Ejercicios: Discusión de un sistema de dos ecuaciones

Discute, en función del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$x - 2y = 3$

$mx + 4y = -6$

Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible:

$3x + ky = 5$

$6x - 4y = 2$

Halla el valor de $a$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. Escribe la solución general en ese caso.

$2x - y = a$

$-4x + 2y = 8$

Discute la posición relativa de las rectas $r: px + 3y = 1$ y $s: 2x + py = 0$ en función del parámetro $p$.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$:

$tx + y = t$

$x + ty = 1$

Encuentra los valores del parámetro $b$ para los cuales el siguiente sistema es compatible determinado:

$x + by = 2$

$bx + y = 2$

Discute el sistema dependiente del parámetro $c$:

$cx - 2y = 1$

$x - cy = 2$

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$3x - 2y = 4$

$x + y = m$

¿Existe algún valor del parámetro $m$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifica tu respuesta matemáticamente.

Para clasificar el sistema $\begin{cases} 3x - ky = 6 \\ 6x - 4y = 12 \end{cases}$ en función del parámetro $k \in \mathbb{R}$, Marcos escribe en su examen:

«Igualo las razones de los coeficientes: $\dfrac{3}{6} = \dfrac{-k}{-4} \implies \dfrac{1}{2} = \dfrac{k}{4} \implies k = 2$. Como la razón de los términos independientes es $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$, las tres razones son idénticas y el sistema es compatible indeterminado (rectas coincidentes) si $k=2$. Por tanto, si $k \ne 2$, como las razones de coeficientes ya no coinciden con la de los términos independientes, el sistema no tiene solución (es incompatible; rectas paralelas)».

1. a) Señala el error conceptual que comete Marcos en su deducción para $k \ne 2$ y explica la diferencia geométrica que ha ignorado entre rectas secantes y rectas paralelas.
2. b) Corrige el análisis y escribe la discusión completa del sistema para todos los valores reales de $k$.

Se desea diseñar un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ e $y$) que dependa de un parámetro real $a$ y de una constante fija $c$:

$\begin{cases} 2x + ay = 4 \\ ax + 8y = c \end{cases}$

1. a) Plantea el problema inverso: determina qué valor numérico concreto y positivo debe tener la constante $c$ para que exista al menos un valor de $a$ que haga que ambas rectas sean coincidentes (sistema compatible indeterminado).
2. b) Con ese valor de $c$ fijado, halla los dos valores críticos de $a$ y discute completamente el sistema (SCD, SCI o SI) para todos los valores posibles de $a \in \mathbb{R}$, interpretando geométricamente la posición relativa de las rectas en cada caso.

Dos drones de vigilancia siguen trayectorias rectilíneas descritas por el siguiente sistema, donde $v$ es un parámetro relacionado con la velocidad del viento:

$vx + 2y = 4$

$2x + vy = v$

Discute para qué valores de $v$ las trayectorias de los drones se cruzan en un único punto, son paralelas o coinciden exactamente.

Discute, en función del parámetro $k$, el siguiente sistema de ecuaciones:

$(k+1)x + y = 2$

$kx + (k-1)y = 1$

En un estudio de mercado, las curvas de oferta y demanda de un producto tecnológico vienen dadas por un sistema lineal dependiente de un impuesto $t$:

$2x - ty = 3$

$tx + 2y = 4$

Discute la compatibilidad del sistema según los valores de $t$. ¿Puede darse el caso de que no exista un punto de equilibrio (es decir, que el sistema sea incompatible) si $t$ es un número real?

Discute el siguiente sistema y, en los casos en que sea compatible indeterminado, expresa las infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:

$mx + (m+1)y = m$

$mx + 2my = 2$

Determina para qué valores del parámetro $a$ el siguiente sistema tiene una solución única $(x, y)$ tal que el punto de intersección de ambas rectas se encuentre exactamente sobre el eje de ordenadas ($x=0$):

$ax + 3y = 6$

$2x - ay = a$

En una planta química, se mezclan dos soluciones líquidas. Las ecuaciones que modelan el balance de masa del proceso dependen de la concentración $c$ de un reactivo específico:

$cx + 4y = c^2$

$x + cy = 2$

Discute la compatibilidad del sistema en función de la concentración $c$.

Discute el sistema en función del parámetro $m$:

$x + y = m$

$m^2 x + y = m^2$

Dos cables de alta tensión se modelan en un plano mediante las rectas $r: 2x + (k-2)y = k$ y $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discute la posición relativa de los cables en función del parámetro $k$ para evitar posibles cortocircuitos.

Considera el sistema de ecuaciones lineales $\begin{cases} x + my = 3 \\ mx + 9y = 9 \end{cases}$, donde $m$ es un parámetro real.

1. a) Estima: Antes de realizar transformaciones algebraicas formales, observa detenidamente los coeficientes:

• Estima qué dos valores opuestos de $m$ harán que las pendientes de ambas rectas coincidan.

• Conjetura razonadamente si para ambos signos de $m$ las rectas llegarán a coincidir en todos sus puntos o si para alguno de ellos resultarán ser paralelas distintas, fijándote en el signo de los términos independientes.

1. b) Comprueba: Discute rigurosamente el sistema para todo $m \in \mathbb{R}$ mediante el estudio de las razones $\dfrac{a_1}{a_2}$, $\dfrac{b_1}{b_2}$ y $\dfrac{c_1}{c_2}$. Clasifícalo en compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
2. c) Valora: Compara el resultado formal con tu estimación inicial del apartado a). ¿Se cumplió tu conjetura sobre la coincidencia de las rectas? Justifica por qué la igualdad algebraica confirma o corrige la intuición visual.

En los protocolos de control ambiental de una estación de la AEMET en una zona industrial, se monitorizan dos gases contaminantes primarios, $x$ e $y$ (expresados en $\mu\text{g/m}^3$), mediante dos sensores calibrados cuyas lecturas dependen de un índice térmico estandarizado $t \in \mathbb{R}$ según el modelo:

$\begin{cases} x + ty = 5 \\ tx + 9y = 15 \end{cases}$

1. a) Discute el sistema para todos los valores del índice térmico $t$. Identifica para qué valores de $t$ las lecturas proporcionan una concentración única y bien definida para ambos gases (sistema compatible determinado).
2. b) Determina para qué temperatura ambiental el protocolo produce infinitas soluciones válidas (sistema compatible indeterminado) y explica qué significa esto en la práctica para los técnicos de la estación.
3. c) Averigua si existe algún valor de $t$ para el cual los sensores ofrezcan lecturas contradictorias e imposibles de cumplir simultáneamente (sistema incompatible) e interpreta geométricamente qué relación guardan las rectas asociadas a cada sensor en esa situación.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$:

$ax + y = b$

$x + ay = 2$

La trayectoria de un proyectil sigue una parábola descrita por la ecuación $y = -x^2 + 4x$, mientras que un haz láser de defensa sigue la recta $y = mx$. Discute el número de puntos de intersección entre el proyectil y el láser en función del parámetro $m$ (que representa la pendiente del láser).

Discute el siguiente sistema lineal en función del parámetro $k$ (considera que $k \neq 0$ y $k \neq 1$):

$\frac{x}{k} + \frac{y}{k-1} = 1$

$kx + (k-1)y = 2$

En un circuito eléctrico, las intensidades $I_1$ e $I_2$ cumplen el siguiente sistema dependiente de una resistencia variable $R$:

$R I_1 + (R+1) I_2 = 2R$

$(R-1) I_1 + R I_2 = R^2$

Discute la existencia y unicidad de las intensidades en función del valor de la resistencia $R$.

Discute la compatibilidad del siguiente sistema no lineal en función del parámetro $k$:

$x^2 - y^2 = k$

$x + y = 2$

Discute el sistema en función de los parámetros $m$ y $n$:

$mx + ny = 1$

$nx + my = 1$

Determina las condiciones exactas sobre $m$ y $n$ para que el sistema sea incompatible.

Un satélite orbita siguiendo una trayectoria circular modelada en el plano por la ecuación $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa se desplaza en línea recta según la ecuación $x + y = c$, donde $c$ es un parámetro que depende de su posición inicial. Discute el número de puntos de colisión entre el satélite y el cometa en función de $c$.

Discute el siguiente sistema lineal con parámetro $\alpha \in [0, 2\pi]$:

$(\sin \alpha) x + (\cos \alpha) y = 1$

$(\cos \alpha) x - (\sin \alpha) y = 0$

¿Existe algún valor de $\alpha$ para el cual el sistema no sea compatible determinado? Justifica tu respuesta matemáticamente.

Para clasificar el sistema $\begin{cases} \lambda x + 2y = 4 \\ (\lambda + 3)x + (\lambda + 1)y = 6 \end{cases}$ en función del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$, dos estudiantes de 1.º de Bachillerato proponen caminos diferentes:

• Sara decide igualar las razones entre coeficientes: $\dfrac{\lambda}{\lambda + 3} = \dfrac{2}{\lambda + 1} = \dfrac{4}{6}$.

• Álvaro prefiere transformar el sistema por reducción (método de Gauss) para triangularlo antes de extraer conclusiones.

1. a) Analiza críticamente el método de Sara: ¿qué peligro matemático surge con los valores $\lambda = -3$ y $\lambda = -1$? ¿Significa la anulación de un denominador que el sistema sea incompatible en esos valores, o solo que esa herramienta concreta no puede aplicarse directamente?
2. b) Discute y clasifica el sistema para todo $\lambda \in \mathbb{R}$ analizando con rigor qué ocurre exactamente en los casos particulares $\lambda = -3$ y $\lambda = -1$ y en los valores donde las pendientes se igualan.
3. c) Evalúa ambos métodos: justifica cuál de los dos resulta más fiable cuando los parámetros aparecen en varios coeficientes de una misma incógnita y en qué casos compensa utilizar la regla de las razones.

En el espacio aéreo de aproximación al aeropuerto Viru Viru de Santa Cruz de la Sierra, la torre de control monitorea dos aeronaves cuyas trayectorias rectilíneas en el plano de navegación horizontal están descritas por el sistema:

$\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + ay = b \end{cases}$

donde $a$ y $b$ son parámetros reales fijados por las radiobalizas y las maniobras de aproximación.

1. a) Resuelve el problema inverso determinando qué relación algebraica exacta deben guardar los parámetros $a$ y $b$ para que:

1. Las trayectorias se corten en un único punto situado exactamente sobre el eje de abscisas ($y = 0$).

2. Exista un riesgo crítico de colisión continuada por ser trayectorias idénticas (rectas coincidentes).

3. Los aviones sigan trayectorias estrictamente paralelas pero separadas (rectas paralelas no coincidentes).

1. b) Realiza una discusión exhaustiva del sistema clasificándolo (SCD, SCI o SI) para cualquier combinación de valores $(a, b) \in \mathbb{R}^2$.
2. c) Demuestra mediante un razonamiento algebraico riguroso si es posible encontrar algún par de parámetros $(a, b)$ que haga que el punto de cruce único de las dos trayectorias sea el origen de coordenadas $(0, 0)$.