Ejercicios: Teorema fundamental del cálculo integral y regla de Barrow

Un panel solar térmico tiene un diseño cuya sección transversal superior está delimitada por la función $f(x) = 3x^2 + 2$, donde $x$ se mide en metros. Calcula el valor de la integral definida en el intervalo $[0, 2]$ utilizando la Regla de Barrow.

Dada una función $f(x)$ continua en el intervalo $[1, 8]$, se conocen los valores de las siguientes integrales definidas:

• $\int_1^5 f(x) \, dx = 7$

• $\int_5^8 f(x) \, dx = -3$

Utiliza las propiedades de la integral definida para calcular el valor de $\int_1^8 2 \cdot f(x) \, dx$.

Un programador de videojuegos está diseñando la trayectoria de un proyectil. La velocidad del objeto en función del tiempo $t$ viene dada por la expresión $v(t) = \int_1^t (3x^2 - 4x) \, dx$.

Aplica el Teorema Fundamental del Cálculo Integral para hallar la expresión de la aceleración instantánea $a(t)$, sabiendo que la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo ($a(t) = v'(t)$).

Calcula el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = \sin(x)$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = \pi$. Esboza el recinto antes de aplicar la Regla de Barrow.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Halla el valor de la derivada de la siguiente función integral en el punto $x = 2$:

$$F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^3 + 1} \, dt$$

Explica qué teorema matemático estás utilizando para resolver el problema sin necesidad de calcular la primitiva.

El consumo eléctrico de una vivienda durante la primera hora de la mañana se modeliza mediante la función $f(x) = e^x + x$, donde $x$ es el tiempo en horas. Calcula el consumo total acumulado, representado por la integral definida:

$$\int_{0}^{1} (e^x + x) \, dx$$

Sin realizar cálculos complejos de integración, justifica razonadamente por qué el valor de la siguiente integral es igual a $0$, basándote en las propiedades de las funciones impares y la simetría del intervalo:

$$\int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^3 - x) \, dx$$

La figura muestra la gráfica de $f(x)=x^5+3x^3-x$ en el intervalo $[-2,\,2]$, con las regiones comprendidas entre la curva y el eje $X$ sombreadas.

Determina el área de la región encerrada entre la curva $f(x) = x^2 - 4$ y el eje $OX$ en el intervalo $[0, 2]$. Recuerda que si la función es negativa en el intervalo, el área se corresponde con el valor absoluto de la integral definida.

En un examen de 2.º de Bachillerato, se pide calcular la derivada de la función $F(x) = \int_2^{x^3} \sqrt{t^2 + 5}\,dt$ en el punto $x = 1$. Irene presenta la siguiente resolución:

«Por el Teorema Fundamental del Cálculo, la derivada de una integral es la función que está dentro evaluada en el límite superior, por lo que $F'(x) = \sqrt{(x^3)^2 + 5} = \sqrt{x^6 + 5}$. Sustituyendo en $x = 1$, se obtiene $F'(1) = \sqrt{1^6 + 5} = \sqrt{6}$».

1. a) Señala el error conceptual que comete Irene y explica qué regla o teorema ha omitido aplicar.
2. b) Enuncia la versión del Teorema Fundamental del Cálculo que debe aplicarse cuando el límite superior de integración es una función derivable $g(x)$.
3. c) Corrige el ejercicio calculando el valor exacto y simplificado de $F'(1)$.

Se considera la función $f(x) = 4 - x^2$ definida en el intervalo $[0, 2]$. Se desea calcular el valor de la integral definida $I = \int_0^2 (4 - x^2)\,dx$.

1. a) Antes de calcular ninguna primitiva, acota razonadamente el valor de la integral: justifica geométricamente por qué $I$ debe ser estrictamente menor que el área del rectángulo de vértices $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,4)$ y $(0,4)$ (área 8) y estrictamente mayor que el área del triángulo de vértices $(0,0)$, $(2,0)$ y $(0,4)$ (área 4). A partir de esto, formula una estimación numérica razonable para el valor de $I$.
2. b) Aplica la Regla de Barrow para calcular el valor exacto de la integral $I$, detallando la elección de la primitiva empleada.
3. c) Comprueba si el resultado exacto obtenido concuerda con tu estimación previa y explica por qué en este caso el valor de la integral coincide exactamente con el área geométrica delimitada por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas.

Dada la función $f(x) = |x^2 - 2x|$, calcula el valor de la integral definida en el intervalo $[0, 3]$ utilizando la Regla de Barrow:

$$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$

Explica brevemente por qué es necesario dividir el intervalo de integración para resolver este ejercicio.

Calcula la función derivada $F'(x)$ de la siguiente función integral utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena:

$$F(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{\ln(t)}{t + 1} \, dt$$

Indica el dominio de definición de la función $F(x)$ para que la integral esté bien definida.

Determina el valor del parámetro real positivo $a$ sabiendo que el área limitada por la curva $f(x) = 3x^2$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = a$ es exactamente igual a 27 unidades de área. Utiliza para ello la Regla de Barrow.

Sea la función $G(x)$ definida por:

$$G(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 4)e^{t} \, dt$$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $G(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$.

Nota: Recuerda que para hallar la ordenada del punto de tangencia debes calcular $G(0)$ y para la pendiente debes aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo.

La velocidad de un prototipo de vehículo eléctrico durante los primeros 4 segundos de una prueba viene dada por la función $v(t) = t^2 - 3t + 4$ (en m/s).

1. a) Calcula el espacio total recorrido por el vehículo entre los instantes $t = 1$ s y $t = 3$ s aplicando la Regla de Barrow.
2. b) Justifica si el vehículo se detiene en algún momento durante ese intervalo.

Halla el valor medio de la función $f(x) = \sqrt{x+1}$ en el intervalo $[0, 3]$ y determina el punto $c \in (0, 3)$ cuya existencia garantiza el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. Interpreta el resultado geométricamente.

Dada la función integral $H(x) = \int_{0}^{x} \frac{t-1}{t^2+4} \, dt$:

1. a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $H(x)$.
2. b) Determina las coordenadas de los extremos relativos (máximos o mínimos) de $H(x)$ y clasifícalos.

Calcula el valor de la integral definida de la siguiente función definida a trozos en el intervalo $[0, 2]$:

$$f(x) = \begin{cases} e^{2x} & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ \frac{e^2}{x} & \text{si } 1 < x \le 2 \end{cases}$$

Comprueba previamente si la función es continua en $x = 1$ para asegurar que es integrable.

Dada la función $F(x) = \int_1^x (t^2 - 2t)\cdot e^t\,dt$, definida para todo $x \in \mathbb{R}$, se pide estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como clasificar sus extremos relativos.

Para abordar el ejercicio, dos estudiantes proponen caminos distintos:

• Javier propone hallar primero una primitiva explícita de $(t^2 - 2t)e^t$ aplicando dos veces el método de integración por partes, utilizar la Regla de Barrow para obtener una expresión algebraica de $F(x)$ sin integrales y luego derivar dicha función resultante.

• Sofía propone aplicar directamente el Teorema Fundamental del Cálculo para obtener $F'(x)$ sin calcular ninguna primitiva previa.

1. a) Evalúa ambos caminos: ¿son ambos matemáticamente válidos? Justifica cuál de ellos es notablemente más eficiente en este contexto.
2. b) Siguiendo el método más ventajoso, determina la función derivada $F'(x)$ e identifica todos sus puntos críticos.
3. c) Analiza el signo de $F'(x)$ para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $F$, y clasifica razonadamente cada punto crítico en máximo o mínimo relativo.

La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) registra la intensidad de precipitación neta que abastece a un embalse durante una borrasca de 6 horas mediante la función de caudal neto $c(t) = 6t - t^2$ (expresada en hectómetros cúbicos por hora, $\text{hm}^3/\text{h}$), donde $t \in [0, 6]$ es el tiempo en horas transcurrido desde el inicio del temporal. El volumen neto acumulado en el embalse se modeliza como $V(t) = \int_0^t c(u)\,du$.

1. a) Interpreta el significado físico y matemático de $V'(t)$ a partir del Teorema Fundamental del Cálculo. ¿En qué instante entra agua al embalse con mayor rapidez?
2. b) A partir del signo de $V'(t)$, justifica en qué intervalo de tiempo el volumen añadido de agua $V(t)$ es creciente y en qué instante alcanza su valor máximo en el intervalo $[0, 6]$.
3. c) Utiliza la Regla de Barrow para calcular el volumen total de agua (en $\text{hm}^3$) que la borrasca aportó al embalse al cabo de las 6 horas.

Sea la función $f(t) = \frac{\ln(t)}{t^2}$ definida para $t > 0$. Se define una nueva función integral $G(x)$ como:

$$G(x) = \int_{x}^{x^2} f(t) \, dt$$

1. a) Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena, obtén la expresión de la derivada $G'(x)$.
2. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $G(x)$ en su dominio.
3. c) Halla el valor de $x > 1$ para el cual la función $G(x)$ alcanza un máximo relativo.

Calcula el valor del siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital y el Teorema Fundamental del Cálculo:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} \left( e^{t^2} - 1 \right) \, dt}{x^6}$$

Explica razonadamente cada paso, justificando la derivación de la función integral.

Un equipo de ingenieros está diseñando la trayectoria de un dron de carreras. La velocidad vertical del dron en el intervalo de tiempo $[0, 4]$ segundos viene dada por la función $v(t) = \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + z^4} \, dz$.

1. a) Sin calcular la integral explícitamente, justifica por qué el dron siempre está subiendo o manteniéndose en la misma altura.
2. b) Calcula la aceleración vertical del dron en el instante $t = 1$ segundo.
3. c) ¿En qué instante la aceleración vertical es máxima? Justifica tu respuesta estudiando la derivada segunda de la posición.

Dada la función $f(x) = x^2 - 4$, considera la función integral $H(x) = \int_{0}^{x} |f(t)| \, dt$.

1. a) Expresa $H(x)$ como una función definida a trozos para valores de $x \in [0, 5]$.
2. b) Estudia la derivabilidad de $H(x)$ en el punto $x = 2$. ¿Es aplicable directamente el Teorema Fundamental del Cálculo en ese punto?
3. c) Utiliza la Regla de Barrow para calcular el valor exacto de $H(3)$.

Sea $f(x)$ una función continua en $\mathbb{R}$ tal que $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$. Halla el valor de la constante $k$ para que la siguiente igualdad se cumpla, sabiendo que el área bajo la curva de la izquierda se ha desplazado y escalado:

$$\int_{0}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2 - 1) \, dx = k$$

Utiliza el método de cambio de variable en las integrales definidas para relacionarlas con el dato inicial.

El logotipo de una nueva marca de ropa urbana está delimitado por las gráficas de las funciones $f(x) = \operatorname{sen}(\pi x)$ y $g(x) = ax$, con $a > 0$, en el primer cuadrante.

1. a) Determina el valor de $a$ para que la recta $y = ax$ pase por el máximo relativo de la función $f(x)$ en el intervalo $[0, 1]$.
2. b) Para el valor de $a$ hallado, calcula mediante la Regla de Barrow el área de la región encerrada entre ambas gráficas.

Sea la función definida por la integral $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t - 1}{e^t + 1} \, dt$.

1. a) Halla los puntos críticos de $F(x)$ y clasifícalos utilizando el criterio de la primera derivada.
2. b) Estudia la curvatura de $F(x)$ y determina si posee puntos de inflexión.
3. c) ¿Existe algún valor de $x$ para el cual $F(x)$ sea negativo? Razona la respuesta basándote en el signo del integrando y los límites de integración.

Considera la función integral $L(x) = \int_{1}^{x} \frac{\sqrt{1 + t^3}}{t} \, dt$ definida para $x \geq 1$.

1. a) Demuestra que $L(x)$ es una función estrictamente creciente en su dominio.
2. b) Se sabe que la gráfica de $L(x)$ tiene una recta tangente en el punto de abscisa $x = 2$ cuya ecuación es $y = mx + n$. Calcula el valor de la pendiente $m$.
3. c) Determina la aceleración de crecimiento de la pendiente (derivada segunda) en ese mismo punto.

Una función continua $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ satisface para todo número real $x > 0$ la siguiente ecuación integral:

$$\int_1^{x^2} f(t)\,dt = 4x^3 - 4x$$

1. a) Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena, deriva ambos miembros respecto a $x$ y obtén una relación algebraica entre $f(x^2)$ y la variable $x$.
2. b) A partir de dicha relación, deduce la expresión analítica explícita de $f(x)$ para cualquier $x > 0$ y calcula razonadamente el valor de $f(4)$.
3. c) Aplica la Regla de Barrow sobre tu expresión de $f$ para calcular $\int_1^4 f(t)\,dt$ y comprueba que coincide con el valor predicho por la ecuación integral original evaluada en $x = 2$.
4. d) Justifica rigurosamente, apoyándote en el signo de $f(t)$ o en la monotonía de la función integral, si existe algún otro valor $c > 0$ con $c \neq 1$ tal que $\int_1^c f(t)\,dt = 0$.

Se desea calcular el siguiente límite indeterminado:

$$L = \lim_{x \to 0} \frac{x - \int_0^x \frac{1}{1 + t^4}\,dt}{x^5}$$

Dos estudiantes contemplan distintas estrategias de resolución:

• David intenta calcular primero la primitiva indefinida $\int \frac{1}{1 + t^4}\,dt$ descomponiendo el denominador en factores cuadráticos reales irreducibles para luego aplicar la Regla de Barrow.

• Elena afirma que no es necesario obtener una primitiva elemental y que el límite se puede calcular directamente combinando la regla de L'Hôpital con el Teorema Fundamental del Cálculo.

1. a) Explica por qué el método de David es desaconsejable e inviable en el tiempo asignado a una prueba escrita y justifica con rigor si el método de Elena es aplicable comprobando las hipótesis del Teorema Fundamental del Cálculo y de la regla de L'Hôpital.
2. b) Resuelve el límite $L$ aplicando la propuesta de Elena.
3. c) Si consideramos la función $F(x) = \int_0^x \frac{1}{1 + t^4}\,dt$, halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F$ en el punto de abscisa $x = 0$. Utilizando el valor del límite obtenido en el apartado b), determina de forma razonada la posición relativa de la curva $y = F(x)$ respecto de dicha recta tangente en un entorno próximo a $x = 0$ (distinguiendo entre $x > 0$ y $x < 0$).