Ejercicios: Aplicaciones de la integral definida

Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando la Regla de Barrow:

Dada la función integral $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$, utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para hallar el valor de su derivada en el punto $x = 4$, es decir, calcula $F'(4)$.

Un diseñador gráfico está trazando el contorno de un logotipo que sigue la curva $f(x) = e^x$. Calcula el área encerrada bajo dicha curva, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = \ln(3)$.

Calcula el área del recinto plano limitado por la parábola $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y el eje de abscisas ($OX$). Nota: Recuerda hallar primero los puntos de corte de la función con el eje.

Sin realizar el cálculo de la primitiva, justifica utilizando las propiedades de la integral definida por qué el valor de la siguiente integral es igual a $0$:

Halla el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x) = 6 - x^2$ y $g(x) = 2$.

La velocidad de un auto a control remoto (en $m/s$) viene dada por la función $v(t) = 2t + 1$. Determina la distancia total recorrida por el auto entre los instantes $t = 1$ s y $t = 4$ s calculando la integral definida de la velocidad.

Una empresa de componentes electrónicos ha determinado que el costo marginal de producir $x$ unidades de un sensor es $C'(x) = 21x^2 - 84x + 105$ bolivianos por unidad. Calcula el incremento total del costo al aumentar la producción de $10$ a $20$ sensores.

Para calcular el área del recinto cerrado limitado por la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de abscisas en el intervalo $[-2, 2]$, Marcos ha escrito en su examen lo siguiente:

Concluye por tanto que el área encerrada es cero.

1. a) Explica de forma razonada el error conceptual cometido por Marcos. ¿Por qué la integral definida da cero a pesar de que el recinto tiene una superficie geométrica no nula?
2. b) Corrige su resolución: determina los puntos de corte de la función con el eje de abscisas, plantea correctamente las integrales que permiten calcular el área real y halla su valor exacto aplicando la regla de Barrow.

Se desea calcular el área del recinto acotado delimitado por la parábola $f(x) = 3x - x^2$ y el eje de abscisas ($y = 0$).

1. a) Antes de calcular ninguna integral, realiza una estimación razonada del área acotándola entre dos valores numéricos:

• Obtén una cota superior calculando el área de un rectángulo que circunscriba exactamente a la región (su base es el segmento entre los puntos de corte con el eje $X$ y su altura es la ordenada del vértice de la parábola).

• Obtén una cota inferior calculando el área del triángulo isósceles inscrito que tiene por base dicho segmento sobre el eje $X$ y por vértice superior el vértice de la parábola.

1. b) Calcula ahora el valor exacto del área aplicando la regla de Barrow.
2. c) Comprueba si el resultado exacto obtenido queda dentro del intervalo acotado en el apartado a) y justifica si tu estimación ha sido razonable.

Calcula el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 5x$ y $g(x) = x + 2$. Representa gráficamente el recinto antes de realizar el cálculo.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Sea la función $F(x)$ definida mediante la siguiente integral:

$F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F(x)$ en el punto de abscisa $x = \sqrt{3}$.

Un estudio de diseño está proyectando el logotipo para una nueva empresa de tecnología. La base del logo está delimitada por la función $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de abscisas $OX$. Calcula el área total de las dos regiones cerradas que forma la curva con el eje.

Determina el valor del parámetro positivo $k > 0$ para que el área del recinto limitado por la parábola $y = kx^2$ y la recta $y = 4$ sea exactamente de $16$ unidades cuadradas.

Halla el área del recinto limitado por la curva $f(x) = x^2 - 4x + 5$, la recta tangente a dicha curva en el punto $(3, f(3))$ y el eje de ordenadas $OY$.

Calcula el área de la región del primer cuadrante encerrada por las gráficas de $f(x) = \frac{8}{x}$, la recta $y = x$ y la recta $y = 4$.

Un vehículo autónomo se desplaza en línea recta y su velocidad (en m/s) viene dada por la función $v(t) = t^2 - 6t + 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula la distancia total recorrida por el vehículo entre el instante $t = 0$ y $t = 5$. Nota: Ten en cuenta que la distancia es la integral del valor absoluto de la velocidad.

Considera el recinto limitado por las curvas $y = e^x$, $y = e^{-x}$ y la recta vertical $x = \ln(2)$.

1. a) Dibuja un esquema del recinto.

1. b) Calcula el área de dicho recinto.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Durante un temporal de lluvia registrado por la AEMET en una cuenca del sureste peninsular, el caudal de agua que entra a un embalse durante las primeras $8$ horas del episodio ($0 \le t \le 8$) se modeliza mediante la función:

donde $t$ se mide en horas y $c(t)$ en miles de metros cúbicos por hora ($10^3\text{ m}^3/\text{h}$). Simultáneamente, la presa mantiene un caudal constante de desagüe de $22$ miles de metros cúbicos por hora para evitar desbordamientos.

1. a) Escribe la función $r(t) = c(t) - 22$, que representa el ritmo neto de variación del volumen del embalse, y determina de forma razonada en qué instante $t \in [0, 8]$ el volumen de agua almacenada alcanza su máximo relativo durante el temporal. Justifica tu respuesta utilizando la derivada de la función de volumen acumulado.
2. b) Sabiendo que al inicio del temporal ($t = 0$) el embalse contaba con una reserva de $500$ miles de metros cúbicos de agua, calcula mediante una integral definida el volumen total exacto almacenado en el instante de máxima acumulación hallado en el apartado anterior.

Considera la parábola $f(x) = 4x - x^2$ y el haz de rectas que pasan por el origen de coordenadas, de ecuación $y = mx$, donde $m$ es un parámetro real tal que $0 < m < 4$.

1. a) Determina, en función de $m$, los puntos de corte entre la recta y la parábola, y razona cuál de las dos gráficas queda por encima en el intervalo abierto comprendido entre dichos puntos.
2. b) Expresa mediante una integral definida el área de la región encerrada entre ambas curvas y demuestra, aplicando la regla de Barrow, que dicha área responde a la expresión:

1. c) Plantea y resuelve el problema inverso: determina razonadamente qué valor exacto debe tomar la pendiente $m$ para que el área de la región encerrada sea exactamente igual a $4,5\text{ u}^2$.

Sea la función $f(x)$ definida por la siguiente expresión que involucra una integral:

$F(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{t-1}{2+e^t} dt$

Se pide determinar razonadamente:

1. a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $F(x)$ en todo su dominio.
2. b) La abscisa de los puntos donde $F(x)$ alcanza sus extremos relativos, clasificándolos en máximos o mínimos.
3. c) ¿Presenta la función $F(x)$ algún punto de inflexión en el intervalo $(0, +\infty)$? Justifica la respuesta utilizando la segunda derivada.

Un equipo de ingenieros está diseñando el arco de entrada a un túnel tecnológico. La forma del arco superior viene dada por la función $f(x) = 4 - x^2$ para $x \in [-2, 2]$. Para reforzar la estructura, se debe trazar una línea recta $y = k$ (donde $0 < k < 4$) de tal manera que el área de la sección superior (por encima de la línea de refuerzo) sea exactamente el doble del área de la sección inferior (entre la línea de refuerzo y el suelo, situado en el eje $OX$).

Calcula el valor exacto de la constante $k$ que cumple dicha condición.

Considera la región del plano $R$ limitada por la curva $y = \ln(x)$, la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa $x = e$, y el eje de abscisas $OX$.

1. a) Halla la ecuación de la recta tangente mencionada.
2. b) Calcula el área del recinto $R$.
3. c) Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar el recinto $R$ alrededor del eje $OX$.

Un dron de vigilancia se desplaza en línea recta. Su velocidad en metros por segundo viene dada por la función con valor absoluto:

$v(t) = |t^2 - 6t + 5|$ para $t \in [0, 6]$ segundos.

1. a) Determina la distancia total recorrida por el dron durante los primeros 6 segundos.
2. b) Calcula el valor del tiempo $T \in (0, 6)$ tal que la distancia recorrida en el intervalo $[0, T]$ sea exactamente la mitad de la distancia total calculada en el apartado anterior.

Se desea fabricar una pieza metálica cuya sección transversal está delimitada por las curvas $y = \sqrt{x}$, $y = x - 2$ y el eje de ordenadas $OY$.

1. a) Representa gráficamente el recinto y determina sus puntos de intersección.

1. b) Calcula el área de dicha sección.

1. c) Si la pieza se obtiene rotando este recinto alrededor del eje de ordenadas $OY$, plantea (sin necesidad de calcular) la integral o suma de integrales que proporcionaría el volumen de la pieza.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Calcula el valor del siguiente límite aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de L'Hôpital:

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt}{1 - \cos(x^2)}$

Indica detalladamente los pasos seguidos y las hipótesis necesarias para la aplicación de cada teorema.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$, considera el recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, su asíntota horizontal y las rectas verticales $x = -1$ y $x = 1$.

1. a) Identifica la ecuación de la asíntota horizontal de la función.
2. b) Calcula el área de dicho recinto.
3. c) Determina el volumen del sólido generado al girar este recinto alrededor de su propia asíntota horizontal.

(Ayuda: Realiza un cambio de variable o traslación para facilitar el cálculo del volumen).

Una empresa de diseño gráfico crea un logotipo con la forma del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ y por las rectas verticales $x = 0$ y $x = \pi$ (es decir, en el intervalo $x \in [0, \pi]$). En la figura se muestran las dos gráficas y el logotipo sombreado.

1. a) Determina los puntos de corte de ambas funciones en dicho intervalo.

1. b) El logotipo se divide en dos regiones mediante el eje de abscisas $OX$. Calcula el área de la región del logotipo que queda por encima del eje $OX$.

1. c) Justifica si el logotipo completo (el recinto entre las dos gráficas en $[0, \pi]$) es simétrico respecto a alguna recta vertical $x = a$ con $a \in [0, \pi]$.

Se desea calcular el área del recinto plano acotado en el primer cuadrante delimitado conjuntamente por la curva $y = x^2$, la recta $y = 2 - x$ y el eje de abscisas ($y = 0$).

1. a) Diseña y describe dos estrategias analíticas distintas para calcular dicha área:

• Método 1 (integración respecto a la variable $x$): determina los puntos de corte e intervalos necesarios, expresando el área mediante la suma de integrales respecto a $x$.

• Método 2 (integración respecto a la variable $y$): despeja la variable $x$ en función de $y$ en cada ecuación y expresa el área total como una única integral definida respecto a la variable $y$.

1. b) Compara ambos métodos y justifica razonadamente cuál resulta más ventajoso en cuanto a economía de cálculo y menor probabilidad de cometer errores algebraicos.
2. c) Aplica el método que consideres óptimo (o combina la integración con la geometría euclídea elemental en el tramo lineal) para obtener el valor numérico exacto del área del recinto.

En un proyecto de ingeniería hidráulica para modernizar una red de riego en la cuenca del Amazonas, se proyecta un canal cuya sección transversal tiene perfil parabólico simétrico respecto al eje vertical, modelizado por la función $y = ax^2$ (con $a > 0$, donde $x$ e $y$ se miden en metros). La cota máxima del agua viene fijada por una línea horizontal a una profundidad $y = h$ (con $h > 0$). El diseño debe satisfacer simultáneamente dos requisitos técnicos:

1. La anchura del espejo superior de agua (distancia entre las dos orillas a la altura $y = h$) debe ser exactamente de $6\text{ m}$.

2. El área de la sección húmeda transversal (la superficie comprendida entre la parábola y la superficie libre $y = h$) debe ser de $12\text{ m}^2$ para asegurar el caudal de diseño.

1. a) A partir del primer requisito técnico, obtén una relación matemática sencilla que exprese la profundidad $h$ en función del parámetro de curvatura $a$.
2. b) Plantea la integral definida que permite calcular el área de la sección húmeda y obtén su valor en función de $a$ y $h$ mediante la regla de Barrow.
3. c) Determina los valores numéricos exactos de la profundidad $h$ y del parámetro $a$ que cumplen ambas especificaciones del proyecto.
4. d) Razonamiento de diseño: Si por un incremento extraordinario del caudal la altura del agua se duplica alcanzando un nivel $H = 2h$, razona analíticamente (apoyándote en las propiedades de la integral y sin necesidad de recalcularla numéricamente desde el inicio) si el área de la sección húmeda se duplicará, será mayor que el doble o será menor que el doble.