Ejercicios: Límite de una sucesión

Determina si la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 5}{n}$ es convergente, divergente o oscilante. Si es convergente, indica cuál es su límite.

Calcula el límite de la siguiente sucesión polinómica cuando $n$ tiende a infinito:

$b_n = -2n^3 + 7n^2 - 4n + 12$

Halla el límite de la sucesión racional dada por la expresión:

$c_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{8n^3 + 2n^2 - n}$

Calcula el límite de la siguiente sucesión, identificando previamente los grados del numerador y del denominador:

$d_n = \frac{6n^2 - 3n + 5}{2n^2 + 4n - 1}$

Determina el valor hacia el que tiende la sucesión $e_n$ para valores muy grandes de $n$:

$e_n = \frac{n^4 + 2n^2 - 7}{5n^2 - 3n + 1}$

Estudia el comportamiento y calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial:

$f_n = 12 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$

Aplicando la definición del número $e$, calcula el límite de la siguiente sucesión:

$g_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{7n}$

Calcula el límite de la sucesión que involucra una raíz cuadrada simple en el numerador:

$h_n = \frac{\sqrt{16n^2 + 3n}}{2n + 5}$

Lucas está resolviendo el límite de la sucesión $a_n = \dfrac{3n + (-1)^n \cdot 4}{2n - 1}$ y escribe en su examen: «Como el término $(-1)^n$ va alternando indefinidamente entre $-1$ y $1$, la sucesión da saltos todo el tiempo y, por tanto, es una sucesión oscilante que no tiene límite». Identifica el error conceptual de Lucas, explica por qué su afirmación es falsa y calcula de forma correcta $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$, clasificando la sucesión en convergente, divergente u oscilante.

Considera la sucesión de término general $a_n = \dfrac{4n^2 - 5}{2n^2 + 3n}$. Antes de operar formalmente, calcula con dos cifras decimales el valor de los términos para $n = 10$, $n = 100$ y $n = 1000$, y realiza a partir de ellos una estimación razonada del valor al que crees que se aproxima la sucesión. A continuación, calcula el límite de forma analítica mediante la comparación de grados de polinomios y comprueba si tu estimación inicial era correcta, indicando si la sucesión es convergente o divergente.

La temperatura en grados Celsius de una pieza de metal que se enfría en una habitación sigue la sucesión $T_n = 22 + 85 \cdot (0,82)^n$, donde $n$ es el tiempo transcurrido en minutos. Calcula el límite de la sucesión $T_n$ cuando $n \to \infty$ e interpreta el resultado en el contexto del problema.

Resuelve la indeterminación que se presenta al calcular el límite de la siguiente diferencia de sucesiones racionales:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n}{n + 2} - n \right)$

Calcula el límite de la siguiente sucesión irracional, multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada para resolver la indeterminación:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 6n} - n \right)$

La población de peces de una piscifactoría sostenible crece de acuerdo con el modelo matemático $P_n = \frac{150000n}{3n + 250}$, donde $n$ representa el número de días desde la introducción de los alevines. Determina la capacidad de carga del entorno, es decir, el límite de la población de peces a largo plazo.

Calcula el límite de la sucesión, transformando la expresión para aplicar el límite del número $e$:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n + 7}{n + 2} \right)^{4n}$

Se depositan $35\,000$ bolivianos en un fondo de inversión que ofrece un interés anual del $3,5\%$. Si la entidad capitaliza los intereses $n$ veces al año, el capital acumulado después de $10$ años está dado por la sucesión $C_n = 35\,000 \cdot \left(1 + \frac{0,035}{n}\right)^{10n}$. Calcula el capital límite que se obtendría si la capitalización fuera continua ($n \to \infty$).

Halla el límite de la siguiente sucesión, desarrollando previamente los productos notables del numerador para identificar los términos de mayor grado:

$\lim_{n \to \infty} \frac{(3n+2)^2 - (3n-2)^2}{n+5}$

A partir de un cuadrado de área $A_1 = 400 \text{ cm}^2$, se construye una sucesión de cuadrados uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado anterior, tal y como muestra la figura. Sabiendo que el área de cada nuevo cuadrado es la mitad del área del cuadrado anterior, calcula el límite de la suma de las áreas de los infinitos cuadrados así construidos: $S_\infty = \lim_{n \to \infty} (A_1 + A_2 + \dots + A_n)$.

El Instituto Nacional de Estadística (INE) proyecta la evolución de la población de un pequeño municipio rural del departamento de Potosí. Según este modelo, la población $P_n$ (expresada en cientos de habitantes) al cabo de $n$ décadas transcurridas desde el año 2020 viene dada por la sucesión $P_n = \dfrac{18n + 45}{3n + 5}$. Calcula la población inicial estimada en 2020 ($n = 0$), la prevista para 2040 ($n = 2$) y el límite $\displaystyle\lim_{n \to \infty} P_n$. A partir de este último valor, interpreta en el contexto del problema si el modelo predice la desaparición del pueblo por despoblación o su estabilización a largo plazo, indicando a qué número exacto de habitantes tendería.

Diseña el término general de una sucesión racional $a_n = \dfrac{P(n)}{Q(n)}$ (siendo $P(n)$ y $Q(n)$ polinomios de grado 1 con coeficientes enteros) que cumpla simultáneamente tres condiciones: su primer término debe ser $a_1 = 2$, debe ser estrictamente creciente para todo $n \geq 1$ y su límite cuando $n \to \infty$ debe ser exactamente $5$. Una vez hallada tu fórmula para $a_n$, calcula a partir de qué número natural $N$ se verifica que la distancia entre los términos de la sucesión y su límite es menor que $\varepsilon = 0,02$ (es decir, $|a_n - 5| < 0,02$ para todo $n > N$).

Encuentra los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ (con $b > 0$) para que se cumpla la siguiente igualdad:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{9n^2 + an + 2} - bn \right) = 4$

Dada la sucesión $a_n = \frac{4n - 3}{n + 1}$, sabemos que su límite es $L = 4$. Utilizando la definición formal de límite, averigua a partir de qué término $n$ se cumple que la distancia entre los términos de la sucesión y su límite es estrictamente menor que una milésima, es decir, $|a_n - 4| < 0,001$.

Resuelve el siguiente límite que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$, prestando especial atención a las operaciones algebraicas en el exponente:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 - n + 3}{n^2 + n + 1} \right)^{n^2 - 1}$

La figura muestra las tres primeras iteraciones en la construcción de la curva de Koch. Si partimos de un segmento inicial de longitud $L_0 = 1$ metro (panel A), en cada paso $n$ la longitud total de la curva se multiplica por $\frac{4}{3}$ respecto al paso anterior. Escribe la expresión de la longitud $L_n$ en el paso $n$ y calcula $\lim_{n \to \infty} L_n$. ¿Qué conclusión geométrica se extrae de este resultado?

Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta una doble raíz cuadrada y requiere aplicar la técnica del conjugado de forma cuidadosa:

$\lim_{n \to \infty} n \cdot \left( \sqrt{n^2 + 4} - n \right)$

Un paciente recibe una dosis diaria de un medicamento. Tras la absorción y eliminación a lo largo del día, la concentración del fármaco en sangre justo antes de la siguiente dosis sigue la relación de recurrencia $C_n = 15 + C_{n-1} \cdot 0,4$, donde $15 \text{ mg/L}$ es el aporte de la nueva dosis y el factor $0,4$ indica que queda un $40\%$ del fármaco del día anterior. Si la concentración inicial es $C_1 = 15$, calcula la concentración de equilibrio en la sangre a largo plazo, es decir, $\lim_{n \to \infty} C_n$.

Se define una sucesión mediante la siguiente ley de recurrencia: el primer término es $a_1 = \sqrt{6}$, y cada término siguiente se obtiene como $a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$. Asumiendo que la sucesión es creciente y está acotada superiormente (por lo que es convergente y tiene un límite $L$), plantea la ecuación que debe cumplir el límite y hállalo.

Un cable elástico de alta tecnología se somete a pruebas de tensión iterativas. Su longitud inicial en reposo es de $20$ metros. En la primera prueba se estira $4$ metros. En cada prueba sucesiva, el material pierde elasticidad y se estira un $75\%$ de lo que se estiró en la prueba inmediatamente anterior. La longitud total tras $n$ pruebas viene dada por $L_n = 20 + \sum_{k=1}^n 4 \cdot (0,75)^{k-1}$. Calcula la longitud máxima teórica que alcanzará el cable si se somete a infinitas pruebas.

Para calcular el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + 7n} - 2n$, dos estudiantes discuten qué estrategia seguir. Candela propone un atajo: «Como $7n$ crece mucho más despacio que $4n^2$, podemos despreciarlo dentro de la raíz; así queda $\sqrt{4n^2} - 2n = 2n - 2n = 0$, luego el límite es $0$». Daniel sostiene que eso no es válido porque se trata de una indeterminación $\infty - \infty$ y debe multiplicarse y dividirse por el conjugado. Resuelve el límite aplicando el método riguroso de Daniel, explica por qué el atajo de Candela conduce a un resultado erróneo y analiza qué ocurriría si la sucesión fuese $b_n = \sqrt{4n^2 + 7n} - 3n$: ¿sigue siendo necesario el conjugado en este segundo caso o existe una deducción directa basada en órdenes de magnitud?

Dada la sucesión $a_n = \dfrac{3n - 1}{n + 2}$: calcula en primer lugar $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ y demuestra formalmente dicho resultado aplicando la definición rigurosa de límite, deduciendo una fórmula que proporcione el valor mínimo de $N \in \mathbb{N}$ en función de cualquier margen $\varepsilon > 0$. Utiliza tu fórmula para calcular $N$ cuando $\varepsilon = 0,001$. Por último, un compañero observa que para $n = 100$ la distancia entre términos consecutivos ya es muy pequeña ($|a_{101} - a_{100}| < 0,001$) y deduce que, por tanto, $a_{100}$ ya debe distar de su límite menos de $0,001$. Comprueba numéricamente si su deducción es verdadera o falsa para este término y razona la diferencia conceptual entre la proximidad de dos términos consecutivos y la proximidad de un término a su límite.