Ejercicios: Métodos de resolución

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de reducción:

$3x - 2y = 7$

$5x + 4y = 8$

Halla el valor de las incógnitas $x$, $y$, $z$ en el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra en forma escalonada:

$2x - y + 3z = 14$

$3y - z = 5$

$2z = 8$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales empleando el método de sustitución:

$x - y = 2$

$x^2 + y^2 = 10$

Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones que involucra expresiones con radicales:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$

$x - y = 5$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales expresando ambos miembros de cada ecuación como potencias de la misma base:

$2^{x+y} = 32$

$3^{x-y} = 9$

Aplica la definición de logaritmo para plantear un sistema lineal equivalente y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$\log_2(x + y) = 3$

$x - 2y = 2$

Un agricultor ha recolectado $500$ kg de fruta entre manzanas y peras. Sabiendo que el triple de los kilos de manzanas equivale exactamente al doble de los kilos de peras, plantea y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para determinar cuántos kilos de cada fruta ha recolectado.

Aplica el método de Gauss para transformar y resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

$x + y + z = 6$

$x - y + 2z = 5$

$x + y - z = 0$

Mateo resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante un cambio de variable:

Para ello, define $u = \dfrac{1}{x}$ y $v = \dfrac{1}{y}$, transformándolo en un sistema lineal. Tras aplicar el método de reducción, calcula de forma impecable que $u = 2$ y $v = 1$. Sin embargo, en el paso final concluye: «Como $u = 2$ y $v = 1$, la solución del sistema original es $x = 2$ e $y = 1$».

1. a) Identifica y explica detalladamente el error conceptual que ha cometido Mateo en su deducción final.
2. b) Deshaz correctamente el cambio de variable y halla la solución real $(x, y)$ del sistema.
3. c) Comprueba numéricamente la solución obtenida sustituyéndola en las dos ecuaciones del sistema original.

Observa el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:

Dos estudiantes proponen caminos distintos para abordarlo:

• Lucía propone despejar directamente $3^y$ en la primera ecuación ($3^y = 2^{x+1} - 1$) y sustituir esa expresión en la segunda ecuación, aplicando que $3^{y+1} = 3 \cdot 3^y$.

• Marcos propone aplicar primero las propiedades de las potencias para reescribir el sistema como $2 \cdot 2^x - 3^y = 1$ y $2^x + 3 \cdot 3^y = 11$, introducir las variables auxiliares $u = 2^x$ y $v = 3^y$, y resolver el sistema lineal resultante por reducción.

1. a) Compara ambos procedimientos analizando su dificultad algebraica. ¿Cuál de los dos métodos minimiza el riesgo de cometer errores con las propiedades de las potencias? Justifica tu respuesta.
2. b) Resuelve el sistema empleando el método que hayas considerado más conveniente y determina los valores de $x$ e $y$.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss e indica si es un sistema compatible determinado:

$2x - y + 3z = 1$

$x + 2y - z = 4$

$4x - y + z = 2$

Encuentra todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones no lineales, en el que ambas ecuaciones son de segundo grado:

$x^2 + y^2 - 4x = 5$

$x^2 - y^2 - 4x = -3$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales efectuando los cambios de variable $u = 3^x$ y $v = 2^y$:

$3^x + 2^{y+1} = 17$

$3^{x-1} - 2^y = 1$

Halla el valor de $x$ e $y$ en el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas, aplicando previamente las propiedades de los logaritmos para simplificar las expresiones:

$\log(x) + \log(y) = 2$

$\log(x^2) - \log(y) = 1$

En un laboratorio químico se desea obtener $100$ litros de una disolución de ácido al $30\%$. Para ello se van a mezclar dos disoluciones disponibles en el almacén: una al $20\%$ de concentración y otra al $45\%$. Plantea y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos litros de cada disolución se deben emplear.

El perímetro de una parcela rectangular mide $140$ m y la longitud de su diagonal es de $50$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales que describa la situación y resuélvelo para determinar las dimensiones de la parcela.

Una empresa tecnológica ensambla tres tipos de drones: A, B y C. En total fabrican $60$ drones al mes. El número de drones del tipo A es el doble que los del tipo C, y la suma de los drones tipo B y C supera en $12$ a los del tipo A. Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resuélvelo mediante el método de Gauss.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones que contiene fracciones algebraicas, indicando claramente las restricciones previas sobre las incógnitas:

$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2$

$\frac{4}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Considera el siguiente sistema no lineal con radicales:

1. a) Antes de operar analíticamente, realiza una estimación razonada de la solución:

• Deduce algebraicamente por qué $x$ debe ser estrictamente mayor que $5$ y a la vez menor que $49$.

• Sabiendo a partir del sistema que $x + \sqrt{x} = 12$, estima el valor exacto o aproximado de $x$ probando cuadrados perfectos sencillos que cumplan dicha acotación. ¿Qué valor estimado le corresponde a $y$?

1. b) Resuelve algebraicamente el sistema por sustitución o mediante el cambio de variable $u = \sqrt{x}$.
2. c) Comprueba todas las soluciones algebraicas obtenidas en el sistema original, determina si alguna de ellas es falsa y valora si el resultado final coincide con tu estimación inicial.

Una empresa de logística de reparto en el área metropolitana de Santa Cruz de la Sierra decide renovar su flota adquiriendo camionetas eléctricas y camionetas híbridas enchufables acogidas a un plan de incentivos para vehículos ecológicos. En una primera fase, adquiere $3$ camionetas eléctricas y $4$ híbridas por un importe total de $230\,000$ bolivianos. En una segunda fase, aprovechando una campaña promocional en la que el fabricante rebaja un $10\,\%$ el precio de cada camioneta eléctrica y un $5\,\%$ el de cada camioneta híbrida, la empresa compra $2$ eléctricas y $5$ híbridas por un desembolso de $202\,625$ bolivianos.

1. a) Modela la situación planteando un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Define con precisión qué representa cada incógnita y especifica sus unidades.
2. b) Resuelve el sistema mediante el método que consideres más idóneo (sustitución, igualación o reducción) para determinar el precio original de cada tipo de vehículo antes de los descuentos.
3. c) Si la empresa cuenta con un remanente presupuestario de $105\,000$ bolivianos, ¿tendrá suficiente para adquirir una camioneta eléctrica y dos híbridas a los precios rebajados de la segunda fase? Justifica cuantitativamente tu respuesta.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$:

$x + 2y = 5$

$3x + ky = 15$

Halla el valor de $k$ para el cual el sistema tiene infinitas soluciones y expresa la solución general en función de un parámetro real $\lambda$.

Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método de Gauss. Comprueba que se trata de un sistema compatible indeterminado y expresa su conjunto de soluciones en función de un parámetro $\lambda$:

$x - 2y + z = 3$

$2x + y - 3z = 1$

$4x - 3y - z = 7$

Analiza el siguiente sistema de ecuaciones lineales y demuestra, utilizando las transformaciones del método de Gauss, que es un sistema incompatible:

$x + y + z = 4$

$2x - y + 3z = 5$

$3x + 4z = 10$

Resuelve el siguiente sistema mixto que combina una ecuación exponencial y una ecuación logarítmica:

$2^x \cdot 4^y = 256$

$\log_3(x) + \log_3(y) = \log_3(6)$

Un inversor reparte un capital total de $350\,000$ bolivianos entre tres fondos de inversión: renta variable, renta fija y bonos del Estado. El fondo de renta variable ofrece un $8\%$ de rentabilidad anual, el de renta fija un $5\%$ y los bonos un $3\%$. El inversor decide destinar a renta fija el doble de capital que a bonos del Estado. Si al cabo de un año los beneficios totales generados ascienden a $20\,300$ bolivianos, ¿cuánto dinero invirtió en cada fondo? Plantea el sistema correspondiente y resuélvelo por el método de Gauss.

Dos ciclistas parten simultáneamente desde dos ciudades A y B, separadas por una distancia de $120$ km, y circulan en sentidos opuestos para encontrarse. El ciclista que parte de A viaja a una velocidad constante que supera en $5$ km/h a la del ciclista que parte de B. Sabiendo que se cruzan exactamente al cabo de $3$ horas, plantea un sistema de ecuaciones para hallar la velocidad de cada uno y la distancia que ha recorrido cada ciclista hasta el punto de encuentro.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales simétrico. Para facilitar la resolución, utiliza el cambio de variables $S = x + y$ y $P = x \cdot y$:

$x^2 + y^2 = 34$

$x \cdot y = 15$

Determina analíticamente los puntos de intersección entre la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 25$ y la hipérbola equilátera de ecuación $x \cdot y = 12$. Plantea el sistema no lineal asociado, resuélvelo detallando los pasos y explica cuántas soluciones reales existen.

Diseña un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ e $y$) que cumpla simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

1. Una de las ecuaciones debe ser lineal con coeficientes enteros.

2. La otra ecuación debe contener al menos un radical donde la incógnita $x$ esté dentro del radicando, de modo que no sea un sistema lineal.

3. Al resolver el sistema despejando y elevando al cuadrado para suprimir la raíz, debe generarse una ecuación cuadrática cuyas soluciones algebraicas sean los pares $(4, 3)$ y $(9, -2)$.

4. El par $(4, 3)$ debe ser la única solución real y válida del sistema original, mientras que el par $(9, -2)$ debe ser una solución falsa o extraña generada exclusivamente por haber elevado al cuadrado.

Muestra paso a paso la construcción de ambas ecuaciones, resuelve el sistema completo que has creado justificando dónde y por qué aparece la solución falsa, y razona por qué elevar al cuadrado no es una transformación de equivalencia estricta de ecuaciones.

Se propone resolver el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas en el cuerpo de los números reales:

Dos alumnos defienden estrategias de partida distintas:

• Sara aplica directamente la propiedad del logaritmo de una potencia, escribe $\log(x^2) = 2\log(x)$ y plantea el cambio de variable $u = \log(x)$, $v = \log(y)$, con lo que obtiene únicamente la solución $(x, y) = (10\sqrt{10}, 10)$.

• David sostiene que aplicar esa propiedad en este sistema en concreto reduce el dominio de validez y hace perder soluciones reales. Propone mantener el bloque $\log(x^2)$ intacto y aplicar el cambio $u = \log(x^2)$, $v = \log(y)$.

1. a) Determina el dominio de definición de las variables $x$ e $y$ en el sistema original y explica con rigor matemático por qué el paso de Sara no es una transformación de equivalencia en todo dicho dominio.
2. b) Resuelve el sistema siguiendo el enfoque de David hasta hallar todas las soluciones reales exactas.
3. c) Concluye cuántas soluciones reales tiene el sistema original y escribe la relación general correcta entre $\log(x^2)$ y $\log|x|$ para evitar este tipo de errores en bachillerato.