Ejercicios: Operaciones elementales

Realiza la siguiente operación combinada con números enteros, respetando estrictamente la jerarquía de las operaciones: $5 - 2 \cdot (4 - (-3)^2) + (-2)^3$.

Calcula y simplifica al máximo el resultado de la siguiente expresión con fracciones: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \right)$.

Expresa el resultado como una única potencia utilizando las propiedades de la multiplicación y división de potencias con la misma base: $\frac{7^5 \cdot 7^{-3}}{7^4}$.

Desarrolla las siguientes expresiones algebraicas utilizando los productos notables correspondientes:

1. a) $(3x + 5)^2$
2. b) $(2x - 1)(2x + 1)$

Un depósito de agua para riego agrícola está lleno hasta sus $\frac{3}{5}$ partes. Si se extrae el equivalente a $\frac{1}{4}$ de la capacidad total del depósito para regar una parcela, determina qué fracción de la capacidad total del depósito queda aún con agua.

En una prueba de evaluación inicial de 1.º de Bachillerato, Mateo debe calcular el valor numérico de la siguiente operación combinada respetando la jerarquía de las operaciones:

Mateo escribe en su examen:

«$-3^2 = 9$. Luego, dentro del paréntesis hago primero $5 - 3 = 2$, y $2 \cdot 2 = 4$, de modo que queda $4^3 = 64$. Por tanto, $A = 9 + 2 \cdot 64 - (-16) = 9 + 128 + 16 = 153$».

1. a) Identifica y explica de forma razonada los tres errores conceptuales cometidos por Mateo (uno de signo en las potencias, uno de jerarquía de operaciones dentro del paréntesis y otro de signo al restar la potencia final).
2. b) Realiza el cálculo correcto paso a paso hasta obtener el valor numérico exacto de $A$.

Una asociación juvenil de La Paz dispone de un presupuesto anual para actividades de ocio saludable y decide distribuirlo de la siguiente manera: $\frac{3}{10}$ del total se destinan a un torneo de ajedrez, $\frac{1}{4}$ a un taller de teatro y $\frac{2}{5}$ a una salida a la cordillera Real.

1. a) Sin realizar todavía operaciones con común denominador en papel, estima de forma mental y razonada si con estos tres gastos se habrá agotado todo el presupuesto o si aún quedará una pequeña parte libre (puedes ayudarte asociando mentalmente cada fracción a porcentajes sencillos: por ejemplo, $\frac{1}{4} = 25\%$).
2. b) Plantea la suma de fracciones, calcula el común denominador y obtén la fracción irreducible exacta del presupuesto que se ha comprometido, así como la fracción restante disponible.
3. c) Compara el resultado exacto con tu estimación previa y justifica si tu valoración inicial fue correcta.

Una empresa tecnológica destina $\frac{2}{5}$ de su presupuesto anual a salarios del personal y $\frac{1}{3}$ del presupuesto restante a campañas de marketing. Si después de estas dos asignaciones aún le quedan $378\,000$ bolivianos para otros gastos operativos, plantea las operaciones con fracciones necesarias para determinar a cuánto asciende el presupuesto total de la empresa.

El lado de una parcela cuadrada destinada a la instalación de paneles solares mide $3x - 2$ metros. Si se decide ampliar el terreno aumentando cada lado en $4$ metros, expresa el área del nuevo terreno y determina la diferencia de áreas entre la parcela nueva y la antigua, utilizando el desarrollo de productos notables.

Resuelve la siguiente operación con fracciones anidadas (castillo de fracciones), simplificando paso a paso desde el interior hacia el exterior: $\frac{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}$.

En un experimento de óptica física, la intensidad de una señal láser se reduce a su mitad cada vez que atraviesa un filtro atenuador. Si la señal original tiene una intensidad $I_0$ y atraviesa $5$ filtros consecutivos, y posteriormente se amplifica multiplicándose por un factor de $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2}$, expresa la intensidad final de la señal en función de $I_0$ usando una única potencia de base $2$.

Dada la expresión algebraica $P(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{(x-y)^2}$, evalúa su valor exacto para $x = \frac{1}{2}$ e $y = -\frac{1}{3}$. Simplifica la expresión teóricamente antes de sustituir los valores para facilitar el cálculo numérico.

Se desea construir una fracción algebraica $F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ que cumpla simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

1. El numerador $P(x)$ es una diferencia de cuadrados desarrollada de la forma $x^2 - a^2$, donde $a$ es un número natural.

2. El denominador $Q(x)$ es un trinomio de segundo grado desarrollado, resultado de elevar al cuadrado un binomio de la forma $(x + b)^2$, donde $b$ es un número natural.

3. Al factorizar numerador y denominador y cancelar los factores comunes adecuados (sin cancelar jamás sumandos sueltos), la fracción simplificada irreducible resultante es $\frac{x - 6}{x + 6}$.

4. Para $x = 0$, la fracción simplificada toma el valor $-1$.

Deduce razonadamente cuáles son los polinomios desarrollados $P(x)$ y $Q(x)$, explica el procedimiento para hallar los valores de $a$ y $b$, y determina para qué valor real de $x$ la fracción original no está definida.

Según datos de la Confederación Hidrográfica del Guadalquivir sobre el estado de las reservas hídricas, un embalse se encontraba al inicio del año a $\frac{2}{3}$ de su capacidad total $C$. Durante un periodo seco, el volumen de agua almacenada se redujo a la mitad. Posteriormente, las precipitaciones aportaron un volumen de agua equivalente a $\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \cdot C$. Por último, para mantener el caudal ecológico del río, se desembalsó una sexta parte del volumen que contenía el embalse tras las lluvias.

1. a) Modela la situación mediante una única expresión combinada de fracciones y potencias que determine el volumen final de agua en función de $C$.
2. b) Aplica las propiedades de las potencias de exponente negativo y la jerarquía de las operaciones para simplificar dicha expresión y obtener la fracción irreducible de la capacidad total $C$ que permanece en el embalse.

En el diseño de una pieza mecánica de precisión, se especifica que el área de una sección transversal rectangular debe responder a la fórmula $A = 16x^2 - 24x + 9$ milímetros cuadrados. Demuestra algebraicamente que esta área siempre corresponde a un cuadrado perfecto para cualquier valor real de $x$, y determina la expresión que define la longitud del lado de dicho cuadrado.

Demuestra rigurosamente, mediante manipulación algebraica, que la diferencia entre el cuadrado de la suma de dos números reales cualesquiera y el cuadrado de su diferencia es siempre igual a cuatro veces el producto de dichos números. Es decir, prueba que $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

La capacidad total de almacenamiento de un servidor de datos se estructura de la siguiente manera: $\frac{1}{8}$ de la capacidad total se reserva para el sistema operativo; de la capacidad restante, una fracción equivalente a $\left( \frac{7}{4} \right)^{-1}$ se destina a bases de datos, y el espacio que sobra se utiliza para copias de seguridad. Si las copias de seguridad ocupan exactamente $3 \cdot 2^{40}$ bytes, plantea y resuelve las operaciones necesarias para determinar la capacidad total del servidor, expresando el resultado como una potencia de base $2$.

Durante la resolución de un problema de cinemática, un estudiante ha realizado la siguiente simplificación algebraica: $\frac{x^2 + y^2}{x+y} = x+y$.

Explica mediante un contraejemplo numérico explícito por qué esta operación es incorrecta. A continuación, desarrolla la expresión $(x+y)^2$ para justificar algebraicamente el error cometido, e indica bajo qué condición única y excepcional sobre las variables $x$ e $y$ la afirmación del estudiante resultaría numéricamente cierta.

Para calcular el valor numérico exacto de la expresión

dos estudiantes de 1.º de Bachillerato proponen dos métodos distintos sin recurrir a la calculadora:

• Método de Sergio: Calcular a mano los cuadrados $2025^2$ y $2021^2$, restarlos, elevar al cuadrado la diferencia y dividir el resultado entre el producto $64 \cdot 2023^2$.

• Método de Elena: Observar que $2025 = 2023 + 2$ y $2021 = 2023 - 2$, de modo que el corchete adopta la forma algebraica $[(x + y)^2 - (x - y)^2]^2$, simplificar dicha estructura teórica mediante identidades notables y solo al final sustituir los valores numéricos.

1. a) Desarrolla algebraicamente la expresión teórica general $T = [(x + y)^2 - (x - y)^2]^2$ aplicando identidades notables y extracción de factores comunes, y demuestra que se reduce exactamente a $16x^2 y^2$.
2. b) Utiliza el resultado anterior con $x = 2023$ e $y = 2$ para obtener el valor numérico exacto de $E$ siguiendo el método de Elena.
3. c) Compara ambos métodos y justifica de forma crítica por qué el método algebraico es cualitativamente superior al cálculo aritmético directo en términos de esfuerzo operativo y prevención de errores.

En un laboratorio de telecomunicaciones en La Paz, se modela la impedancia equivalente $Z$ de un filtro de frecuencias mediante la fracción algebraica:

Un estudiante propone la siguiente simplificación:

«Como $x^{-2}$ es el cuadrado de $x^{-1}$ e $y^{-2}$ es el cuadrado de $y^{-1}$, cancelo directamente los términos del numerador con los del denominador restando exponentes, por lo que $Z(x, y) = x^1 - y^1 = x - y$».

1. a) Explica detalladamente los errores conceptuales de esta propuesta, aclarando por qué no es lícito cancelar términos independientes en una resta y por qué las propiedades del cociente de potencias no se aplican directamente a sumandos.
2. b) Transforma la expresión original escribiendo las potencias de exponente negativo como fracciones ordinarias, halla el común denominador en el numerador y en el denominador, y simplifica la fracción compuesta factorizando la diferencia de cuadrados resultante.
3. c) Demuestra que se llega al mismo resultado si, en lugar de pasar a fracciones, se factoriza directamente el denominador original como diferencia de cuadrados de potencias: $x^{-2} - y^{-2} = (x^{-1} - y^{-1})(x^{-1} + y^{-1})$. Determina las restricciones que deben cumplir $x$ e $y$ para que la simplificación sea válida.