Ejercicios: Razones del ángulo resta de dos ángulos

Calcula el valor exacto de $\cos(15^\circ)$ sin utilizar la calculadora, aplicando la fórmula del coseno de la resta de dos ángulos y sabiendo que $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.

Halla el valor exacto de $\sin(15^\circ)$ expresando el ángulo como la diferencia $60^\circ - 45^\circ$ y aplicando la identidad correspondiente.

Determina el valor exacto de $\tan(15^\circ)$ a partir de las tangentes de los ángulos notables $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionaliza el resultado si es necesario.

Simplifica la expresión $\sin(90^\circ - x)$ aplicando la fórmula del seno de la resta de dos ángulos y comprueba que equivale a una de las razones trigonométricas básicas del ángulo $x$.

Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin(\alpha - \beta)$.

Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$. A continuación, utiliza el resultado simplificado para evaluar la expresión de forma exacta cuando $x = 75^\circ$ e $y = 15^\circ$.

Demuestra paso a paso que $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ utilizando la fórmula del coseno para la resta de ángulos.

Calcula el valor exacto de $\tan(105^\circ)$ utilizando la fórmula de la resta de ángulos, considerando que $105^\circ = 135^\circ - 30^\circ$.

Marcos está resolviendo un ejercicio en el que debe calcular el valor exacto de $\cos(15^\circ)$ aplicando la fórmula del coseno de la diferencia con $15^\circ = 60^\circ - 45^\circ$. En su examen escribe el siguiente desarrollo:

Al revisar su resultado con la calculadora, observa con sorpresa que le da un número negativo (aproximadamente $-0,26$), lo cual sabe que es imposible porque $15^\circ$ pertenece al primer cuadrante y su coseno debe ser positivo.

1. a) Identifica con precisión el error cometido por Marcos y explica, basándote en la paridad de las funciones trigonométricas ($\cos(-x) = \cos x$ y $\sin(-x) = -\sin x$), por qué en la fórmula del coseno de la resta aparece un signo positivo central.
2. b) Corrige el cálculo y halla el valor exacto y simplificado de $\cos(15^\circ)$.

Te propones calcular el valor exacto de $\sin(15^\circ)$ mediante razones trigonométricas de ángulos notables.

1. a) Antes de realizar cualquier cálculo analítico, estima razonadamente entre qué dos cotas decimales sencillas debe encontrarse $\sin(15^\circ)$: sabiendo que $\sin(0^\circ) = 0$ y $\sin(30^\circ) = 0,5$, y teniendo en cuenta que la gráfica de la función seno en el intervalo $[0^\circ, 30^\circ]$ es cóncava hacia abajo (queda por encima de la cuerda que une el origen con el punto $(30^\circ; 0,5)$), razona si $\sin(15^\circ)$ debe ser estrictamente mayor, menor o igual que $0,25$.
2. b) Descompón $15^\circ$ como $45^\circ - 30^\circ$ y aplica la fórmula de $\sin(\alpha - \beta)$ para obtener la expresión algebraica exacta y simplificada de $\sin(15^\circ)$.
3. c) Tomando las aproximaciones $\sqrt{2} \approx 1,414$ y $\sqrt{6} \approx 2,449$, calcula el valor decimal obtenido con tres cifras decimales y comprueba si tu estimación del apartado a) era correcta.

En una simulación de navegación marítima, un barco debe ajustar su rumbo actual. El ángulo de corrección necesario viene dado por la expresión $\alpha - \beta$. Sabiendo que $\alpha$ y $\beta$ son ángulos agudos, con $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = \frac{1}{2}$, calcula el valor exacto de $\tan(\alpha - \beta)$ y deduce la amplitud del ángulo de corrección.

Simplifica la siguiente expresión algebraica trigonométrica y exprésala en función exclusivamente de las tangentes de los ángulos $a$ y $b$:

$\frac{\sin(a - b)}{\cos a \cos b}$

Un rayo de luz atraviesa dos medios distintos con ángulos de refracción $\alpha$ y $\beta$. Si por las propiedades de los materiales sabemos que $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ (siendo $\alpha$ un ángulo del cuarto cuadrante) y $\sin \beta = \frac{5}{13}$ (siendo $\beta$ un ángulo del segundo cuadrante), determina el valor exacto de $\cos(\alpha - \beta)$.

Evalúa de forma exacta, sin hacer uso de la calculadora, la siguiente expresión trigonométrica identificando a qué desarrollo corresponde:

$\sin(75^\circ) \cos(15^\circ) - \cos(75^\circ) \sin(15^\circ)$

Dos fuerzas coplanarias se aplican sobre un objeto formando ángulos $\alpha$ y $\beta$ con la horizontal, respectivamente. Si $\sin \alpha = \frac{8}{17}$ y $\cos \beta = \frac{4}{5}$ (estando ambos ángulos en el primer cuadrante), calcula el seno del ángulo que forman entre sí ambas fuerzas, es decir, $\sin(\beta - \alpha)$.

Demuestra analíticamente que $\tan(45^\circ - x) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$. Utiliza este resultado para encontrar el valor exacto de $\tan(15^\circ)$ sabiendo que $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Sabiendo que dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ son complementarios ($\alpha + \beta = 90^\circ$), demuestra paso a paso que se cumple la identidad $\sin(\alpha - \beta) = \cos(2\beta)$.

En un estudio de mercado, los ciclos de ventas estacionales de dos productos se modelan mediante funciones trigonométricas. La diferencia de fase que determina la competencia directa está dada por el valor de $\cos(x - y)$. Si $\sin x = \frac{1}{3}$ y $\cos y = \frac{2}{5}$, con $x$ situado en el primer cuadrante e $y$ en el cuarto cuadrante, halla el valor exacto de $\cos(x - y)$.

Se conocen los siguientes datos de dos ángulos: $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ con $\alpha \in (90^\circ, 180^\circ)$, y $\cos \beta = -\frac{5}{13}$ con $\beta \in (180^\circ, 270^\circ)$. Se pide calcular el valor exacto de $\sin(\alpha - \beta)$. Para resolverlo, dos compañeros proponen estrategias distintas:

• Método 1 (Directo): Calcular $\cos \alpha$ y $\sin \beta$ usando la identidad fundamental $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ eligiendo el signo adecuado según el cuadrante de cada ángulo, y después aplicar la fórmula de $\sin(\alpha - \beta)$.

• Método 2 (Indirecto): Calcular $\tan \alpha$ y $\tan \beta$, aplicar la fórmula de la resta de tangentes para hallar $\tan(\alpha - \beta)$, y a partir de ese valor deducir $\sin(\alpha - \beta)$ mediante la relación $1 + \tan^2(\alpha - \beta) = \frac{1}{\cos^2(\alpha - \beta)}$.

1. a) Desarrolla por completo el Método 1 y obtén el valor exacto y simplificado de $\sin(\alpha - \beta)$.
2. b) Analiza críticamente el Método 2: explica qué ambigüedad fundamental aparece al intentar determinar el signo de $\sin(\alpha - \beta)$ únicamente a partir de su tangente y justifica por qué el Método 1 es más directo y seguro.

En el Parque Nacional de Picos de Europa (Asturias), un equipo del Grupo de Rescate Especial de Intervención en Montaña (GREIM) planifica la evacuación de un senderista en una pared vertical. Desde el punto de observación en el valle, la visual hacia la cima de la pared forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal tal que $\tan \alpha = \frac{5}{2}$, mientras que la visual hacia la base de la pared forma un ángulo $\beta$ con la horizontal con $\tan \beta = \frac{3}{7}$ (ambos ángulos en el primer cuadrante). El ángulo total que abarca la pared desde el puesto de observación es $\theta = \alpha - \beta$.

1. a) Modela la situación aplicando la fórmula de la tangente de la resta para determinar el valor exacto e irreducible de $\tan \theta = \tan(\alpha - \beta)$.
2. b) A partir del resultado obtenido, deduce sin calculadora la medida exacta del ángulo visual $\theta$ en grados sexagesimales.
3. c) El protocolo aeronáutico de rescate establece que si el ángulo visual $\theta$ supera los $40^\circ$, las turbulencias térmicas de la pared impiden una aproximación frontal y el helicóptero debe entrar por el flanco lateral. Justifica de manera razonada qué maniobra debe ordenar el piloto basándote en tu cálculo.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones posibles para el intervalo $0^\circ \leq x < 360^\circ$:

$\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica combinando adecuadamente las fórmulas de la suma y la resta de ángulos para el seno y el coseno:

$\frac{\cos(a - b) - \cos(a + b)}{\sin(a + b) + \sin(a - b)} = \tan b$

Un topógrafo observa un acantilado de altura $H$ y, situado justo en el borde sobre él, un faro de altura $h$. Desde su posición a una distancia horizontal $d$, el ángulo de elevación hasta la base del faro es $\beta$ y hasta la cúpula del faro es $\alpha$. Expresa la tangente del ángulo bajo el cual se ve exclusivamente el faro, es decir $\tan(\alpha - \beta)$, en función únicamente de las distancias $H$, $h$ y $d$.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas sabiendo que tanto $x$ como $y$ son ángulos pertenecientes al primer cuadrante:

$\sin x \cos y = \frac{3}{4}$

$\cos x \sin y = \frac{1}{4}$

Sugerencia: Calcula en primer lugar el valor de $\sin(x - y)$ y $\sin(x + y)$ sumando y restando ambas ecuaciones.

En el diseño de un brazo robótico, el ángulo de rotación de la articulación final depende de la resta de dos ángulos de control internos $\alpha$ y $\beta$. Si la tangente del ángulo resultante es $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$ y por restricciones mecánicas sabemos que $\tan \alpha = 3 \tan \beta$, determina los posibles valores exactos de $\tan \beta$.

Demuestra analíticamente que $\sin(\alpha - \beta) \cdot \sin(\alpha + \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$. A continuación, utiliza este resultado algebraico para calcular mentalmente el valor exacto de la expresión $\sin(75^\circ) \cdot \sin(15^\circ)$.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones posibles en el intervalo $[0, 2\pi)$ radianes:

$\cos(x - 45^\circ) + \cos(x + 45^\circ) = 1$

En un circuito de corriente alterna, la diferencia de potencial entre dos nodos viene dada por la superposición de dos señales desfasadas: $V(t) = 10 \sin(\omega t) - 10 \sin(\omega t - \frac{\pi}{3})$. Utiliza las fórmulas trigonométricas de la resta de ángulos para expresar la diferencia de potencial $V(t)$ en la forma simplificada $A \sin(\omega t + \phi)$, determinando los valores de $A$ y $\phi$.

En el diseño de un sensor óptico en un laboratorio de física de la Universidad Mayor de San Andrés (UMSA), se requiere que dos haces luminosos desfasados en ángulos agudos $\alpha$ y $\beta$ (con $\alpha, \beta \in (0^\circ, 90^\circ)$) cumplan la siguiente condición de sintonización:

1. a) Desarrolla ambos miembros aplicando respectivamente las fórmulas del coseno de la resta y del seno de la suma de dos ángulos.
2. b) Agrupa todos los términos en el primer miembro y factoriza la expresión resultante mediante agrupación de términos para demostrar que la igualdad anterior exige necesariamente que $\tan \alpha = 1$ o que $\tan \beta = 1$. ¿Qué amplitudes angulares exactas en grados implica esto para $\alpha$ o $\beta$?
3. c) Justifica por qué este resultado era previsible recurriendo exclusivamente a la propiedad de las razones trigonométricas de ángulos complementarios ($\cos x = \sin(90^\circ - x)$) sin necesidad de recurrir al desarrollo algebraico del apartado a), y proporciona un par concreto de ángulos agudos distintos $(\alpha, \beta)$ que cumplan la igualdad.

En una sala de exposiciones del Museo Nacional de Arte (La Paz), un lienzo de $3\text{ m}$ de altura está colgado verticalmente en una pared. El borde inferior del cuadro se encuentra situado a $2\text{ m}$ por encima de la altura de los ojos de los visitantes. Un observador se sitúa de pie a una distancia horizontal de $x$ metros de la pared ($x > 0$). Se define $\alpha$ como el ángulo de elevación desde los ojos del visitante hasta el borde superior del cuadro, y $\beta$ como el ángulo de elevación hasta el borde inferior, de modo que el ángulo visual total bajo el cual se contempla el lienzo es $\theta(x) = \alpha - \beta$.

1. a) Expresa $\tan \alpha$ y $\tan \beta$ en función de la distancia horizontal $x$.
2. b) Demuestra, aplicando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, que la tangente del ángulo de visión viene dada por:

1. c) Para maximizar la visualización de los detalles de la obra pictórica se busca la distancia $x$ que hace máximo el ángulo $\theta(x)$ (y, en consecuencia, $\tan \theta(x)$). Sabiendo que $\frac{3x}{x^2+10} = \frac{3}{x + \frac{10}{x}}$ y que la expresión $x + \frac{10}{x}$ para $x > 0$ alcanza su mínimo cuando ambos sumandos son iguales ($x = \frac{10}{x}$), calcula la distancia exacta en metros a la que debe situarse el visitante para obtener la mejor perspectiva y halla el valor exacto de $\tan \theta$ en dicha posición óptima.