Ejercicios: Elipse

Dada la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$, determina las coordenadas de sus vértices, las de sus focos y el valor de su excentricidad.

Escribe la ecuación reducida de una elipse centrada en el origen de coordenadas, sabiendo que uno de sus focos es el punto $F(4, 0)$ y que la longitud de su eje mayor es $10$.

Calcula la excentricidad de la elipse cuya ecuación es $16x^2 + 25y^2 = 400$.

Una elipse tiene su centro en el punto $C(-2, 3)$, su eje mayor es paralelo al eje de abscisas y mide $12$ unidades, y su eje menor mide $8$ unidades. Escribe su ecuación en forma canónica.

Comprueba si los puntos $P(2, -3)$, $Q(5, 0)$ y $R(4, 2)$ son interiores, exteriores o pertenecen a la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Halla la ecuación de una elipse centrada en el origen, cuyos focos están sobre el eje de ordenadas, sabiendo que la distancia focal es de $8$ unidades y la excentricidad es $0,8$.

A partir de la ecuación de la elipse $\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+4)^2}{9} = 1$, indica las coordenadas de su centro y la longitud de sus semiejes.

La excentricidad de una elipse es $\frac{1}{3}$ y su semieje menor mide $4\sqrt{2}$. Calcula la medida de su semieje mayor.

Lucía tiene que determinar los elementos característicos de la elipse de ecuación $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$. En su examen escribe la siguiente resolución:

«Como el primer denominador es $9$, el semieje mayor es $a = \sqrt{9} = 3$. Como el segundo denominador es $25$, el semieje menor es $b = \sqrt{25} = 5$. Al estar $x^2$ en primer lugar, los focos están situados sobre el eje $X$. Aplicando el teorema de Pitágoras, la semidistancia focal es $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$. Por lo tanto, los focos son $F_1(-\sqrt{34}, 0)$ y $F_2(\sqrt{34}, 0)$, y la excentricidad vale $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{34}}{3} \approx 1{,}94$».

1. a) Identifica y explica los tres errores conceptuales que ha cometido Lucía.
2. b) Apoyándote en el triángulo rectángulo que relaciona $a$, $b$ y $c$, justifica por qué es geométricamente imposible que en una elipse la excentricidad sea mayor que $1$.
3. c) Corrige el ejercicio determinando los valores correctos de los semiejes, las coordenadas exactas de los focos y el valor de la excentricidad.

Se desea diseñar dos elipses concéntricas distintas, ambas centradas en el origen de coordenadas y con sus focos situados sobre el eje $X$ en los mismos puntos $F_1(-4, 0)$ y $F_2(4, 0)$, pero con diferente grado de achatamiento:

• La elipse $E_1$ debe tener una excentricidad $e_1 = 0{,}8$.

• La elipse $E_2$ debe tener una excentricidad $e_2 = 0{,}5$.

1. a) Deduce algebraicamente los valores de los semiejes $a$ y $b$ de cada una de las dos elipses y escribe sus correspondientes ecuaciones reducidas.
2. b) Sin necesidad de representarlas con tabla de valores, razona cuál de las dos elipses alcanzará mayor anchura vertical (es decir, mayor longitud de su eje menor). Justifica tu respuesta analizando cómo varía el semieje menor $b = \sqrt{a^2 - c^2}$ al disminuir la excentricidad cuando la distancia entre focos permanece constante.

La órbita de Mercurio alrededor del Sol es una elipse en la que el Sol ocupa uno de sus focos. La distancia mínima de Mercurio al Sol (perihelio) es de $46$ millones de kilómetros, y la distancia máxima (afelio) es de $70$ millones de kilómetros. Calcula la excentricidad de la órbita de Mercurio y la longitud de su semieje menor en millones de kilómetros.

Un puente de piedra sobre un río tiene la forma de un semiarco elíptico. La anchura del río (eje mayor de la elipse) es de $20\text{ m}$ y la altura máxima del arco en el centro del río es de $6\text{ m}$. Calcula a qué altura se encuentra el arco a una distancia de $4\text{ m}$ del centro del río.

Dada la ecuación general $9x^2 + 4y^2 - 36x + 24y + 36 = 0$, demuestra que corresponde a una elipse. Para ello, exprésala en forma canónica y determina las coordenadas de su centro, sus vértices y sus focos.

Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ cuya suma de distancias a los puntos $F_1(-3, 0)$ y $F_2(3, 0)$ es siempre igual a $10$. Simplifica la expresión hasta obtener la ecuación reducida de una elipse.

En la galería de los suspiros, que tiene forma de elipse, dos personas situadas en los focos pueden escucharse perfectamente aunque hablen en un susurro. Si la galería tiene una longitud total de $34\text{ m}$ y una anchura máxima de $16\text{ m}$, ¿a qué distancia del centro de la sala debe situarse cada persona para aprovechar este fenómeno acústico?

Estudia la posición relativa de la recta de ecuación $2x + y - 5 = 0$ y la elipse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$. Si se cortan, halla las coordenadas de los puntos de intersección.

Determina el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta de ecuación $x - 16 = 0$. Identifica la cónica resultante y calcula su centro y la longitud de sus semiejes.

En un mecanismo de relojería, un engranaje tiene forma elíptica. Se sabe que su ecuación de contorno viene dada por $x^2 + 4y^2 = 16$. Se desea colocar un pequeño pasador en un punto de la elipse cuya abscisa sea el doble que su ordenada. Calcula las coordenadas de dicho punto (asumiendo que ambas son positivas) y la distancia exacta de este punto al centro del engranaje.

La pista perimetral de un coliseo cubierto tiene forma elíptica con el eje mayor apoyado sobre el eje $X$. La longitud máxima del recinto (eje mayor) es de $100\text{ m}$ ($a = 50\text{ m}$) y la anchura máxima (eje menor) es de $96\text{ m}$ ($b = 48\text{ m}$).

1. a) Estima: Observa que los semiejes solo difieren en un $4\,\%$ ($48\text{ m}$ frente a $50\text{ m}$). Antes de calcular nada, estima intuitivamente a qué distancia del centro crees que estarán los focos (¿a menos de $5\text{ m}$, o a más de $10\text{ m}$?) y si la excentricidad estará por debajo de $0{,}1$ o notablemente por encima. Justifica brevemente tu intuición.
2. b) Calcula: Halla el valor exacto de la semidistancia focal $c$, las coordenadas de los focos y la excentricidad $e$.
3. c) Comprueba y reflexiona: Compara el resultado exacto obtenido con tu estimación inicial. ¿Están los focos tan cerca del centro como parecía sugerir la escasa diferencia entre semiejes? Explica por qué la relación pitagórica $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ hace que pequeñas variaciones porcentuales entre $a$ y $b$ provoquen desplazamientos focales y valores de excentricidad inesperadamente grandes a la vista humana.

En una carretera autonómica se proyecta un túnel cuya sección transversal tiene forma de semielipse (cortada por su eje mayor sobre el pavimento horizontal). La anchura total utilizable de la calzada en la base es de $10\text{ m}$ y la altura máxima en el punto central de la bóveda es de $4\text{ m}$. La calzada dispone de dos carriles de circulación de $3\text{ m}$ de ancho cada uno (uno por sentido), situados simétricamente respecto al centro, y flanqueados por sendos arcenes de $1\text{ m}$ de anchura en los extremos exteriores.

1. a) Sitúa el origen de coordenadas en el centro de la calzada sobre el suelo y escribe la ecuación matemática que describe el perfil de la bóveda del túnel indicando el rango de validez de las variables.
2. b) Un vehículo de transporte especial de sección rectangular mide $3{,}10\text{ m}$ de altura y circula estrictamente dentro de su carril (de modo que su punto más alejado del centro se encuentra en el borde exterior del carril, a $x = 3\text{ m}$). Determina algebraicamente la altura libre que ofrece la bóveda en esa vertical.
3. c) Dictamina si el vehículo puede transitar por el carril sin rozar la estructura y calcula el margen de seguridad vertical existente en el punto más desfavorable.

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ que pasan por el punto exterior $P(0, 5)$.

Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse $x^2 + 2y^2 = 18$ que son paralelas a la recta de ecuación $x - y + 4 = 0$.

Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $x + 2y + k = 0$ sea tangente a la elipse de ecuación $x^2 + 4y^2 = 20$.

Considera la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 100$. A cada punto $A(x, y)$ de la circunferencia se le asocia un punto $P(x, y')$ que tiene la misma abscisa, pero su ordenada es el $60\%$ de la ordenada de $A$. Demuestra que el lugar geométrico de los puntos $P$ es una elipse y determina su ecuación, su centro y sus focos.

Se quiere diseñar una ventana rectangular que esté inscrita en un hueco elíptico de ecuación $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$. Los lados del rectángulo deben ser paralelos a los ejes de la elipse. Si se desea que el rectángulo tenga un área total de $24\text{ m}^2$, ¿cuáles deben ser sus dimensiones exactas?

Una plaza mayor tiene forma de elipse. Se quiere pavimentar un camino recto que una el foco situado más a la izquierda, $F_1$, con un punto $P$ de la elipse situado en el segundo cuadrante. Se sabe que el eje mayor de la plaza mide $100\text{ m}$ y el eje menor $60\text{ m}$. Si el ángulo que forma el segmento $F_1P$ con el semieje positivo de abscisas es de $60^\circ$, calcula la longitud exacta del camino pavimentado.

Una elipse está centrada en el origen y sus ejes de simetría coinciden con los ejes de coordenadas cartesianas. Si se sabe que la elipse pasa por los puntos $A(2, \sqrt{3})$ y $B(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{15}}{2})$, halla la ecuación de la elipse y calcula la distancia exacta entre sus focos.

Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes interiormente a la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 100$ y que pasan por el punto fijo $A(6, 0)$. Demuestra que dicho lugar geométrico es una elipse, halla su ecuación canónica y determina las coordenadas de sus focos.

Para clasificar la posición relativa de un punto $P(x_0, y_0)$ respecto a una elipse (determinar si es interior, exterior o pertenece a la curva) cuyos focos son $F_1(-3, 0)$ y $F_2(3, 0)$ y con constante de definición $2a = 10$, dos estudiantes proponen procedimientos distintos:

• Método de Sofía (algebraico): Calcular $b$ a partir de la relación fundamental, construir la ecuación reducida $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ y comparar el valor numérico de $\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2}$ con $1$.

• Método de Carlos (métrico): Acudir a la definición como lugar geométrico calculando la suma de distancias euclídeas $d(P, F_1) + d(P, F_2)$ y compararla directamente con $2a = 10$.

1. a) Aplica con detalle ambos métodos al punto $P\left(3, \dfrac{16}{5}\right)$, determina su posición relativa según cada uno y comprueba que ambos caminos conducen a la misma conclusión.
2. b) Analiza las ventajas e inconvenientes de cada método para este caso concreto y argumenta cuál resulta más rápido y limpio cuando se trabaja sin calculadora.
3. c) Supón que los focos estuvieran en los puntos no alineados con los ejes $F_1(1, 2)$ y $F_2(5, 5)$, manteniendo la constante $2a = 10$. Justifica razonadamente cuál de los dos métodos es claramente preferible en este nuevo escenario y explica la gran complicación algebraica que surgiría al intentar aplicar el otro en 1.º de Bachillerato.

Una red de monitorización ambiental marina dispone de dos boyas acústicas de referencia fondeadas en los puntos $F_1(-6, 0)$ y $F_2(6, 0)$ (coordenadas en kilómetros). Un dron submarino de vigilancia recorre de forma continua una trayectoria elíptica fija centrada en el origen con semieje mayor $a = 10\text{ km}$ y focos en dichas boyas.

Para calibrar un sensor de interferencias, el dron debe situarse en un punto $P(x, y)$ de su ruta elíptica tal que la distancia a la boya $F_1$ sea exactamente el triple de la distancia a la boya $F_2$; es decir, $d(P, F_1) = 3\cdot d(P, F_2)$.

1. a) Sin utilizar aún las coordenadas analíticas de $P$, deduce los valores numéricos exactos de las distancias $d(P, F_1)$ y $d(P, F_2)$ apoyándote exclusivamente en la definición de la elipse como lugar geométrico.
2. b) Escribe la ecuación reducida de la trayectoria elíptica y plantea un sistema de ecuaciones para calcular las coordenadas exactas de todos los puntos $P$ del plano que cumplen simultáneamente la ecuación de la elipse y la condición de calibración.
3. c) ¿Sería posible calibrar el sensor en un punto de esta misma trayectoria si la condición requerida fuese $d(P, F_1) = 5\cdot d(P, F_2)$? Justifica tu respuesta mediante dos argumentos geométricos independientes: uno basado en la desigualdad triangular en el triángulo de vértices $P$, $F_1$ y $F_2$, y otro basado en la distancia mínima posible de cualquier punto de la elipse al foco $F_2$.