Ejercicios: Volúmenes de revolución

La región bajo la curva $y = \sqrt{x}$ entre $x = 0$ y $x = 4$ gira alrededor del eje $OX$, como se muestra en la figura.

Plantea la integral $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$ correspondiente y calcula el volumen del sólido de revolución generado, expresando el resultado en función de $\pi$.

La función constante $f(x) = 2$ entre $x = 0$ y $x = 5$ gira alrededor del eje $OX$.

1. a) Calcula el volumen del sólido generado mediante la integral $V = \pi \int_{0}^{5} [f(x)]^2 \, dx$.
2. b) ¿Qué cuerpo geométrico se ha generado? Comprueba el resultado con la fórmula del volumen de ese cuerpo.

La semicircunferencia $y = \sqrt{9 - x^2}$ gira alrededor del eje $OX$.

1. a) ¿Qué cuerpo geométrico se genera y entre qué límites hay que integrar?
2. b) Calcula su volumen con la integral correspondiente.
3. c) Comprueba el resultado con la fórmula $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.

El segmento de la recta $y = x$ comprendido entre $x = 0$ y $x = 3$ gira alrededor del eje $OX$ generando un cono.

1. a) Calcula su volumen mediante la integral $V = \pi \int_{0}^{3} x^2 \, dx$.
2. b) Identifica el radio y la altura del cono y comprueba el resultado con la fórmula $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Carlos intenta calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje $OX$ la región del primer cuadrante delimitada por las curvas $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = \frac{1}{2}x$.

En su resolución escribe los siguientes pasos:

1.º «Igualo ambas funciones para hallar los extremos de integración: $\sqrt{x} = \frac{1}{2}x \implies x = 0$ y $x = 4$».

2.º «Como el sólido tiene un hueco interior, resto las funciones antes de elevar al cuadrado: $V = \pi \int_0^4 \left(\sqrt{x} - \frac{1}{2}x\right)^2 dx$».

3.º «Desarrollo el binomio: $\left(\sqrt{x} - \frac{1}{2}x\right)^2 = x - x^{3/2} + \frac{1}{4}x^2$».

4.º «Integro y obtengo el volumen: $V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{x^3}{12} \right]_0^4 = \frac{8\pi}{15}\ \text{u}^3$».

1. a) Identifica el error conceptual cometido por Carlos en el paso 2.º y explica geométricamente por qué el método de las arandelas exige restar los cuadrados de los radios, $[f(x)]^2 - [g(x)]^2$, y no el cuadrado de la resta, $[f(x)-g(x)]^2$.
2. b) Corrige el planteamiento escribiendo la integral adecuada y calcula el volumen real del sólido.
3. c) Demuestra que si $f(x) > g(x) > 0$, siempre se verifica que $[f(x)]^2 - [g(x)]^2 > [f(x)-g(x)]^2$, y concluye si el cálculo de Carlos subestimó o sobreestimó el volumen auténtico.

Considera la región acotada por la curva $y = 2\sqrt{x}$, el eje de abscisas $OX$ y la recta vertical $x = 4$, la cual gira en torno al eje $OX$ engendrando un sólido de revolución (un paraboloide).

1. a) Estima: Antes de calcular ninguna integral, justifica que el sólido queda completamente inscrito dentro de un cilindro recto de radio $R = 4$ y altura $h = 4$, y que al mismo tiempo contiene en su interior al cono recto formado al girar el segmento rectilíneo que une el origen $(0,0)$ con el punto $(4,4)$. Calcula el volumen exacto de dicho cilindro ($V_{\text{cilindro}} = \pi R^2 h$) y de dicho cono ($V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h$) para acotar entre qué dos cotas numéricas debe situarse necesariamente el volumen del sólido.
2. b) Calcula: Plantea la integral definida $V = \pi \int_0^4 [f(x)]^2\,dx$ y calcula el valor exacto del volumen del sólido de revolución.
3. c) Comprueba: Verifica si el valor obtenido cae dentro del intervalo estimado en el apartado a) y determina qué fracción exacta del volumen del cilindro circunscrito representa este paraboloide.

El perfil de una copa de cerámica se modela con la curva $y = \sqrt{x}$, con $x$ e $y$ medidos en centímetros, que gira en torno al eje $OX$ entre $x = 0$ y $x = 9$.

1. a) Calcula el volumen interior de la copa en $\text{cm}^3$, redondeando a las unidades.
2. b) Sabiendo que $1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{ml}$, ¿cuál es la capacidad de la copa en mililitros? ¿Te parece una capacidad razonable para una copa? Comenta el resultado.

La región encerrada entre la parábola $y = x^2$ y la recta $y = x$, sombreada en la figura, gira alrededor del eje $OX$ generando un sólido hueco.

1. a) Halla los puntos de corte de ambas curvas.
2. b) Plantea el volumen como una diferencia de dos integrales (método de la arandela) y calcúlalo.

Un embudo cónico de laboratorio se obtiene al hacer girar la recta $y = 2x$, con $0 \le x \le 2$, en torno al eje $OY$, como se muestra en la figura (medidas en decímetros).

1. a) Expresa $x$ en función de $y$ y plantea la integral $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 \, dy$ que da el volumen, indicando los límites de integración.
2. b) Calcula el volumen del embudo.
3. c) Comprueba el resultado aplicando la fórmula del volumen del cono, $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, identificando el radio y la altura del embudo.

La tobera de un motor de aeromodelismo es una pieza cuya pared exterior sigue el perfil de la hipérbola $y = \frac{2}{x}$ entre $x = 1$ y $x = 4$ (medidas en centímetros), al girar en torno al eje $OX$.

1. a) Calcula el volumen de material necesario para fabricar la pieza, suponiendo que es maciza entre el eje y el perfil.
2. b) Si el material tiene una densidad de $2,5\ \text{g/cm}^3$, ¿cuál es la masa de la pieza? Redondea a las décimas de gramo.

En las bodegas de crianza de vino de Jerez y Rioja, una barrica de roble de $80\ \text{cm}$ de longitud exterior tiene un perfil longitudinal interior que se modeliza mediante el arco de parábola $y = 30 - k x^2$, con $x \in [-40, 40]$ medido en centímetros e $y$ representando el radio interior en cada sección transversal.

El radio interior en el centro de la barrica ($x = 0$) es de $30\ \text{cm}$, mientras que en los dos fondos planos ($x = -40$ y $x = 40$) el radio se reduce a $26\ \text{cm}$.

1. a) Determina razonadamente el valor exacto de la constante $k$ a partir de los datos geométricos del tonel.
2. b) Plantea la integral definida que proporciona la capacidad de la barrica al hacer girar este perfil parabólico alrededor del eje $OX$ y calcula su volumen exacto en centímetros cúbicos (dejando el resultado en función de $\pi$).
3. c) Convierte el volumen a litros (tomando $\pi \approx 3,1416$ y redondeando a las décimas). ¿Es compatible este resultado con la capacidad habitual de las barricas comerciales estándar ($200$–$225\ \text{litros}$)? Razona si aproximar el tonel por un cilindro simple de radio igual al radio medio ($r_m = \frac{30+26}{2} = 28\ \text{cm}$) sobreestimaría o subestimaría el volumen real obtenido con la integral.

Se desea calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje vertical $OY$ la región del primer cuadrante delimitada por la curva $y = \sqrt{x}$, la recta vertical $x = 4$ y el eje horizontal $OX$ ($y = 0$). Tres estudiantes discuten cómo resolverlo:

• Camino A (Sofía): Observa que la altura máxima en el eje vertical es $y = 2$. Propone calcular el volumen del cilindro exterior de radio $R = 4$ y altura $H = 2$, y restarle el volumen del hueco interior generado al girar la curva respecto a $OY$: $V = \pi \cdot 4^2 \cdot 2 - \pi \int_0^2 [g(y)]^2 dy$, despejando $x = g(y) = y^2$.

• Camino B (Mateo): Propone usar directamente el método de las arandelas perpendiculares al eje $OY$. Como el radio exterior es fijo ($R = 4$) y el interior varía sobre la curva ($r = y^2$), plantea $V = \pi \int_0^2 \big(4^2 - (y^2)^2\big)\,dy$.

• Camino C (Lucas): Afirma que no hace falta despejar $y$ y que el volumen se calcula directamente con $V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx$.

1. a) Explica por qué el método de Lucas (Camino C) es conceptualmente erróneo y qué volumen geométrico representa en realidad la integral que él escribió.
2. b) Demuestra algebraicamente que las integrales de Sofía y Mateo conducen exactamente a la misma expresión y calcula el volumen del sólido.
3. c) Valora críticamente cuál de los dos caminos correctos (A o B) resulta más ventajoso a la hora de evitar errores operativos en una prueba de evaluación y justifica tu postura.

Un balón de rugby tiene forma de elipsoide de revolución: su sección transversal es la elipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, que gira en torno al eje $OX$, como se muestra en la figura.

1. a) Despeja $y^2$ de la ecuación de la elipse y plantea la integral que da el volumen del elipsoide.
2. b) Demuestra que el volumen de un elipsoide de revolución es $V = \frac{4}{3} \pi a b^2$.
3. c) Un balón reglamentario tiene una longitud de $30\ \text{cm}$ ($a = 15\ \text{cm}$) y un diámetro máximo de $18\ \text{cm}$ ($b = 9\ \text{cm}$). Calcula su volumen y exprésalo en litros, redondeando a las décimas.

La región infinita limitada por la hipérbola $y = \frac{1}{x}$, el eje $OX$ y la recta $x = 1$ gira alrededor del eje $OX$, generando un sólido infinito conocido como trompeta de Torricelli, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula el volumen $V(b)$ del tramo de trompeta comprendido entre $x = 1$ y $x = b$.
2. b) Halla $\lim_{b \to +\infty} V(b)$ e interpreta el resultado: ¿es finito el volumen de la trompeta completa?
3. c) Calcula el área de la región que ha girado, es decir, $\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x} dx$. Compara con el apartado anterior y comenta la paradoja del pintor: se puede llenar la trompeta de pintura, pero no se puede pintar su superficie.

Marcos ha calculado así el volumen del sólido que genera la región bajo la curva $y = x^2 + 1$ entre $x = -1$ y $x = 1$ al girar en torno al eje $OX$:

«$V = \pi \int_{-1}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{1} = \pi \left( \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{8\pi}{3}\ \text{u}^3$»

1. a) Localiza el error en su planteamiento y explica en qué consiste.
2. b) Calcula el volumen correctamente.

Considera la región del plano limitada por la parábola $y = x^2$, el eje $OX$ y la recta $x = 2$.

1. a) Calcula el volumen del sólido que genera al girar en torno al eje $OX$.
2. b) Calcula el volumen del sólido que genera al girar en torno al eje $OY$. (Sugerencia: resta al cilindro de radio $2$ y altura $4$ el sólido que genera la región comprendida entre la curva y el eje $OY$.)
3. c) Aunque la región que gira es la misma, los dos volúmenes no coinciden. Explica razonadamente por qué.

Considera la familia de recintos acotados del plano comprendidos entre la parábola $y = x^2$ y la recta secante $y = m x$, donde el parámetro $m > 0$ representa la pendiente de la recta.

Al hacer girar dicho recinto en torno al eje de abscisas $OX$, se genera un sólido de revolución cuyo volumen representamos por $V(m)$.

1. a) Halla los puntos de corte entre ambas curvas en función de $m$, plantea la integral del volumen mediante el método de las arandelas y obtén la expresión analítica de $V(m)$ en función de $\pi$ y del parámetro $m$.
2. b) Demuestra que $V(m)$ es una función proporcional a $m^5$. A partir de esta propiedad de escala, responde sin necesidad de integrar de nuevo: si duplicamos la pendiente de la recta, ¿por qué factor se multiplica el volumen del nuevo sólido generado?
3. c) Resuelve el problema inverso: determina el valor exacto de la pendiente $m$ para que el volumen del sólido de revolución generado sea exactamente igual a $\frac{64\pi}{15}\ \text{u}^3$.

En una estación meteorológica de AEMET se utiliza un pluviómetro de alta sensibilidad para registrar precipitaciones débiles. El recipiente colector tiene la forma de un paraboloide de revolución generado al girar la curva $y = a x^2$ en torno al eje vertical $OY$. El recipiente tiene una altura total de $16\ \text{cm}$ y una boca circular superior de $16\ \text{cm}$ de diámetro (es decir, $8\ \text{cm}$ de radio).

1. a) Determina el valor del parámetro $a$, despeja $x = g(y)$ y calcula mediante cálculo integral la capacidad total del recipiente en $\text{cm}^3$ (en función de $\pi$) y su equivalente en litros.
2. b) Deduce la fórmula del volumen de agua acumulado $V(h)$ en función de la altura que alcanza el líquido $h$ (con $0 \le h \le 16\ \text{cm}$). A partir de dicha función, calcula a qué altura exacta $h$ el pluviómetro se encuentra al $50\,\%$ de su capacidad máxima. Justifica geométricamente por qué dicha altura es estrictamente mayor que la mitad de la altura del recipiente ($8\ \text{cm}$).
3. c) Calcula la tasa de variación instantánea de la altura respecto al volumen acumulado, $\frac{dh}{dV}$. Compara el valor de esta tasa cuando el recipiente está casi vacío ($h \to 0$) frente a cuando está casi lleno ($h = 16\ \text{cm}$) y explica por qué esta geometría parabólica es mucho más eficaz que la de un pluviómetro cilíndrico estándar para detectar lloviznas inapreciables.

Reto del tema. Diseña un depósito de retención pluvial adaptado a tu localidad integrando GeoGebra y el cálculo integral.

1. Fase 1. Probabilidad climática: Descarga en AEMET la precipitación diaria del último mes en tu comarca. Modela una función de densidad continua $f(x) = k \cdot e^{-0,2x}$ para $x \in [0, 20]$ que represente los litros por metro cuadrado. Halla analíticamente $k$ para verificar que $\int_0^{20} f(x)\,dx = 1$ y calcula la probabilidad de registrar más de $5\text{ mm}$ de lluvia.

2. Fase 2. Geometría y volumen: Modela en GeoGebra la pared del depósito mediante una curva $y = g(x)$ en un intervalo $[0, b]$. Calcula la capacidad total del depósito determinando el volumen de revolución generado al girar dicha función alrededor del eje $OX$: $V = \pi \int_0^b [g(x)]^2\,dx$.

3. Fase 3. Llenado y TFC: A partir de una función de caudal de entrada variable $c(t)$, aplica el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de Barrow para obtener la función del volumen acumulado en el tiempo mediante el área bajo la curva.

Elabora un informe técnico breve (máximo dos páginas) con los desarrollos analíticos, capturas del modelo en GeoGebra y una valoración sobre la adecuación del volumen obtenido a los datos climáticos.

Se valorará:

• Aplicación rigurosa de la regla de Barrow y cálculo correcto de integrales para áreas y volúmenes de revolución.

• Justificación matemática de las propiedades de la probabilidad y la función de densidad con datos de AEMET.

• Correcto modelado geométrico en GeoGebra e interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo.