Ejercicios: Función derivada

Un patinador se desplaza por una pista siguiendo una trayectoria cuya posición (en metros) viene dada por la función $s(t) = t^2 + 3t$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula, utilizando la definición de derivada como un límite, la velocidad instantánea del patinador en el instante $t = 2$ segundos.

Calcula la función derivada de las siguientes funciones elementales utilizando las reglas de derivación:

1. a) $f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7x - 1$

1. b) $g(x) = \frac{1}{x^3} + \sqrt{x}$

1. c) $h(x) = 3e^x - 2\cos(x)$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 4x + 1$ en el punto de abscisa $x = 3$.

Dada la función $f(x) = x \cdot \ln(x)$, calcula su derivada $f'(x)$ aplicando la regla del producto y determina el valor de la pendiente de la curva en el punto donde $x = e$.

Se está diseñando una rampa de acceso para un skatepark. El perfil lateral de la primera sección sigue la función $f(x) = \frac{x^2+4}{x+1}$. Calcula la función derivada $f'(x)$ para conocer cómo varía la inclinación de la rampa en cualquier punto de ese tramo.

Aplica la regla de la cadena para hallar la derivada de las siguientes funciones compuestas:

1. a) $f(x) = (3x^2 - 5)^4$

1. b) $g(x) = \sin(5x + 2)$

1. c) $h(x) = e^{x^2}$

Estudia la derivabilidad de la siguiente función en el punto $x = 2$, comprobando primero si es continua en dicho punto:

Calcula la derivada de segundo orden (derivada segunda) de la función $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$. ¿Para qué valor de $x$ se anula esta derivada segunda? (Este punto es importante para el estudio de la curvatura que verás más adelante).

Elena está calculando la derivada de la función $f(x) = x^{2x+1}$ para $x > 0$. En su examen escribe la siguiente resolución:

1. a) Explica detalladamente cuál es el error conceptual que comete Elena y por qué las reglas usuales de derivación de funciones potenciales ($x^k$) o exponenciales ($a^x$) no pueden aplicarse a esta función.
2. b) Corrige el ejercicio aplicando paso a paso el método de derivación logarítmica para obtener la expresión correcta de $f'(x)$, dejándola simplificada y expresada exclusivamente en función de $x$.

Se desea calcular la función derivada de $f(x) = \ln\left(\frac{e^{4x} \cdot (x^2 + 3)^5}{\sqrt{2x + 1}}\right)$ en el dominio $x > -\frac{1}{2}$. Para resolverlo se plantean dos caminos:

• Método A: Aplicar directamente la regla de la cadena para la función logaritmo, $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$, calculando $u'(x)$ mediante la regla del cociente combinada con la regla del producto y potencias.

• Método B: Aplicar las propiedades de los logaritmos (logaritmo de un producto, de un cociente y de una potencia) para transformar $f(x)$ en una combinación lineal de términos sencillos antes de derivar.

1. a) Compara de forma justificada ambos métodos valorando la dificultad del cálculo algebraico y la probabilidad de cometer errores con la regla de la cadena.
2. b) Deriva la función utilizando el método que hayas justificado como más eficiente y simplifica el resultado final.

Calcula la función derivada de la siguiente función compuesta, simplificando el resultado tanto como sea posible:

$f(x) = \ln\left(\frac{1 + \sin(x)}{1 - \sin(x)}\right)$

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea derivable en todo su dominio, prestando especial atención al punto de unión $x = 0$:

$f(x) = \begin{cases} e^{ax} & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 + bx + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Dada la función $f(x) = \ln(2x - 3)$, halla la expresión general para su derivada enésima $f^{(n)}(x)$ y utilízala para calcular el valor de la cuarta derivada en el punto $x = 2$.

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ en el punto donde la función corta al eje de ordenadas ($OY$).

Un dron de vigilancia sigue una trayectoria cuya altura en metros viene dada por la función $h(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 11t + 5$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($0 \leq t \leq 10$).

• a) Calcula la función velocidad $v(t)$ y la función aceleración $a(t)$.

• b) ¿En qué instantes de tiempo el dron se encuentra momentáneamente parado (velocidad igual a cero)?

Utiliza la técnica de la derivación logarítmica para hallar la derivada de la siguiente función potencial-exponencial:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\cos(x)}$

Estudia la derivabilidad de la función $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$ en los puntos $x = 1$ y $x = 3$.

1. a) Estudia si $f$ es continua en $x = 1$ y en $x = 3$.

1. b) Calcula, si existen, las derivadas laterales de $f$ en $x = 1$ y en $x = 3$.

1. c) Indica si $f$ es derivable en esos puntos.

Dada la ecuación de la curva definida de forma implícita $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (conocida como el Folium de Descartes), calcula el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} )$.

Según datos de Red Eléctrica de España (REE), en una jornada invernal la demanda peninsular de potencia eléctrica $P(t)$, expresada en gigavatios (GW), se puede aproximar entre las $06:00$ y las $14:00$ horas ($t \in [6, 14]$, donde $t$ es la hora del día) mediante la función cúbica:

1. a) Obtén la expresión algebraica de $P'(t)$, que representa el ritmo de variación instantáneo de la demanda eléctrica, e indica razonadamente sus unidades de medida.
2. b) Determina los intervalos de tiempo en los que el consumo peninsular está creciendo y aquellos en los que está disminuyendo en esa franja horaria.
3. c) Averigua a qué hora exacta de la mañana se alcanza el pico máximo de demanda y cuál es la potencia consumida en ese instante. Justifica analíticamente, mediante el criterio de la primera o de la segunda derivada, por qué dicho valor es un máximo relativo y no un punto de inflexión.

Considera la función con base y exponente variables $f(x) = x^{\sin(x)}$, definida para todo $x > 0$.

1. a) Estima: Sin realizar derivadas algebraicas, analiza cualitativamente el comportamiento de la base $u(x) = x$ y del exponente $v(x) = \sin(x)$ en las inmediaciones de $x = \frac{\pi}{2}$. Teniendo en cuenta que la función seno alcanza un máximo relativo en $\frac{\pi}{2}$ (por lo que su variación instantánea es nula en ese punto), estima razonadamente si $f(x)$ será creciente o decreciente en $x = \frac{\pi}{2}$ y deduce qué signo esperas para $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
2. b) Calcula: Halla la función derivada $f'(x)$ mediante derivación logarítmica y calcula el valor numérico exacto de $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
3. c) Comprueba: Valora si el valor obtenido confirma tu estimación cualitativa previa e interpreta geométricamente la pendiente de la recta tangente en dicho punto.

Se considera la función definida a trozos $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mediante la siguiente expresión:

Determina los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función sea derivable en todo su dominio. Una vez hallados, discute si la función derivada $f'(x)$ es, a su vez, continua en $x = 2$.

Haciendo uso exclusivo de la definición de derivada como un límite (cociente incremental), calcula la función derivada de $f(x) = \sqrt{2x^2 + 1}$. Posteriormente, utiliza el resultado obtenido para hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto $P$ de abscisa $x = 2$.

En la figura se muestra la gráfica de $f$ y la posición del punto $P$.

Dada la curva definida por la ecuación implícita $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (conocida como el Folium de Descartes), se pide:

1. a) Obtener la expresión de la derivada $y'$ en función de $x$ e $y$ mediante derivación implícita.
2. b) Hallar los puntos de la curva en los que la recta tangente es horizontal.
3. c) Determinar la ecuación de la recta normal a la curva en el punto $( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} )$.

Utiliza la técnica de la derivación logarítmica para calcular la función derivada de:

Indica razonadamente el dominio de definición de la función $f(x)$ y el de su función derivada $f'(x)$. ¿Existe algún punto en el intervalo $(0, \pi/2)$ donde la pendiente de la recta tangente sea nula?

Sea la función $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$.

1. a) Descompón la función en fracciones simples.
2. b) Utilizando la descomposición anterior, halla una fórmula general para la derivada $n$-ésima, $f^{(n)}(x)$, para cualquier $n \in \mathbb{N}$.
3. c) Demuestra la validez de tu fórmula para todo $n \in \mathbb{N}$ mediante el método de inducción matemática, comprobando explícitamente los tres primeros órdenes de derivación.

Un dron de vigilancia sigue una trayectoria de vuelo sobre un eje rectilíneo. Su posición (en decámetros) respecto al centro de control viene dada por la función $s(t) = t^2 \cdot e^{-t/4}$, donde $t$ es el tiempo en minutos desde el despegue ($t \ge 0$). La figura muestra la gráfica de $s(t)$.

1. a) Determina la función velocidad $v(t)$ y la función aceleración $a(t)$ del dron.

1. b) ¿En qué instante el dron cambia de sentido en su movimiento?

1. c) Calcula los instantes exactos en los que la aceleración es nula. ¿Qué interpretación física tienen estos puntos respecto a la velocidad del dron?

Se considera la función $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Determina los coeficientes $a, b, c$ y $d$ sabiendo que se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

1. La gráfica de $f(x)$ pasa por el origen de coordenadas.

2. La función tiene un punto de inflexión en $x = 1$.

3. La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 0$ es paralela a la recta $y = -2x + 5$.

4. El valor de la derivada segunda en $x = 0$ es $f''(0) = 6$.

La siguiente gráfica corresponde a la función derivada, $f'(x)$, de una función $f(x)$ que es continua en todo su dominio $\mathbb{R}$. La gráfica de $f'(x)$ es una parábola que corta al eje $X$ en $x=-2$ y $x=2$, y cuyo vértice es el punto $(0,2)$.

A partir de la gráfica de $f'(x)$, razona las siguientes cuestiones sobre la función original $f(x)$:

1. a) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.

1. b) Determina las abscisas de los extremos relativos de $f(x)$ y clasifícalos en máximos o mínimos.

1. c) ¿En qué valor de $x$ presenta $f(x)$ un punto de inflexión? Justifica tu respuesta basándote en la relación entre $f''(x)$ y la pendiente de $f'(x)$.

Se busca determinar los parámetros reales $a$ y $b$ de una función racional de la forma $f(x) = \frac{a x + b}{x - 2}$ (con $x \ne 2$) para que cumpla simultáneamente dos condiciones:

1. Su derivada $n$-ésima satisface para cualquier número natural $n \ge 1$ la expresión general:

1. La recta tangente a la gráfica de $f$ en su punto de corte con el eje de abscisas forma un ángulo de $135^\circ$ con el sentido positivo del eje $OX$.

1. a) Deduce por regularidad o recurrencia la fórmula de la derivada de orden $n$ de la función elemental $g(x) = \frac{1}{x - 2}$.
2. b) Descompón $f(x)$ en la forma $f(x) = A + \frac{B}{x - 2}$ y utiliza la condición 1 para fijar el valor de $B$, obteniendo una primera relación entre $a$ y $b$.
3. c) Traduce analíticamente la condición geométrica 2 sobre la recta tangente para hallar todas las parejas de valores $(a, b)$ que verifican el enunciado, comprobando la coherencia del resultado en cada caso.

Para estudiar la curva implícita dada por la ecuación $x^3 + y^3 - 3xy = 0$, Carlos intenta localizar los puntos que poseen recta tangente horizontal y escribe en la pizarra:

«Paso 1: Derivo implícitamente respecto de $x$ tratando $y$ como $y(x)$:

Paso 2: Como busco tangentes horizontales, la pendiente debe anularse, así que igualo a cero el numerador: $y - x^2 = 0 \implies y = x^2$.

Paso 3: Sustituyo $y = x^2$ en la curva: $x^3 + (x^2)^3 - 3x(x^2) = 0 \implies x^6 - 2x^3 = 0 \implies x^3(x^3 - 2) = 0$.

Paso 4: Obtengo dos soluciones: $x = 0$ (que da el punto $(0, 0)$) y $x = \sqrt[3]{2}$ (que da el punto $(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4})$). Concluyo que en ambos puntos la curva tiene recta tangente horizontal $y'=0$ y, en particular, $(0,0)$ es un extremo relativo suave.»

1. a) Identifica el error conceptual cometido por Carlos en el Paso 4 al analizar el punto $(0, 0)$. ¿Qué ocurre al evaluar la expresión de $y'$ en dicho punto?
2. b) Justifica por qué la condición $y' = 0$ en derivación implícita es solo una condición necesaria y qué comprobación adicional sobre el denominador es imprescindible realizar.
3. c) Determina razonadamente si en el punto $P(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4})$ existe efectivamente recta tangente horizontal y escribe su ecuación.