Ejercicios: Continuidad de una función en un punto

Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y analiza su comportamiento en el punto de abscisa $x = 2$. Indica si la función es continua en ese punto comprobando las tres condiciones de continuidad: existencia de $f(2)$, existencia del $\lim_{x \to 2} f(x)$ y la coincidencia de ambos valores.

Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ en el punto $x = 1$. En caso de que presente una discontinuidad, indica de qué tipo es (evitable, de salto finito o de salto infinito) y razona si existe alguna forma de redefinir la función para que sea continua en dicho punto.

Dada la siguiente función definida a trozos, calcula los límites laterales en el punto de ruptura $x = 3$ y determina si la función es continua en dicho punto:

$f(x) = \begin{cases} 2x - 4 & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{x + 1} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Un dron de vigilancia sigue una trayectoria de altura definida por la función $h(t)$ (en metros) respecto al tiempo $t$ (en segundos). Debido a un cambio en el sistema de control, la función cambia en $t = 5$:

$h(t) = \begin{cases} t^2 - 10 & \text{si } 0 \le t < 5 \\ 3t & \text{si } t \ge 5 \end{cases}$

Comprueba si la transición de altura es continua en el instante $t = 5$ para evitar que el dron sufra un movimiento brusco.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la función $g(x)$ sea continua en toda la recta real $\mathbb{R}$:

$g(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Analiza visualmente la continuidad de la función representada en el siguiente gráfico. Identifica el valor de $x$ donde la función presenta una discontinuidad y clasifícala según el comportamiento de sus ramas laterales.

Dada la función $f(x) = \frac{1}{x + 4}$, justifica por qué no es continua en el punto $x = -4$. Para ello, calcula los límites laterales $\lim_{x \to -4^-} f(x)$ y $\lim_{x \to -4^+} f(x)$ y describe el tipo de discontinuidad que presenta.

Comprueba si la función $f(x) = e^{x-1}$ es continua en el punto $x = 1$. Para que la respuesta sea completa, debes verificar si el valor de la función en el punto coincide con el límite de la función cuando $x$ se aproxima a 1.

En un examen de 2.º de Bachillerato, se pide estudiar la continuidad en el punto $x = 1$ de la función:

Marcos escribe la siguiente respuesta en su ejercicio:

«Como al sustituir $x = 1$ en la primera rama obtenemos $\frac{0}{0}$, factorizo el numerador como $(x - 1)(x + 1)$. Cancelo el factor $(x - 1)$ con el denominador $|x - 1|$, de modo que la expresión simplificada es $x + 1$. Al calcular el límite cuando $x \to 1$, obtengo $1 + 1 = 2$. Dado que este límite coincide con $f(1) = 2$, la función es continua en $x = 1$».

Tu tarea consiste en:

1. a) Identificar y explicar los dos errores conceptuales cometidos por Marcos (uno algebraico relativo a la cancelación del valor absoluto y otro relativo a la definición formal de límite).
2. b) Corregir el ejercicio: escribe la función por tramos suprimiendo las barras de valor absoluto en un entorno de $x = 1$, calcula rigurosamente los límites laterales $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 1^+} f(x)$, y concluye justificadamente si $f$ es continua en $x = 1$, indicando el tipo de discontinuidad si no lo fuera.

Considera la función real definida por:

1. a) Estima: Antes de realizar cualquier desarrollo algebraico formal, aproxima el comportamiento del cociente incremental cerca del origen. Para ello, evalúa numéricamente la expresión $\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ en valores próximos a cero por ambos lados (por ejemplo, con $x = 0,1$, $x = 0,01$, $x = -0,1$ y $x = -0,01$). A partir de estos resultados, formula una hipótesis razonada: ¿crees que la función será continua en $x = 0$?
2. b) Comprueba: Demuestra analíticamente tu conjetura resolviendo la indeterminación del $\lim_{x \to 0} f(x)$ mediante la multiplicación por la expresión conjugada. Comprueba de forma ordenada si se cumplen las tres condiciones que exige la definición de continuidad en $x = 0$.
3. c) Valora: Compara el resultado algebraico exacto con las aproximaciones numéricas que calculaste al principio y reflexiona sobre el riesgo de confirmar la continuidad de una función basándose exclusivamente en una tabla finita de valores.

Dada la función dependiente del parámetro $k \in \mathbb{R}$:

Calcula el valor de $k$ para que la función presente una discontinuidad de salto finito en $x = 3$. ¿Existe algún valor de $k$ que la haga continua en dicho punto? Razona tu respuesta mediante el cálculo de límites laterales.

Estudia la continuidad de la siguiente función en todo su dominio, clasificando los puntos de discontinuidad que encuentres:

Acompaña tu análisis analítico con un esquema de los límites laterales en los puntos conflictivos.

Un sistema de refrigeración industrial regula su potencia $P$ (en kilowatios) según la temperatura exterior $T$ (en grados Celsius) mediante la siguiente función:

Determina el valor de la constante $a$ para que la transición de potencia sea continua cuando la temperatura pasa por los $0\,^\circ C$.

Considera la función $f(x)$ definida por:

Halla los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en su dominio de definición. Una vez hallados, indica si la función es continua en $x = -1$.

Clasifica todas las discontinuidades de la función $g(x)$ y determina sus asíntotas verticales analizando el comportamiento de la función en las proximidades de los valores donde no está definida:

¿Cómo definirías la función en los puntos de discontinuidad evitable para que resultara continua en ellos?

Se está probando un nuevo prototipo de motor cuya aceleración $a$ (en $m/s^2$) depende del tiempo $t$ (en segundos) según la expresión:

Calcula el valor de $m$ para que la aceleración no sufra saltos bruscos (sea continua) en el instante $t = 2$ s.

Dada la función:

Estudia su continuidad en los puntos $x = 1$ y $x = -1$. En caso de existir discontinuidades, indica de qué tipo son y si existe alguna forma de redefinir la función para eliminarlas.

Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en todo $\mathbb{R}$:

Explica detalladamente el proceso seguido, verificando la igualdad de los límites laterales en cada punto de cambio de rama.

Una empresa de encomiendas urgentes que opera en España establece el precio de sus envíos nacionales en función del peso $x$ del bulto (en kilogramos). La tarifa facturada $P(x)$ (en bolivianos) viene dada por la siguiente función a trozos:

Para cumplir con la legislación de protección a los consumidores y evitar que un incremento minúsculo de peso penalice al usuario con un salto repentino en la factura, la empresa exige que la función de precios no tenga discontinuidades en su dominio.

1. a) Determina los valores reales de los parámetros $a$ y $b$ que hacen que la función $P(x)$ sea continua en los puntos de cambio de tramo $x = 5$ y $x = 9$.
2. b) Justifica analíticamente la continuidad en ambos puntos comprobando el cumplimiento de las tres condiciones de continuidad una vez hallados los parámetros.
3. c) Interpreta el significado práctico del valor $P(5)$ y explica qué ocurriría comercialmente si en $x = 5$ existiera una discontinuidad de salto finito con $\lim_{x \to 5^+} P(x) = 15$ bolivianos. ¿A quién perjudicaría esa situación si el paquete pesa $5,01\text{ kg}$?

Diseña y escribe la expresión algebraica de una función a trozos $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumpla de forma simultánea las tres exigencias siguientes:

1. Presenta una discontinuidad evitable en el punto de abscisa $x = -2$.

2. Es continua en el punto de abscisa $x = 0$, debiendo cambiar de expresión algebraica en dicho punto e incorporar obligatoriamente el valor absoluto $|x|$ en al menos uno de sus tramos.

3. Presenta una discontinuidad de salto finito de exactamente 3 unidades de amplitud en el punto de abscisa $x = 3$ (es decir, $|\lim_{x \to 3^+} f(x) - \lim_{x \to 3^-} f(x)| = 3$).

Una vez propuesta tu función:

1. a) Escribe su fórmula analítica completa detallando los intervalos de definición de cada tramo.
2. b) Justifica paso a paso, aplicando las tres condiciones de la definición formal de continuidad y mediante el cálculo de los correspondientes límites laterales, por qué tu función cumple estrictamente cada una de las tres exigencias impuestas.

En el diseño de un nuevo componente para un acelerador de partículas, la intensidad de un campo magnético en función de la posición $x$ (en milímetros) viene definida por la siguiente función:

$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{ax} - 1}{x} & \text{si } x < 0 \\ b & \text{si } x = 0 \\ \frac{x^2 - 4}{x - 2} \cdot \cos(\pi x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la intensidad del campo magnético sea continua en el punto $x = 0$. Una vez hallados, ¿sería la función continua en el punto $x = 2$? Razona tu respuesta analíticamente.

Estudia la continuidad de la siguiente función en todo su dominio, clasificando detalladamente cada uno de sus puntos de discontinuidad:

$f(x) = \dfrac{|x^2 - 1|}{x^2 - 3x + 2}$

Posteriormente, si hubiera algún punto donde la discontinuidad sea evitable, propón una redefinición de la función en dicho punto para transformarla en una función continua allí. Si no hay ninguno, justifícalo.

Una empresa de telecomunicaciones está ajustando la potencia de una antena 5G. La pérdida de señal $L$ (en decibelios) depende de la distancia $d$ (en km) según la expresión:

$L(d) = \begin{cases} \frac{k \cdot \ln(d+1)}{d} & \text{si } 0 < d < 1 \\ \sqrt{d^2 + 3} - a & \text{si } d \geq 1 \end{cases}$

Se requiere que la transición de potencia sea suave y continua para no interrumpir las llamadas en el límite de 1 km. Calcula los valores de $k$ y $a$ sabiendo que cuando la distancia tiende a 0 km, la pérdida de señal tiende a ser de 2 dB.

Dada la función $f(x) = \left( \frac{2x^2 + 3}{2x^2 - 1} \right)^{ax^2}$, se pide:

1. a) Hallar el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que $\lim_{x \to \infty} f(x) = e^2$.
2. b) Con el valor de $a$ obtenido en el apartado anterior, define una nueva función $g(x)$ tal que:

$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \ge 1 \\ \frac{x^2 + bx + c}{x - 1} & \text{si } x < 1 \end{cases}$

Determina $b$ y $c$ para que $g(x)$ sea continua en $x = 1$.

Aplica el Teorema de Bolzano para demostrar que las gráficas de las funciones $f(x) = \ln(x)$ y $g(x) = e^{-x}$ se cortan en al menos un punto dentro del intervalo $(1, e)$. Justifica razonadamente si dicho punto de corte es único en ese intervalo basándote en el crecimiento de las funciones.

Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$ en el punto $x = 0$. Para ello, calcula los límites laterales $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en dicho punto?

Un equipo de ingenieros robóticos ha programado el movimiento de un brazo mecánico. La velocidad del extremo del brazo (en m/s) sigue la trayectoria:

$v(t) = \begin{cases} \frac{\sqrt{t+5}-3}{t-4} & \text{si } 0 \leq t < 4 \\ \frac{a}{12} & \text{si } t = 4 \\ \frac{t^2 - 16}{t^2 - 3t - 4} \cdot b & \text{si } t > 4 \end{cases}$

Determina los valores de $a$ y $b$ para que el movimiento del robot sea continuo (sin tirones bruscos) en el instante $t = 4$ segundos.

Dada la función dependiente del parámetro $k$:

$f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 3x}{x^2 - x}$

1. a) Halla el valor de $k$ para que la función tenga una discontinuidad evitable en $x = 1$.
2. b) Para ese valor de $k$, estudia la continuidad en $x = 0$ y determina si existe alguna asíntota vertical.
3. c) ¿Existe algún valor de $k$ que haga que la función sea continua en todo $\mathbb{R}$? Justifica tu respuesta.

Se desea estudiar si existe algún valor del parámetro $L \in \mathbb{R}$ para el cual la siguiente función resulte continua en el punto $x = 1$:

Para calcular el límite de la función en $x = 1$, dos alumnos proponen dos caminos distintos:

• Método 1 (Desglose previo): Reescribir la función retirando las barras de valor absoluto según el signo de $(x - 1)$ para obtener una función por tramos en un entorno de $x = 1$, simplificar algebraicamente cada rama y evaluar los límites laterales.

• Método 2 (Sustitución de signo directa): Mantener la expresión compacta y calcular directamente los límites laterales sustituyendo $|x - 1|$ por $-(x - 1)$ al aproximarse por la izquierda ($x \to 1^-$) y por $+(x - 1)$ al aproximarse por la derecha ($x \to 1^+$).

Un tercer estudiante sugiere el Método 3: Aplicar directamente la regla de L'Hôpital sobre el cociente general usando la derivada del valor absoluto $|u|' = \frac{u}{|u|} \cdot u'$.

1. a) Descarta razonadamente el Método 3 explicando qué propiedad geométrica y analítica falla en $x = 1$ para la función $|x - 1|$ que invalida el uso de la derivada en dicho punto.
2. b) Aplica tanto el Método 1 como el Método 2 para calcular los límites laterales $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 1^+} f(x)$. Justifica cuál de los dos métodos ofrece mayores garantías lógicas para no cometer errores de signo con el denominador.
3. c) A partir de los resultados obtenidos, deduce si es posible hallar el valor de $L$ que haga continua a la función en $x = 1$. Si no es posible, clasifica la discontinuidad existente indicando su salto.

Se considera la función dependiente de las constantes reales $a, b, c, k \in \mathbb{R}$:

1. a) Razonamiento sobre límites finitos: Observa que el denominador del primer tramo se anula en $x = 2$. Razona por qué, para que la función tenga alguna posibilidad de ser continua en $x = 2$, es estrictamente obligatorio que el numerador se anule también en $x = 2$. ¿Qué tipo de comportamiento presentaría la función si dicho numerador no fuera cero?
2. b) Deducción de parámetros por tipo de discontinuidad: Se sabe que, en el interior del intervalo $(-\infty, 2)$, la función presenta una discontinuidad evitable en el punto $x = -2$. Con esta información y la deducción del apartado anterior, determina de manera unívoca los valores de los coeficientes $a$ y $b$.
3. c) Soldadura de tramos: Con los valores de $a$ y $b$ ya calculados, halla el valor del límite lateral $\lim_{x \to 2^-} f(x)$. A continuación, calcula el límite lateral por la derecha $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ empleando infinitésimos equivalentes o la regla de L'Hôpital. Finalmente, deduce qué valores deben tomar $c$ y $k$ para garantizar que $f$ sea continua en $x = 2$.