t^2} = t$».

3. Concluye: «Por tanto, el límite es $\lim_{t \to +\infty} (t - t) = 0$».

Su profesora le indica que el paso 1 es correcto, pero que la conclusión final es falsa y que el límite real es 2.

1. a) Señala el error conceptual cometido en el paso 2: explica por qué aproximar la raíz cuadrada únicamente por su término de mayor grado produce una pérdida crítica de información cuando se restan infinitos del mismo orden.
2. b) Corrige el cálculo resolviendo el límite resultante del paso 1 mediante el procedimiento riguroso del conjugado hasta justificar la obtención del valor 2.
3. c) Carlos pregunta: «¿Por qué en un cociente como $\lim_{t \to +\infty} \frac{\sqrt{t^2 + 4t}}{3t}$ sí es perfectamente lícito despreciar el $4t$ y aproximar la raíz por $t$ para dar $\frac{1}{3}$, mientras que en la resta no está permitido?». Responde a Carlos distinguiendo con rigor matemático el comportamiento de las aproximaciones asintóticas en cocientes frente a sumas o restas con cancelación.