Ejercicios: Cálculo de límites

Dada la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación, identifica de forma visual el valor de los siguientes límites:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Calcula el límite en el infinito de la siguiente función polinómica, que representa la evolución de los beneficios de una startup tecnológica (en miles de bolivianos) a lo largo del tiempo $x$:

$$\lim_{x \to +\infty} ( -14x^3 + 350x^2 - 700 )$$

Indica cuál es el término dominante y justifica por qué el signo del coeficiente principal determina el comportamiento final de la función.

Un servidor de videojuegos gestiona el número de jugadores conectados mediante la función $P(x) = \frac{6x^2 + 20}{2x^2 + 5}$, donde $x$ es el tiempo en horas desde el lanzamiento de un evento. Calcula el límite de jugadores cuando el tiempo tiende a infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2 + 20}{2x^2 + 5}$$

En un laboratorio de química, la concentración de un reactivo en una mezcla (en mg/l) sigue la función $C(t) = \frac{5t + 8}{t^2 + 2}$, siendo $t$ el tiempo en minutos. Determina a qué valor tiende la concentración a largo plazo calculando:

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{5t + 8}{t^2 + 2}$$

Calcula los límites laterales de la función $f(x) = \frac{3}{x - 5}$ en el punto donde se anula el denominador. Para ello, estudia la tendencia de $f(x)$ al acercarte por la izquierda y por la derecha, fijándote en el signo del numerador y del denominador:

1. a) $\lim_{x \to 5^-} \frac{3}{x - 5}$

1. b) $\lim_{x \to 5^+} \frac{3}{x - 5}$

El esquema muestra los ejes, la asíntota vertical $x=5$ y el sentido en que nos acercamos a ella por cada lado:

Resuelve la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ simplificando la fracción mediante la factorización de los polinomios (puedes usar productos notables o la regla de Ruffini):

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x}$$

Basándote en la comparación de órdenes de infinitud, determina el valor de los siguientes límites sin realizar operaciones complejas:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2^x}{3^x}$

La altitud de un dron de reconocimiento (en metros) respecto a la distancia horizontal $x$ recorrida viene dada por la función $h(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. Aunque el dron no puede estar físicamente en la posición $x = 3$ por una restricción del software, calcula el límite de la altitud cuando se aproxima a dicho punto:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

Mateo está resolviendo en la pizarra el siguiente límite con indeterminación del tipo $1^\infty$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 5}{2x + 1} \right)^{3x}$$

Para resolverlo, realiza el siguiente procedimiento:

1. Comprueba que $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 5}{2x + 1} = 1$ y que el exponente tiende a $+\infty$.

2. Aplica la fórmula del exponente auxiliar:

$$L = \lim_{x \to +\infty} 3x \cdot \left( \frac{2x + 5}{2x + 1} - 1 \right) = \lim_{x \to +\infty} 3x \cdot \left( \frac{4}{2x + 1} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{12x}{2x + 1} = 6$$

1. Concluye: «Como el resultado del cálculo da $6$, el límite original vale $6$».

1. a) Localiza y explica detalladamente el error conceptual que ha cometido Mateo en su conclusión final. Justifica qué representa en realidad el valor $L = 6$ recurriendo a la definición y deducción del número $e$.
2. b) Escribe el valor correcto del límite.

Se plantea analizar el comportamiento asintótico del siguiente cociente en el infinito:

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{10} + 500 \cdot x^2}{1,02^x}$$

1. a) Estima: Antes de aplicar ninguna regla algebraica, reflexiona sobre el numerador y el denominador. El numerador contiene una potencia de grado elevado ($x^{10}$), mientras que el denominador tiene una base exponencial muy próxima a $1$ ($1,02$). Razona intuitivamente si consideras que la fracción tenderá a $0$, a un número real positivo o a $+\infty$ cuando $x$ alcance valores del orden de $x = 10\,000$.
2. b) Comprueba: Aplica formalmente la jerarquía de infinitos ($\ln x \ll x^k \ll a^x$ con $a > 1$) para deducir el valor exacto de $L$. Valora si tu estimación previa era correcta y justifica por qué el ritmo multiplicativo constante de una exponencial siempre se impone a cualquier polinomio por grande que sea su grado.

Un sensor de precisión en un laboratorio de nanotecnología mide la fuerza de atracción entre dos partículas. La intensidad de la señal $S$ en función de la distancia $x$ (en nanómetros) viene expresada por la siguiente función:

$$S(x) = \frac{\sqrt{x+5} - 3}{x-4}$$

La figura muestra la gráfica de $S(x)$: para $x=4$ la función no está definida (punto con el círculo vacío).

Calcula el valor al que tiende la señal cuando la distancia $x$ se aproxima a $4$ nanómetros. Explica qué técnica matemática has utilizado para resolver la indeterminación.

En el estudio de la propagación de una noticia en redes sociales, se estima que el número de usuarios alcanzados $U$ (en miles) tras $t$ horas sigue la expresión:

$$U(t) = \frac{5t^2 - 3t + 2}{2t^2 + \sqrt{t^4 + 1}}$$

Calcula el límite de usuarios alcanzados cuando el tiempo crece indefinidamente ($t \to +\infty$). ¿Presenta la función alguna asíntota horizontal? Justifica tu respuesta comparando los grados de los términos dominantes.

Calcula el siguiente límite resolviendo la indeterminación de tipo $\infty - \infty$ mediante el uso de la expresión conjugada:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$$

Representa gráficamente de forma esquemática qué significa este resultado respecto a la distancia entre la función radical y la recta $y = x$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dada la función racional que depende de un parámetro $k \in \mathbb{R}$:

$$f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 4}{x-2}$$

Halla el valor de $k$ para que el límite $\lim_{x \to 2} f(x)$ sea finito. Una vez encontrado dicho valor, calcula el valor del límite.

El crecimiento de una población de aves en una reserva natural protegida se rige por la siguiente ley de capitalización compuesta continua idealizada:

$$P(t) = \left( \frac{3t + 5}{3t - 2} \right)^{2t}$$

Calcula el límite de la población cuando el tiempo $t$ tiende a infinito. Expresa el resultado en función del número $e$.

Calcula el valor de los siguientes límites comparando los órdenes de infinitud de las funciones involucradas (exponenciales, potencias y logaritmos):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^{10} + 5)}{x}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3^x}{x^2 + 100x}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{2e^x - \sqrt{x}}$

Se considera la función $f(x)$ definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{2x + a} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$

Calcula el valor del parámetro $a$ para que exista el límite de la función en el punto $x = 3$. ¿Cuál es el valor de dicho límite?

Calcula el límite en el punto $x = 0$ de la siguiente expresión trigonométrica, utilizando infinitésimos equivalentes o identidades trigonométricas conocidas:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \text{tg}(3x)}{\cos(x) - 1}$$

El Instituto Nacional de Estadística (INE) proyecta la evolución demográfica de un municipio rural de la provincia Aroma del departamento de La Paz afectado por el despoblamiento. El número de habitantes, $P(t)$ (en miles de personas), transcurridos $t$ años desde 2024, se modeliza mediante la función:

$$P(t) = \frac{15t + 8}{\sqrt{4t^2 + 7t + 1} + t}$$

1. a) Calcula la población estimada en el instante inicial $t = 0$ e interpreta la cifra exacta de habitantes.
2. b) Calcula $\lim_{t \to +\infty} P(t)$. Para resolver la indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$, divide numerador y denominador de forma explícita entre la máxima potencia de $t$, justificando algebraicamente cómo se introduce dicho factor dentro de la raíz cuadrada.
3. c) A partir del límite hallado, interpreta si el municipio tiende a quedar deshabitado a largo plazo o si su población se estabiliza en un valor límite finito. Expresa dicho valor en número concreto de habitantes.

Se sabe que el siguiente límite existe y es un número real finito y no nulo:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + ax} - (1 + 2x)}{b \cdot x^2} = -\frac{3}{2}$$

donde $a$ y $b$ son parámetros reales constantes con $b \neq 0$.

1. a) Multiplica y divide el cociente por la expresión conjugada $\sqrt{1 + ax} + (1 + 2x)$ y desarrolla el numerador agrupando los términos según las potencias decrecientes de $x$.
2. b) Teniendo en cuenta que el denominador posee un factor cuadrático $x^2$, razona por qué es imprescindible que el término lineal en $x$ del numerador se anule para que el límite no diverja a infinito. Determina a partir de esa deducción el valor obligatorio de $a$.
3. c) Con el valor de $a$ ya fijado, simplifica la fracción eliminando la indeterminación $\frac{0}{0}$ y halla el valor de $b$ necesario para que el límite valga exactamente $-\frac{3}{2}$.

Un servidor de videojuegos multijugador ha detectado que el número de usuarios activos, $N(t)$, en miles, sigue un modelo de crecimiento de tipo exponencial en función del tiempo $t$ (en meses) definido por la expresión:

$$N(t) = \left( \frac{3t^2 + 5t + 1}{3t^2 + 2t} \right)^{2t}$$

Calcula el límite de usuarios activos cuando el tiempo tiende a infinito ($t \to +\infty$). ¿Se estabiliza la población de jugadores en un valor finito o crece indefinidamente?

En el diseño de una nueva rampa para un skatepark, los ingenieros necesitan asegurar que la transición entre dos tramos de la pista sea suave (continua). La altura de la rampa $h(x)$ en metros viene dada por la siguiente función:

$$h(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln(1 + kx)}{x} & \text{si } x > 0 \\ \cos(x) + a & \text{si } x \le 0 \end{cases}$$

Determina los valores de los parámetros $k$ y $a$ para que exista el $\displaystyle \lim_{x \to 0} h(x)$ y este sea igual a la altura inicial de la rampa, que es $2$ metros.

Calcula el valor del siguiente límite aplicando la comparación de infinitos o la Regla de L'Hôpital, analizando detalladamente el orden de magnitud de cada término:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^{10}}{2e^x - \ln(x^5 + 1)}$$

¿Qué término domina el crecimiento de la función en el numerador y cuál en el denominador?

Un satélite describe una trayectoria cuya distancia radial al centro de un planeta, en miles de kilómetros, viene dada por $d(x) = \sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - 1}$, donde $x$ representa el tiempo de misión. Sabiendo que al cabo de mucho tiempo ($x \to +\infty$) la distancia se estabiliza en $4$ mil kilómetros, determina el valor de la constante orbital $a$.

Determina razonadamente el valor de los parámetros $a$ y $b$ (siendo $a, b \in \mathbb{R}$) para que se verifique la siguiente igualdad de límites:

$$\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + 1 - e^x}{x^2} = 3$$

Estudia el comportamiento de la función $f(x) = \left( \cos x \right)^{1/x^2}$ cuando $x$ se aproxima a cero. Para ello, calcula:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$$

Explica por qué este límite da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$ y resuelve utilizando logaritmos neperianos o la fórmula específica para este tipo de límites.

Sea la función $g(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 + k}{x^2 - 4}$.

1. a) Calcula el valor de $k$ para que el límite de la función cuando $x \to 2$ sea finito.

1. b) Una vez hallado $k$, calcula dicho límite.

1. c) Clasifica el tipo de discontinuidad que presenta la función en $x = 2$ y en $x = -2$.

Calcula el valor del límite de la siguiente sucesión, que aparece con frecuencia en problemas de interés compuesto continuo y probabilidad:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + n} - n \right)^n$$

Nota: Este ejercicio requiere un tratamiento cuidadoso de la indeterminación interna antes de evaluar la potencia general.

Para calcular el límite indeterminado $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 6x} - 1}{\tan(2x)}$, se plantean dos caminos teóricos:

• Vía A (Conjugado cúbico e infinitésimos equivalentes): Usar la identidad $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ para racionalizar el numerador y aplicar la equivalencia trigonométrica adecuada en el denominador.

• Vía B (Regla de L'Hôpital): Comprobar que se cumplen las condiciones de derivabilidad e indeterminación y derivar numerador y denominador.

1. a) Desarrolla por completo la resolución mediante la Vía A. Explica por qué es válido sustituir $\tan(2x)$ por su infinitésimo equivalente en este caso concreto y no lo sería si estuviera dentro de una resta.
2. b) Desarrolla la resolución mediante la Vía B, calculando detalladamente la derivada de la raíz cúbica y evaluando el límite resultante.
3. c) Evalúa los dos métodos: ¿cuál presenta menor riesgo de error en el álgebra de examen? Explica asimismo por qué un cambio de variable del tipo $t = \sqrt[3]{1 + 6x}$ resultaría notablemente más farragoso debido a la presencia de la función trigonométrica.

En una prueba de evaluación, Irene debe resolver el límite:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \sin x - 2(1 - \cos x)}{x^4}$$

Irene redacta la siguiente respuesta:

«Como $x \to 0$, aplico los infinitésimos conocidos: $\sin x \sim x$ y $(1 - \cos x) \sim \frac{x^2}{2}$. Sustituyendo en el numerador obtengo:

$$x \cdot (x) - 2 \cdot \left(\frac{x^2}{2}\right) = x^2 - x^2 = 0$$

Dado que el numerador se hace cero, el límite es igual a $0$».

1. a) Explica de forma rigurosa el error conceptual de Irene. ¿Por qué la sustitución de infinitésimos equivalentes en sumas o restas puede conducir a una cancelación engañosa de los términos principales?
2. b) Demuestra que el límite no es cero calculando su valor exacto mediante la aplicación reiterada de la Regla de L'Hôpital (justificando en cada paso por qué se cumplen las hipótesis del teorema).
3. c) A partir del resultado real, explica cuál era verdaderamente el primer término no nulo del numerador y por qué la aproximación de Irene eliminó la información relevante del límite.