Ejercicios: Asíntotas de una función

Observa la siguiente gráfica que representa el consumo de memoria RAM (en GB) de un servidor de procesos en función del tiempo $t$ (en segundos). Determina, de forma intuitiva, el valor de los límites laterales en el instante $t = 4$ y razona si existe el límite global en ese punto.

Un dron de inspección técnica sigue una trayectoria de aproximación a una antena cuya altura viene dada por la función $H(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, donde $x$ es la distancia horizontal al centro de control. Calcula el límite de la altura cuando el dron se encuentra muy cerca de $x = 3$ metros.

(Nota: Aunque la función no esté definida en $x=3$, estudia el límite simplificando la expresión).

Calcula los siguientes límites directos por sustitución, que representan la velocidad de una partícula en metros por segundo en diferentes instantes $t$:

1. a) $\lim_{t \to 2} (t^2 + 3t - 1)$

1. b) $\lim_{t \to 0} \frac{e^t + 1}{t + 2}$

Dada la función racional $f(x) = \frac{5}{x - 2}$, que describe la intensidad de un campo magnético en relación a la distancia $x$ a un cable conductor:

1. a) Determina el dominio de la función.
2. b) Calcula los límites laterales $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.
3. c) Indica la ecuación de su asíntota vertical.

En un estudio biológico, el número de individuos de una población de bacterias (en miles) sigue el modelo $P(t) = \frac{4t + 10}{t + 2}$, donde $t$ es el tiempo en horas.

1. a) Calcula $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ para conocer la población a largo plazo.
2. b) ¿Qué tipo de asíntota representa este resultado? Escribe su ecuación.

Halla todas las asíntotas (verticales y horizontales) de la función $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 1}$. Para ello:

1. Identifica el valor de $x$ que anula el denominador.

2. Calcula el límite de la función cuando $x \to \infty$.

Determina el comportamiento en el infinito de las siguientes funciones polinómicas, indicando si tienden a $+\infty$ o $-\infty$:

1. a) $f(x) = -2x^3 + 5x - 1$ cuando $x \to +\infty$

1. b) $g(x) = x^4 - 100x^2$ cuando $x \to -\infty$

Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 4}$, que modela la eficiencia de un panel fotovoltaico en función de la radiación recibida $x$, justifica mediante el cálculo de límites si la función tiene alguna asíntota horizontal y represéntala gráficamente de forma esquemática.

En un examen de Matemáticas II, se pide analizar las asíntotas de la función $f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4}$. Lucas entrega el siguiente desarrollo:

«Como el denominador se anula en $x = 2$ y en $x = -2$, la función tiene obligatoriamente dos asíntotas verticales: las rectas $x = 2$ y $x = -2$. Además, como $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$, la recta $y = 1$ es asíntota horizontal y, por tanto, la gráfica de la función jamás podrá cortar a dicha recta $y = 1$».

1. a) Identifica y explica los dos errores conceptuales cometidos por Lucas en su razonamiento.
2. b) Corrige el ejercicio: calcula los límites laterales pertinentes en $x = -2$ para caracterizar la verdadera asíntota vertical, explica qué sucede exactamente en $x = 2$ y comprueba algebraicamente si la curva corta o no a la recta $y = 1$.

Considera la función racional $f(x) = \dfrac{3x^2 - 5x}{x^2 + 1}$.

1. a) Estima: Antes de aplicar ninguna regla formal de límites, observa los términos de mayor grado del numerador y del denominador. Predice razonadamente hacia qué valor numérico tenderá la función cuando $x$ tome valores positivos muy grandes (por ejemplo, $x = 1000$). Deduce también de forma intuitiva si la curva se aproximará a dicho valor por encima o por debajo, analizando el efecto del término $-5x$.
2. b) Comprueba: Calcula formalmente la ecuación de la asíntota horizontal mediante los límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$. A continuación, estudia analíticamente la posición relativa de la gráfica respecto a la asíntota calculando el signo de la diferencia $f(x) - y_{\text{asíntota}}$. Valora si los resultados confirman o corrigen tu estimación inicial.

Dada la función racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 5x - 3}{2x^2 - 8}$, determina el valor del parámetro real $a$ sabiendo que la función tiene una asíntota horizontal en la recta $y = 3$. Una vez hallado el valor de $a$, calcula los límites laterales de la función en sus asíntotas verticales y explica el comportamiento de la gráfica en esos puntos.

Un equipo de ingenieros está monitorizando la temperatura $T$ (en grados Celsius) de un nuevo procesador gráfico en función del tiempo $t$ (en minutos) desde su encendido. La función viene dada por:

Calcula la temperatura inicial del procesador y determina mediante el cálculo de límites si la temperatura se estabiliza a largo plazo. ¿Qué tipo de asíntota representa este valor de estabilización?

Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ (cada marca de los ejes corresponde a una unidad). Supón que las dos ramas continúan fuera del recuadro con la tendencia que muestran. A partir de la información visual, determina el valor de los siguientes límites y las ecuaciones de todas sus asíntotas:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x)$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$

Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$. Para completar el estudio, indica la posición relativa de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

Calcula el valor del siguiente límite que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$ utilizando la relación con el número $e$:

Se considera la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$.

1. a) Calcula $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. b) Comprueba si existe una asíntota horizontal cuando $x$ tiende a $+\infty$.
3. c) Investiga qué ocurre con el límite de la función cuando $x \to -\infty$. ¿Existe alguna asíntota en esa rama?

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2 - k}{x^2 - 4x + 4}$:

1. a) Determina si existe algún valor de $k$ para que la función tenga una discontinuidad evitable en $x = 2$.
2. b) Si $k = 9$, estudia la existencia de asíntotas verticales y describe el comportamiento de la función en sus cercanías mediante límites laterales.

Calcula los siguientes límites resolviendo las indeterminaciones correspondientes:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$

Para hallar la asíntota oblicua de la función racional $f(x) = \dfrac{2x^3 - 3x^2 + 5}{x^2 - 1}$ y estudiar la posición de la curva respecto a ella, dos compañeras de clase proponen estrategias distintas:

• Estrategia A (División algebraica): Realizar la división euclídea del numerador entre el denominador para expresar la función como $f(x) = mx + n + \dfrac{R(x)}{Q(x)}$.

• Estrategia B (Límites analíticos): Calcular los coeficientes mediante las fórmulas $m = \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ y $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$.

1. a) Aplica la Estrategia A: obtén el cociente y el resto simplificado, e indica directamente la ecuación de la recta asíntota y la posición relativa de la curva en $+\infty$ y en $-\infty$.
2. b) Aplica la Estrategia B: calcula detalladamente los dos límites hasta llegar a la misma ecuación.
3. c) Compara ambos caminos: justifica cuál de las dos estrategias es más eficiente en este caso particular para determinar la posición relativa de la curva y explica en qué tipo de funciones la Estrategia A queda totalmente inutilizada, siendo indispensable recurrir a la Estrategia B.

Diseña la expresión analítica de una función racional $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ que satisfaga simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

1. Tiene una única asíntota vertical en la recta $x = 3$, cumpliéndose que $\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$.

2. Presenta una discontinuidad evitable en el punto de abscisa $x = -1$.

3. Posee una asíntota oblicua de ecuación $y = 2x - 1$.

4. Corta al eje de ordenadas en el punto $(0, -2)$.

1. a) Deduce de forma razonada cuáles deben ser los grados mínimos de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$.
2. b) Construye paso a paso los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$, justificando cómo garantizas cada una de las condiciones fijadas.

Se está diseñando un nuevo algoritmo de compresión de datos para una plataforma de streaming. El tiempo de respuesta del sistema, en milisegundos, viene modelado por la función $T(x)$, donde $x$ representa la carga de trabajo en terabytes:

Sabiendo que, para que el sistema sea estable bajo cargas extremas, el límite del tiempo de respuesta cuando la carga tiende a infinito debe ser exactamente $e^4$, determina razonadamente el valor del parámetro $a$.

Considera la función $f(x)$, definida mediante un valor absoluto, que modela la trayectoria de un dron de vigilancia:

Estudia la existencia de asíntotas oblicuas en esta función. En caso de que existan, calcula sus ecuaciones y analiza la posición de la curva respecto a dichas asíntotas tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.

Un satélite de comunicaciones sigue una órbita cuya perturbación gravitatoria se describe por la función $g(x)$. Se requiere que el satélite no se aleje indefinidamente de una trayectoria lineal prevista. La función es:

Halla los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función tenga una asíntota horizontal en $y = 2$ cuando $x \to +\infty$.

Dada la función dependiente de los parámetros $k$ y $m$:

Calcula los valores de $k$ y $m$ para que $f(x)$ tenga una asíntota oblicua que pase por el punto $(0, 2)$ y cuya pendiente sea $3$. Una vez hallados, comprueba si la función posee alguna asíntota vertical y justifica si es evitable o no.

En el estudio de la propagación de un virus informático en una red social, se ha determinado que el número de nodos infectados $N(t)$ tras un tiempo $t$ (en horas) sigue la función:

Analiza el comportamiento de la infección a largo plazo calculando $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. ¿Presenta la función alguna asíntota horizontal? Justifica tu respuesta aplicando las jerarquías de infinitos correspondientes.

Estudia el dominio y todas las asíntotas de la siguiente función logarítmica:

Determina los límites laterales en cada uno de los puntos donde la función no está definida y esboza gráficamente el comportamiento de la función cerca de sus asíntotas verticales.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Calcula el valor del siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital tras realizar las transformaciones necesarias para resolver la indeterminación:

A partir del resultado obtenido, indica si la función $f(x) = \frac{sen(x) - x}{x^2 \cdot sen(x)}$ posee una asíntota vertical en el origen.

Sea la función $f(x)$ definida a trozos:

1. Halla el valor de $k$ para que la función posea una discontinuidad de salto finito en $x = 2$.

2. Para el valor de $k$ obtenido en el apartado anterior, determina el valor de $a$ para que la función tenga una asíntota horizontal $y = 3$ cuando $x \to +\infty$.

En el marco de la transición energética en España, se modeliza el costo medio de generación eléctrica de dos instalaciones en función de la energía mensual producida $x$ (en miles de MWh, con $x > 0$):

• Una planta termosolar con almacenamiento en Extremadura tiene un costo medio unitario (en bolivianos/MWh) modelizado por: $$C_1(x) = \dfrac{35x + \sqrt{16x^2 + 20x + 9}}{x}$$

• Un parque eólico marino flotante experimental presenta un costo medio unitario modelizado por: $$C_2(x) = \dfrac{2x^2 + 15x + 8}{x + 1}$$

1. a) Estudia razonadamente el comportamiento de $C_1(x)$ ante niveles mínimos de producción ($x \to 0^+$) y determina su asíntota horizontal cuando la producción crece a gran escala ($x \to +\infty$). Interpreta el significado físico y de gestión de ambas asíntotas.
2. b) Determina analíticamente la asíntota de $C_2(x)$ cuando $x \to +\infty$ (horizontal u oblicua) obteniendo su ecuación completa.
3. c) Explica razonadamente cuál de los dos modelos describe una tecnología con rendimientos de escala sostenibles a largo plazo y cuál presentará costos unitarios crecientes al expandir la producción, apoyándote en la tipología de sus asíntotas.

Considera la familia de funciones definida para todo número real por la expresión:

donde $a$ y $b$ son parámetros reales.

1. a) Determina de manera razonada los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de $f(x)$ presente una asíntota horizontal en $+\infty$ cuya ecuación sea $y = 4$.
2. b) Con los valores de $a$ y $b$ fijados en el apartado anterior, demuestra que la función no tiene asíntota horizontal en $-\infty$, sino una asíntota oblicua. Calcula rigurosamente su ecuación $y = mx + n$, prestando especial atención al tratamiento algebraico del radical cuando $x \to -\infty$ al extraer factor común.
3. c) Justifica por qué esta función no puede tener ninguna asíntota vertical en todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.