Ejercicios: Indeterminaciones

Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y determina, de manera intuitiva, el valor de los límites indicados. Si algún límite no existe o es infinito, especifícalo claramente.

1. a) $\lim_{x \to -2} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 0} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 3} f(x)$
4. d) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas cuando la variable $x$ tiende a infinito. Recuerda identificar el término dominante en cada caso:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (-2x^3 + 5x^2 - 1)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} (x^4 - 100x^2)$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 5}{10}$

Resuelve la indeterminación de tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ en los siguientes límites de funciones racionales, comparando los grados del numerador y del denominador:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 1}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 5}{x^2 - 3}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{x^2 + 10x}$

Calcula el límite de la función $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ cuando $x$ tiende a $3$.

Ayuda: Observa que al sustituir directamente obtenemos una indeterminación del tipo $\left[\frac{0}{0}\right]$. Prueba a factorizar el numerador para simplificar la expresión.

Dada la función racional $f(x) = \frac{2}{x-4}$, estudia su comportamiento en las proximidades de su asíntota vertical calculando los límites laterales:

1. a) $\lim_{x \to 4^-} \frac{2}{x-4}$
2. b) $\lim_{x \to 4^+} \frac{2}{x-4}$

Indica razonadamente si existe el límite global en $x = 4$.

En el estudio de algoritmos informáticos, es crucial saber qué función crece más rápido. Basándote en la jerarquía de infinitos, asigna el valor de los siguientes límites ($0$, $+\infty$ o $-\infty$):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{\ln(x)}$

Un equipo de científicos está monitorizando el crecimiento de una población de bacterias en un laboratorio. La población (en millones) sigue el modelo dado por la función:

donde $t$ es el tiempo en horas desde el inicio del experimento. La gráfica muestra la evolución de la población durante las primeras 20 horas.

¿Cuál será la población de bacterias si el experimento se prolongase indefinidamente? Calcula para ello $\lim_{t \to +\infty} P(t)$.

Calcula el valor del siguiente límite que da lugar a la indeterminación del tipo $[1^\infty]$ utilizando la fórmula abreviada del número $e$:

Mateo está resolviendo el límite $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+5}{x+2}\right)^{3x}$ en un examen y escribe en su desarrollo lo siguiente:

«Como $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+5}{x+2} = 1$ y el número $1$ elevado a cualquier potencia siempre resulta $1$, el límite no presenta ninguna dificultad y vale directamente $1^\infty = 1$».

1. a) Explica con tus propias palabras por qué la deducción de Mateo es conceptualmente errónea. En tu respuesta debes aclarar qué significa con exactitud que una expresión sea una «indeterminación» y qué dos tendencias opuestas entran en conflicto en este caso concreto.
2. b) Corrige el ejercicio mostrando el procedimiento algebraico formal y calcula el valor real y exacto del límite.

Dada la función $f(x) = \frac{4 \cdot 3^x - 5x^6}{2 \cdot 3^x + 7x^2 + 1}$:

1. a) Antes de realizar cualquier cálculo algebraico formal, estima el valor de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ apoyándote exclusivamente en la jerarquía de infinitos. Justifica qué términos son dominantes en el numerador y en el denominador cuando $x$ toma valores suficientemente grandes y cuál es el peso relativo de las potencias frente a las funciones exponenciales.
2. b) Comprueba formalmente tu estimación calculando el límite mediante la extracción de factor común del término dominante en el numerador y en el denominador para resolver la indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$.
3. c) Razona si el resultado obtenido en el apartado anterior seguiría siendo el mismo si el límite se evaluase hacia $-\infty$, es decir, al calcular $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Justifica tu conclusión analizando el comportamiento de $3^x$ cuando $x \to -\infty$.

Calcula el siguiente límite resolviendo la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ mediante el uso de la técnica del conjugado:

Determina el valor del límite al infinito analizando el grado de los términos dominantes en el numerador y el denominador. Ten especial cuidado con las potencias dentro de las raíces:

Resuelve la siguiente indeterminación de tipo $\infty - \infty$. Para ello, realiza la operación algebraica previa y simplifica la expresión resultante:

En el desarrollo de una nueva red social, el número de usuarios activos (en millones) sigue la función $U(t) = \left(\frac{2t+3}{2t-1}\right)^{t+1}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento (con $t>\frac{1}{2}$). Calcula a qué valor tiende el número de usuarios cuando el tiempo crece indefinidamente ($t \to +\infty$).

Halla el valor de los parámetros reales $a$ y $b$ para que el siguiente límite sea finito y valga $4$:

Dada la siguiente gráfica de la función $f(x)$, analiza visualmente y calcula de forma analítica los límites laterales en los puntos de discontinuidad para determinar si existe el límite global en $x = 2$:

Calcula el valor de $a$ para que el límite en $x = 2$ sea único y la función no presente un salto.

Utiliza la comparación de órdenes de infinitos para resolver los siguientes límites sin necesidad de realizar operaciones extensas. Justifica tu respuesta indicando qué función "domina" a la otra:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{100x^6 - \ln(x)}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^7 + 1}}{x^3 \cdot \ln(x)}$

Calcula el valor del siguiente límite exponencial que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$. Expresa el resultado en función del número $e$:

Un equipo de sociología utiliza proyecciones del Instituto Nacional de Estadística (INE) para modelar la evolución demográfica de una provincia rural del departamento de Chuquisaca. La población $P(t)$, expresada en miles de habitantes, se estima en función del tiempo $t$ (en años transcurridos desde 2024) mediante la función:

1. a) Analiza la tendencia demográfica a largo plazo ($t \to +\infty$) identificando qué tipo de indeterminación surge en cada uno de los dos términos de $P(t)$.
2. b) Resuelve razonadamente ambas indeterminaciones utilizando las técnicas correspondientes (comparación de grados en la función racional y técnica del conjugado en la expresión con raíces).
3. c) Interpreta el valor numérico obtenido para $\lim_{t \to +\infty} P(t)$: ¿tiende la provincia a la despoblación total, a un crecimiento indefinido o a la estabilidad demográfica? Indica a qué número concreto de habitantes tenderá la provincia según este modelo.

Para resolver el límite $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 4x}{x^2 + x + 1} \right)^{2x}$, dos estudiantes de 2.º de Bachillerato proponen caminos distintos tras constatar que se trata de una indeterminación del tipo $1^\infty$:

• Método A (Construcción canónica del número $e$): Expresar la base en la forma $1 + \frac{1}{g(x)}$, forzar en el exponente la presencia de $g(x)$ multiplicando y dividiendo para aplicar la definición fundamental $\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^u = e$, y calcular el límite del exponente resultante.

• Método B (Fórmula directa de la potencia): Utilizar la identidad general $\lim_{x \to a} [u(x)]^{v(x)} = e^{\lim_{x \to a} v(x) \cdot (u(x) - 1)}$.

1. a) Resuelve el límite desarrollando detalladamente todos los pasos del Método A.
2. b) Resuelve el mismo límite aplicando el Método B y confirma que ambos resultados coinciden.
3. c) Compara ambos caminos analizando la carga de cálculo algebraico y el riesgo de cometer errores de signo al manipular fracciones algebraicas. Justifica cuál de los dos métodos resulta más eficiente y seguro en una prueba de tiempo limitado como la EBAU/PAU.

Calcula el valor del siguiente límite analizando la jerarquía de los infinitos involucrados. Debes justificar razonadamente qué término domina en el numerador y en el denominador antes de dar el resultado final:

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que se cumpla la igualdad siguiente:

Es decir, el límite debe ser un número real finito y valer $-\dfrac{1}{2}$. Una vez hallados $a$ y $b$, comprueba que el límite vale realmente $-\dfrac{1}{2}$.

En el diseño de una nueva antena de telecomunicaciones, la intensidad de la señal $I$ en función de la distancia $d$ al repetidor viene dada por la expresión:

Calcula la intensidad límite de la señal cuando la distancia $d$ tiende a infinito (indeterminación del tipo $1^\infty$).

Resuelve el siguiente límite utilizando la técnica del doble conjugado para resolver la indeterminación $\frac{0}{0}$:

Sea la función definida por tramos:

Halla los valores de $a$ y $k$ para que existan los límites laterales en $x=1$ y estos sean iguales a $2$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en $x=1$ si no definimos $f(1)$?

Calcula el valor de la siguiente expresión que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ con raíces de distinto orden:

Un equipo de ingenieros aeroespaciales estudia la presión $P$ (en pascales) en el interior de un conducto de ventilación. La presión depende de la velocidad del flujo de aire $v$ según la fórmula:

Estudia el comportamiento de la presión cuando la velocidad $v$ se aproxima a $3$ m/s. En caso de que el límite sea indeterminado, resuélvelo e indica si la presión tiende a un valor estable.

Dada la función $g(x) = \frac{|x-1|}{x^2-1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$, analiza la existencia de los límites laterales cuando $x \to 1$. Identifica las indeterminaciones que aparecen en cada lado y clasifica el tipo de discontinuidad en dicho punto.

Se considera la función dependiente de dos parámetros reales $a$ y $b$ definida por $f(x) = \sqrt{9x^2 - 12x + 7} - (ax + b)$.

1. a) Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se verifique la igualdad:

1. b) Demuestra analíticamente que si $a \ne 3$, es imposible que el límite de $f(x)$ cuando $x \to +\infty$ sea un valor finito. Distingue razonadamente los casos $a < 3$ (diferenciando si $a \le 0$ o si $0 < a < 3$) y $a > 3$, explicando el resultado que se obtiene en cada situación.
2. c) Fijando el valor de $a$ hallado en el apartado a), calcula qué valor debe tomar el parámetro $b$ para que el límite sea exactamente $-4$, es decir, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -4$.

Considera el siguiente límite con raíces de distinto índice:

1. a) [Estima]: Realiza una aproximación asintótica intuitiva antes de operar. Sabiendo que para valores muy grandes de $x$ se verifica que $\sqrt[3]{8x^3+12x^2} = 2x\left(1+\frac{3}{2x}\right)^{1/3}$ y $\sqrt{4x^2-8x} = 2x\left(1-\frac{2}{x}\right)^{1/2}$, y utilizando la aproximación lineal $(1+u)^\alpha \approx 1 + \alpha u$ cuando $u \to 0$, conjetura razonadamente el valor final del límite.
2. b) [Comprueba]: Resuelve el límite formalmente mediante la técnica del término intermedio: introduce $C(x) = 2x$ sumando y restando dicha expresión para descomponer el límite en la suma de dos indeterminaciones de tipo $\infty - \infty$ independientes:

Resuelve cada bloque aplicando el conjugado correspondiente a su índice (la identidad $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ para la raíz cúbica y el conjugado cuadrático estándar para la raíz cuadrada).

1. c) Compara el resultado analítico con la conjetura obtenida en el apartado a) y explica por qué la elección de cualquier otro término intermedio lineal distinto de $2x$ (por ejemplo, tomar $C(x) = x$ o $C(x) = 3x$) no permitiría resolver la indeterminación global.