Ejercicios: Optimización de funciones

Determina dos números reales positivos cuya suma sea exactamente $60$ y tales que su producto sea el mayor posible.

En la figura, el segmento de longitud $60$ se reparte en dos partes, $x$ e $y$. El punto de reparto está dibujado en un lugar cualquiera: no indica la solución.

Un joven ganadero dispone de $120$ metros de valla para cercar un recinto rectangular destinado al pastoreo. Aprovechando que uno de los lados del recinto será una pared de piedra ya existente, solo necesita vallar los otros tres lados. Calcula las dimensiones del recinto para que el área encerrada sea máxima.

Se lanza verticalmente hacia arriba una pequeña sonda meteorológica. La altura $h$ (en metros) que alcanza la sonda en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 40t + 1,5$.

¿En qué instante alcanzará la sonda su altura máxima? ¿Cuál será dicha altura?

Una empresa tecnológica ha determinado que el beneficio mensual $B$ (en miles de bolivianos) por la venta de un nuevo modelo de audífonos inalámbricos depende del número de unidades fabricadas $x$ (en cientos) según la función $B(x) = -14x^2 + 224x - 280$.

Halla el número de unidades que deben fabricarse cada mes para maximizar el beneficio y calcula el valor de dicho beneficio máximo.

Un estudio de diseño gráfico quiere crear una tarjeta de felicitación rectangular que contenga exactamente $32 \text{ cm}^2$ de superficie impresa. Si no se consideran márgenes, ¿cuáles deberían ser las dimensiones de la tarjeta para que el perímetro sea mínimo y así ahorrar en el corte del papel?

El número de "likes" de una publicación de una famosa "influencer" durante las primeras $10$ horas sigue la función $L(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas ($0 \le t \le 10$). Determina en qué momento la publicación alcanza su mayor éxito (máximo número de likes) y cuántos likes obtiene en ese instante.

Se desea construir una caja abierta (sin tapa) a partir de una lámina de cartón cuadrada de $30 \text{ cm}$ de lado. Para ello, se corta un cuadrado de lado $x$ en cada una de las esquinas y se doblan los bordes hacia arriba. Expresa el volumen de la caja en función de $x$ y determina el valor de $x$ para que el volumen de la caja sea máximo.

Divide el número $12$ en dos sumandos positivos tales que la suma de sus cuadrados sea mínima.

Marcos debe resolver el siguiente problema de optimización: «Se desea construir una caja abierta sin tapa a partir de una pieza cuadrada de cartón de $30\text{ cm}$ de lado, recortando cuatro cuadrados iguales de lado $x$ en cada una de las esquinas y doblando las solapas hacia arriba. Halla el valor de $x$ que maximiza el volumen de la caja».\nMarcos escribe en su examen:\n1. Volumen: $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$.\n2. Derivada: $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 0 \implies x^2 - 20x + 75 = 0$, cuyas soluciones son $x = 15$ y $x = 5$.\n3. Conclusión de Marcos: «El volumen máximo se obtiene para $x = 15\text{ cm}$ porque $15 > 5$».\n\na) Identifica y explica los dos errores conceptuales cometidos por Marcos: uno relativo al dominio físico de la variable $x$ y otro relativo al criterio para clasificar máximos y mínimos con la derivada.\nb) Corrige el ejercicio siguiendo los cinco pasos: define el dominio físico admisible, clasifica adecuadamente los puntos críticos mediante el signo de $V''(x)$ o de $V'(x)$, y calcula las dimensiones de la caja y su volumen máximo.

Un agricultor de la comarca de la Vega Baja dispone de un muro de piedra rectilíneo de $30\text{ m}$ de longitud y cuenta con $50\text{ m}$ de malla metálica para cercar un huerto rectangular. Quiere adosar el huerto al muro existente, de modo que el lado que apoya en el muro no requiere malla, pero su longitud $y$ no puede sobrepasar los $30\text{ m}$ del muro disponible. Los otros tres lados se cerrarán con los $50\text{ m}$ de malla.\n\na) Estima: Antes de realizar cualquier cálculo analítico, responde intuitivamente: ¿crees que convendría aprovechar los $30\text{ m}$ enteros de muro para «ahorrar» la mayor cantidad posible de malla, o será preferible dejar parte de muro libre para conseguir una forma más cuadrada? Plantea una estimación razonada del área máxima que esperas obtener.\nb) Calcula: Expresa el área del recinto $A(x)$ en función de la longitud $x$ de los dos lados perpendiculares al muro. Determina el dominio de definición de la función teniendo en cuenta la restricción física del muro ($y = 50 - 2x \le 30$). Calcula el valor de $x$ que anula la primera derivada y clasifícalo.\nc) Comprueba y reflexiona: Halla las dimensiones óptimas definitivas y el área máxima. Compara el resultado con tu estimación inicial y argumenta por qué la intuición de agotar siempre la totalidad del muro disponible resulta engañosa en este caso.

Un refugio de animales ha recibido una donación de $120$ metros de tela metálica para construir dos recintos rectangulares contiguos destinados a perros y gatos. Los recintos deben compartir un lado común, como se muestra en la figura, para aprovechar al máximo el material. Determina las dimensiones de la estructura exterior ($x$ e $y$) para que el área total encerrada sea máxima.

Una plataforma de streaming está analizando su política de precios para un nuevo plan premium. Actualmente, tiene $10.000$ suscriptores que pagan $12$ bolivianos al mes. Un estudio de mercado indica que por cada bolivianos que se rebaje el precio de la suscripción, se sumarán $1.000$ nuevos usuarios. Por el contrario, por cada bolivianos que aumente el precio, se perderán $1.000$ usuarios. Sabiendo que los costos fijos de mantenimiento son de $20.000$ bolivianos al mes y que cada suscriptor genera un gasto de gestión de $2$ bolivianos, ¿qué precio de suscripción mensual maximizará el beneficio neto de la plataforma?

Un estudio de diseño gráfico quiere crear una caja de embalaje promocional a partir de una cartulina cuadrada de $24$ cm de lado. Para ello, se corta un cuadrado de lado $x$ en cada una de las esquinas y se doblan las solapas hacia arriba para formar una caja sin tapa. Halla el valor de $x$ para que la capacidad de la caja sea la mayor posible.

En un videojuego de estrategia, una unidad de exploración se encuentra en el punto $A(0, 5)$ de un mapa coordinado. Existe un camino cuya trayectoria sigue la forma de la parábola $y = x^2$. Los programadores necesitan calcular los puntos exactos del camino que se encuentran a la mínima distancia de la unidad para activar un evento de proximidad. Determina las coordenadas de dichos puntos.

Una empresa química necesita fabricar depósitos cilíndricos cerrados con una capacidad de $16 \pi$ metros cúbicos. El material utilizado para las bases (superior e inferior) tiene un costo de $35$ bolivianos por metro cuadrado, mientras que el material para la superficie lateral es más ligero y cuesta $14$ bolivianos por metro cuadrado. Calcula el radio de la base y la altura del cilindro que minimizan el costo total de fabricación de cada depósito.

Se desea diseñar un panel publicitario con forma de triángulo isósceles inscrito en una semicircunferencia de radio $R = 6$ metros. Uno de sus vértices está en el centro $O$ de la semicircunferencia, y los otros dos vértices están sobre el arco, unidos por una cuerda $b$ (la base) paralela al diámetro. Llama $h$ a la altura del triángulo, es decir, la distancia de $O$ a la base, con $0 < h < 6$.

Determina las dimensiones del triángulo (base y altura) para que el área de la superficie publicitaria sea máxima.

Una página de un libro de arte debe tener un área total de $600$ $cm^2$. Los márgenes superior e inferior deben ser de $3$ cm cada uno, y los márgenes laterales de $2$ cm cada uno. Determina las dimensiones de la página (ancho y alto) para que el área de la zona impresa (donde va el texto y las imágenes) sea máxima.

En una carpintería metálica, se debe cortar una viga de acero con sección transversal rectangular a partir de un tronco cilíndrico de $40$ cm de diámetro. La resistencia mecánica $R$ de dicha viga es proporcional al producto del ancho $x$ por el cuadrado de la altura $y$, es decir, $R = k \cdot x \cdot y^2$ (donde $k$ es una constante de resistencia del material). Halla las dimensiones $x$ e $y$ que debe tener la viga para que su resistencia sea máxima.

Una empresa de logística opera una ruta diaria de ida y vuelta entre Madrid y Zaragoza por la autovía A-2, con un recorrido total de $640\text{ km}$. La velocidad media de crucero $v$ (en $\text{km/h}$) debe ser constante durante el trayecto y, por los límites de tráfico de vehículos comerciales y la fluidez de la vía, debe situarse en el intervalo $[70, 110]$.\nEl consumo de combustible de la furgoneta (en litros de diésel por cada $100\text{ km}$) depende de la velocidad según la función empírica $C(v) = 5,5 + 0,00075\cdot v^2$. El precio del gasóleo en la ruta es de $1,45\text{ \text{Bs}\ {}/L}$. Además, la empresa computa un coste operativo y salarial del conductor de $19\text{ \text{Bs}\ {}}$ por cada hora de viaje.\n\na) Modela la función de coste total del trayecto, $K(v)$, sumando el coste del combustible consumido y el coste horario de la mano de obra en función de la velocidad $v$.\nb) Halla la velocidad media que minimiza el coste total del viaje. Justifica rigurosamente que se trata de un mínimo relativo analizando el signo de la segunda derivada $K''(v)$.\nc) Evalúa y compara el coste total en los extremos del dominio legal ($v = 70\text{ km/h}$ y $v = 110\text{ km/h}$) frente al mínimo encontrado, e indica el coste total óptimo del viaje.

Se desea determinar el punto $P(x, y)$ de la parábola $y = x^2$ que se encuentra a la menor distancia posible del punto exterior $A(0, 2)$. Para resolverlo, se plantean tres posibles métodos:\n- Método 1: Plantear la distancia euclídea $d(x) = \sqrt{(x-0)^2 + (x^2-2)^2}$ y derivar directamente la raíz con la regla de la cadena.\n- Método 2: Minimizar la función auxiliar $f(x) = [d(x)]^2 = x^2 + (x^2-2)^2 = x^4 - 3x^2 + 4$.\n- Método 3: Hallar el punto $P(x, x^2)$ exigiendo que el vector $\vec{AP} = (x, x^2 - 2)$ sea perpendicular al vector director de la recta tangente a la parábola en $P$, es decir, $\vec{AP} \cdot (1, 2x) = 0$.\n\na) Justifica formalmente por qué el Método 2 garantiza exactamente los mismos puntos críticos y extremos que el Método 1, explicando por qué resulta algebraicamente preferible.\nb) Aplica el Método 2 para hallar los candidatos a mínimo, clasifícalos mediante el signo de $f''(x)$ y descarta los que no correspondan a la distancia mínima.\nc) Resuelve mediante el Método 3 y comprueba que la ecuación obtenida es idéntica a la del Método 2. ¿Cuál de los tres métodos elegirías en un examen de acceso a la universidad por rapidez y menor riesgo de error de cálculo? Da las coordenadas de los puntos más cercanos y la distancia mínima.

Se desea diseñar una cápsula para un nuevo fármaco que tiene forma de cilindro circular recto prolongado en sus extremos por dos hemisferios del mismo radio que el cilindro. Por razones de estabilidad química, el volumen total de la cápsula debe ser exactamente de $36\pi \text{ mm}^3$. El material utilizado para los extremos hemisféricos es un 50% más caro por unidad de superficie que el material utilizado para la parte cilíndrica. Determina las dimensiones de la cápsula (radio $r$ y longitud de la parte cilíndrica $h$) que minimizan el costo total de fabricación.

Un dron de vigilancia debe desplazarse desde una base situada en el punto $A(0, 4)$ hasta un objetivo en el punto $B(10, 0)$, donde las coordenadas están expresadas en kilómetros. El terreno está dividido en dos zonas por la recta $y = 2$. En la zona superior ($y > 2$), debido a las condiciones de viento, el dron puede volar a una velocidad de $60 \text{ km/h}$. En la zona inferior ($y \leq 2$), el dron puede alcanzar los $100 \text{ km/h}$. Plantea la función que modeliza el tiempo total del trayecto y la ecuación que determina el punto sobre la línea divisoria por el que debe cruzar el dron para que dicho tiempo sea mínimo (no es necesario resolverla).

Una empresa logística está construyendo un almacén con una superficie de $400 \text{ m}^2$. El almacén debe tener forma rectangular y estar dividido en dos sectores por un muro interno paralelo a uno de sus lados laterales. El costo de los muros exteriores es de $\text{Bs}\ 840$ por metro lineal, mientras que el muro interno, al ser menos resistente, cuesta $\text{Bs}\ 560$ por metro lineal. Halla las dimensiones del almacén que hacen que el costo de los muros sea lo más bajo posible.

Se desea instalar un panel solar rectangular en una pared que tiene forma de triángulo isósceles, con una base de $6 \text{ m}$ y una altura de $4 \text{ m}$. El panel debe colocarse de forma que su base esté sobre la base del triángulo y sus dos vértices superiores toquen los lados iguales del triángulo. Sin embargo, debido a la estructura de la pared, el panel tiene una eficiencia que varía con su altura, de modo que la energía total generada viene dada por la función $E = A \cdot (5 - h)$, donde $A$ es el área del panel y $h$ su altura. Halla las dimensiones del panel que maximizan la energía generada.

Considera la función $f(x) = \frac{1}{x^2}$ para $x > 0$. Se traza una recta tangente a la gráfica de esta función en un punto genérico $P(a, f(a))$. Dicha recta tangente forma, junto con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante, un triángulo rectángulo. Determina si existe algún valor de $a$ para el cual el área de dicho triángulo es mínima y, en caso afirmativo, calcula el valor de dicha área.

Un fabricante de latas de conserva quiere crear un nuevo envase cilíndrico con un volumen de $500 \text{ cm}^3$. El material de la tapa y de la base cuesta $0,14 \text{ \text{Bs}\ /cm}^2$, mientras que el material del lateral cuesta $0,07 \text{ \text{Bs}\ /cm}^2$. Además, para reforzar la estructura, se debe colocar una tira metálica alrededor de la unión de la tapa con el lateral y otra alrededor de la base, con un costo de $0,35 \text{ \text{Bs}\ /cm}$ de tira. Calcula el radio y la altura de la lata que minimizan el costo total de producción.

Dos puntos $A$ y $B$ están situados en el mismo lado de una recta $r$. El punto $A$ está a una distancia de $3 \text{ km}$ de la recta y el punto $B$ a $6 \text{ km}$. La distancia entre las proyecciones de $A$ y $B$ sobre la recta $r$ es de $12 \text{ km}$. Se desea encontrar un punto $C$ en la recta $r$ tal que la suma de los cuadrados de las distancias desde $C$ hasta $A$ y desde $C$ hasta $B$ sea mínima. Demuestra que dicho punto coincide con el punto medio de la proyección de $AB$ sobre la recta.

Disponemos de un trozo de cable de $20 \text{ metros}$ de longitud. Queremos cortarlo en dos trozos (no necesariamente iguales) para formar con uno de ellos un cuadrado y con el otro un triángulo equilátero. ¿Cómo debemos realizar el corte para que la suma de las áreas de ambas figuras sea máxima? ¿Y para que sea mínima? Justifica la respuesta analizando los extremos del intervalo de definición de la variable.

Una cooperativa agraria encarga el diseño de un silo vertical para grano compuesto por un cilindro circular recto de radio $r$ y altura $h$, cerrado en su base inferior por un fondo plano circular de radio $r$, y rematado en su parte superior por una cúpula semiesférica de radio $r$. Por requerimientos de resistencia, los costos de fabricación por metro cuadrado son:\n- Fondo plano inferior: $20\text{ \text{Bs}\ {/m}}^2$.\n- Pared cilíndrica lateral: $30\text{ \text{Bs}\ {/m}}^2$.\n- Cúpula semiesférica: $k\text{ \text{Bs}\ {/m}}^2$ (donde $k$ es un costo unitario positivo fijado por el taller de curvado).\n\nEl equipo de ingenieros establece como criterio de diseño que, sea cual sea el volumen de grano fijado $V_0 > 0$ que deba albergar el silo, las dimensiones óptimas $(r, h)$ que hagan mínimo el costo total deben cumplir obligatoriamente la relación estética y estructural $h = 2r$.\n\na) Escribe la función de costo total $C(r)$ en función únicamente del radio $r$ y de las constantes $k$ y $V_0$, utilizando la restricción del volumen total del silo ($V_0 = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$).\nb) Deriva la función $C(r)$ respecto de $r$ e impón la condición de punto crítico $C'(r) = 0$.\nc) Determina qué valor exacto debe tener el precio por metro cuadrado $k$ de la semiesfera para que la condición óptima coincida con $h = 2r$. Demuestra analíticamente que este valor de $k$ no depende del volumen $V_0$ elegido.\nd) Comprueba mediante el signo de $C''(r)$ que la solución hallada corresponde efectivamente a un mínimo absoluto del costo.

La empresa estatal de transmisión eléctrica proyecta el tendido de evacuación de energía desde una subestación marina $S$ perteneciente a un parque eólico en las costas gallegas. La subestación $S$ se ubica en el mar, a $6\text{ km}$ de distancia perpendicular a la costa recta en el punto $A$. La subestación receptora terrestre $B$ está situada en la misma línea de costa, a $15\text{ km}$ de distancia de $A$.\nEl tendido eléctrico irá por el fondo marino desde $S$ hasta un punto de desembarco $P$ situado en la costa entre $A$ y $B$ (a una distancia $x$ de $A$, con $0 \le x \le 15$), y continuará bajo tierra desde $P$ hasta $B$ a lo largo de la costa. El costo de instalación del cable submarino es de $1,5\text{ millones de euros/km}$ y el del cable terrestre es de $0,9\text{ millones de euros/km}$.\n\na) Plantea la función de costo total $C(x)$ en millones de bolivianos y define su dominio físico $[0, 15]$.\nb) Calcula la posición de $P$ (valor de $x$) que minimiza el costo total y justifica que se trata del mínimo absoluto comparando el valor obtenido con los extremos del intervalo cerrado.\nc) Si $\theta$ representa el ángulo que forma el trazado submarino $SP$ con la perpendicular a la costa, demuestra que en el punto óptimo se satisface exactamente la Ley de Snell: $\frac{\sin \theta}{c_{\text{tierra}}} = \frac{1}{c_{\text{mar}}}$, siendo $c_{\text{mar}} = 1,5$ y $c_{\text{tierra}} = 0,9$.\nd) Problema de transferencia y umbral: Supón que el costo submarino se reduce a un valor genérico $c$ (manteniendo el terrestre en $0,9\text{ millones/km}$). Determina a partir de qué valor crítico de $c$ dejará de existir un punto de desembarco intermedio $P \in (0, 15)$ y será más económico tender el cable directamente en línea recta por el mar desde $S$ hasta $B$. Justifica tu razonamiento estudiando el signo de $C'(x)$ en el extremo superior del dominio.

Reto del tema. ¿Cómo gestiona nuestro país su red eléctrica? Vas a asesorar a una cooperativa energética analizando la demanda eléctrica peninsular real.

1. Obtención y modelización: Entra en ESIOS (Red Eléctrica de España) y descarga los datos de demanda horaria ($24\text{ h}$) de un día reciente. En GeoGebra o en una hoja de cálculo, representa la nube de puntos y realiza un ajuste polinómico para obtener $D(t)$ (con $0 \le t \le 24$).

2. Curvatura y optimización: Utiliza la primera derivada para calcular y clasificar los picos y valles de consumo diario ($D'(t) = 0$). Halla la segunda derivada $D''(t)$, estudia los intervalos de concavidad/convexidad y determina los puntos de inflexión, explicando qué representan respecto al ritmo de aceleración del consumo.

3. Integral y propuesta: Calcula la energía total consumida en el día mediante la integral definida $E = \int_{0}^{24} D(t)\,dt$. Redacta un informe breve (una página) que incluya la gráfica obtenida y una propuesta justificada de discriminación horaria (horas valle y punta) para incentivar el ahorro.

Se valorará:

• Rigor en el ajuste analítico de los datos reales con GeoGebra o la hoja de cálculo.

• Corrección y justificación matemática de los extremos, curvatura, puntos de inflexión e integración.

• Interpretación contextualizada del significado físico de las derivadas y viabilidad de la propuesta final.