Ejercicios: Técnicas de conteo y recuento

Un restaurante ofrece $4$ primeros platos, $3$ segundos y $2$ postres. Si un cliente elige su menú al azar, ¿cuál es la probabilidad de que elija exactamente la ensalada de primero, el salmón de segundo y la tarta de postre?

En una carrera de $100$ metros lisos participan $6$ atletas. Si todos tienen la misma probabilidad de ganar y no hay empates, ¿cuál es la probabilidad de que el orden de llegada sea exactamente A, B, C, D, E, F?

En un club de ajedrez de $10$ miembros se va a elegir al azar un presidente, un secretario y un tesorero. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana sea elegida presidenta, Carlos secretario y Elena tesorera?

De un grupo de $8$ estudiantes se eligen $3$ al azar para formar una comisión representativa. ¿Cuál es la probabilidad de que los elegidos sean exactamente los $3$ estudiantes de mayor edad del grupo?

Se lanza un dado equilibrado de $6$ caras $4$ veces consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número $5$ en todos los lanzamientos?

En una caja hay $5$ bolas rojas y $4$ bolas azules. Se extraen $2$ bolas al azar simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?

Se forman todas las palabras posibles, tengan o no sentido, reordenando las letras de la palabra "ROMA". Si se elige una de estas palabras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que empiece por la letra "M"?

Se lanzan $5$ monedas equilibradas al aire simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente $2$ caras y $3$ cruces?

Para representar a tu grupo de 1.º de Bachillerato (formado por $20$ estudiantes) ante la junta de delegados del centro, se debe elegir por sorteo a una comisión de $3$ personas sin distinción de cargos ni jerarquía. Marcos afirma en clase: «Como para la primera persona hay $20$ opciones, para la segunda $19$ y para la tercera $18$, el número total de comisiones posibles es $20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$. Por tanto, la probabilidad de que la comisión elegida esté formada exactamente por Lucía, David y yo es $\frac{1}{6840}$».\na) Localiza el error conceptual que comete Marcos y explica por qué su cálculo sobre el número de comisiones posibles no es correcto.\nb) Corrige su razonamiento calculando adecuadamente el número de comisiones posibles mediante técnicas de conteo y obtén la probabilidad real de que salga elegida esa terna concreta.

Un usuario olvida el código PIN de $4$ dígitos de la tarjeta SIM de su celular. Recuerda con total seguridad dos condiciones: las cuatro cifras eran diferentes entre sí y todas eran dígitos pares (es decir, elegidas exclusivamente entre $\{0, 2, 4, 6, 8\}$). Decide probar una combinación al azar respetando ambas condiciones.\na) Antes de realizar cualquier cálculo matemático formal, haz una estimación: ¿crees que la probabilidad de desbloquear el celular al primer intento será mayor, menor o aproximadamente igual al $1\,\%$? Justifica brevemente la intuición en la que te basas.\nb) Modela el espacio muestral utilizando el principio multiplicativo o las variaciones sin repetición para calcular con exactitud el número de códigos posibles y la probabilidad real de acertar al primer intento (expresada en fracción irreducible y en porcentaje).\nc) Compara el valor exacto con tu estimación previa y valora si nuestra intuición suele subestimar o sobrestimar el efecto del principio multiplicativo.

Con los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6$ se forman números de $4$ cifras distintas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número formado sea par?

En una empresa tecnológica trabajan $7$ ingenieros y $5$ economistas. Se debe formar un equipo de proyecto de $4$ personas elegido al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo esté formado por exactamente $2$ ingenieros y $2$ economistas?

De una baraja española de $40$ cartas se extraen $3$ cartas al azar sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cartas sean del mismo palo?

En una estantería se van a colocar al azar $5$ libros de matemáticas y $3$ de física. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los libros de física queden colocados juntos?

Un lote de $20$ microchips contiene $4$ defectuosos. Se selecciona una muestra aleatoria de $3$ microchips para su inspección. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra haya al menos un microchip defectuoso?

Cuatro amigos suben a un bus en el que quedan $6$ paradas hasta el final del trayecto. Si cada uno tiene la misma probabilidad de bajarse en cualquiera de las paradas, ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro amigos se bajen en paradas distintas?

Se forman todas las palabras posibles reordenando las letras de la palabra "BANANA". ¿Cuál es la probabilidad de que las tres letras "A" aparezcan juntas consecutivamente?

Un examen de opción múltiple consta de $10$ preguntas, cada una con $4$ opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Si un estudiante responde todas las preguntas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente $6$ preguntas?

En España, la Dirección General de Tráfico (DGT) asigna a cada vehículo una matrícula formada por un bloque de $4$ dígitos (del $0000$ al $9999$) seguido de un bloque de $3$ letras consonantes. Para evitar palabras malsonantes se excluyen las $5$ vocales, y para evitar confusiones de lectura se descartan la Ñ y la Q, quedando disponibles exactamente $20$ consonantes.\nUn vehículo recién salido de fábrica recibe una matrícula asignada de forma aleatoria y equiprobable entre todas las combinaciones que admite el sistema.\na) Modela el espacio muestral y calcula cuántas matrículas teóricas distintas pueden generarse si se permite la repetición de cifras y de letras.\nb) Un aficionado a los números busca una matrícula «simétrica»: las $4$ cifras deben formar un número capicúa (por ejemplo, $4884$ o $0330$) y las $3$ letras deben formar un palíndromo (la primera y la tercera letra deben coincidir, como en $KPK$). ¿Cuál es la probabilidad de que a un auto le corresponda al azar una matrícula simétrica? Expresa el resultado como fracción irreducible y en porcentaje.

En un instituto de Educación Secundaria se convocan $2$ plazas para una estancia lingüística de verano entre el alumnado de 1.º de Bachillerato. Se presentan $5$ estudiantes de la modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales y un grupo de $n$ estudiantes de la modalidad de Ciencias ($n \ge 2$). La adjudicación de las dos plazas se realiza por sorteo consecutivo y sin reemplazo entre todas las candidaturas.\nLa jefa de estudios anuncia que la probabilidad de que al menos una de las dos plazas recaiga en un estudiante de Humanidades y Ciencias Sociales es exactamente igual a $\frac{7}{9}$.\na) Plantea una ecuación que relacione $n$ con la probabilidad facilitada, utilizando técnicas de recuento combinatorio y apoyándote en el suceso contrario (ninguna plaza para Humanidades y Ciencias Sociales).\nb) Resuelve razonadamente la ecuación obtenida, justifica el descarte de soluciones algebraicas no válidas y concluye cuántos alumnos de Ciencias y cuántos alumnos en total participaron en el sorteo.

De una baraja francesa de $52$ cartas (compuesta por $13$ valores diferentes en $4$ palos) se extraen $5$ cartas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un "Full House" (es decir, tres cartas de un mismo valor y dos cartas de otro valor distinto)?

Ocho personas, entre las que se encuentran dos hermanos, se sientan al azar alrededor de una mesa circular. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos hermanos no se sienten en sillas contiguas?

Se eligen al azar $3$ vértices distintos de un decágono regular. ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo formado por estos $3$ vértices sea un triángulo rectángulo?

Se distribuyen al azar $5$ bolas distinguibles en $3$ urnas distinguibles. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las tres urnas quede vacía?

Un departamento universitario está formado por $6$ profesores titulares y $8$ profesores asociados. Se elige al azar un comité de $5$ personas. ¿Cuál es la probabilidad de que en el comité haya una mayoría de profesores titulares (es decir, $3$ o más)?

En la planta baja de un edificio de $8$ pisos suben al ascensor $5$ personas. Si cada persona elige al azar el piso en el que se va a bajar (del $1$ al $8$), ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos personas se bajen en el mismo piso y las otras tres se bajen en pisos distintos entre sí y distintos al de la pareja?

Se lanza un dado equilibrado de $6$ caras $6$ veces consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan todos los números del $1$ al $6$ exactamente una vez, sabiendo que en los tres primeros lanzamientos se obtuvieron exclusivamente números pares?

Cuatro personas dejan sus abrigos en el guardarropa de un teatro. Al salir, debido a un apagón, el encargado les devuelve los cuatro abrigos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una persona reciba su propio abrigo?

Para constituir una comisión evaluadora de $5$ miembros en un colegio, se debe elegir por sorteo a sus integrantes a partir de un plantel de $12$ docentes disponibles: $7$ pertenecen al ámbito científico-tecnológico y $5$ al sociolingüístico. La dirección exige que la comisión sea mixta (es decir, que cuente obligatoriamente con al menos un docente de cada una de las dos ramas). Para hallar la probabilidad de que una elección al azar cumpla este requisito, tres profesores proponen vías de resolución distintas:\n- Método de Álvaro: asegura la presencia de ambas ramas eligiendo primero $1$ de Ciencias ($7$ opciones) y $1$ de Humanidades ($5$ opciones), y luego elige los $3$ miembros restantes entre los $10$ profesores que quedan, dividiendo el resultado entre $\binom{12}{5}$.\n- Método de Beatriz: descompone los casos favorables sumando las cuatro configuraciones válidas disjuntas: $(1\text{ C, } 4\text{ H}) + (2\text{ C, } 3\text{ H}) + (3\text{ C, } 2\text{ H}) + (4\text{ C, } 1\text{ H})$, y divide la suma entre $\binom{12}{5}$.\n- Método de Carlos: calcula la probabilidad del evento complementario (que todos sean de Ciencias o todos sean de Humanidades) y se la resta a $1$.\nSe pide:\na) Analiza la propuesta de Álvaro: demuestra numéricamente por qué es incorrecta y explica con precisión qué error de conteo comete su planteamiento.\nb) Compara los métodos de Beatriz y de Carlos: justifica cuál de los dos es más eficiente en términos de cálculo y aplícalo para obtener la probabilidad exacta en forma de fracción irreducible.

En el servicio de emergencias de un hospital público, el equipo de guardia nocturna de cada sábado está formado por $4$ médicos extraídos por sorteo de una plantilla disponible de $10$ profesionales: $4$ médicos de planta (veteranos) y $6$ médicos residentes. Para que la guardia sea operativa según el protocolo del centro, deben cumplirse simultáneamente dos condiciones:\n1. Criterio asistencial de seguridad: debe haber al menos $1$ médico de planta en el equipo.\n2. Criterio pedagógico de tutorización: dos residentes concretos, Irene y Sergio, siguen un plan de formación conjunto, por lo que deben hacer la guardia juntos obligatoriamente si cualquiera de los dos es convocado (es decir, o entran ambos al equipo o no entra ninguno).\nSi el equipo de $4$ profesionales se sortea de forma equiprobable entre los $10$ disponibles:\na) Modela el espacio de casos favorables distinguiendo los dos escenarios disjuntos impuestos por el criterio pedagógico de Irene y Sergio, y calcula cuántos equipos cumplen ambos criterios a la vez.\nb) Determina la probabilidad de que el equipo seleccionado al azar cumpla ambas exigencias normativas.\nc) Evalúa el impacto organizativo: calcula cuál sería la probabilidad de obtener una guardia válida si únicamente se exigiera el criterio asistencial (sin la restricción sobre Irene y Sergio) y reflexiona sobre el costo en flexibilidad que suponen las condiciones de agrupamiento en bloque.

Reto del tema. ¿Es tu entorno vulnerable a un ataque de fuerza bruta? Vas a evaluar la robustez de las contraseñas habituales elaborando un informe técnico de ciberseguridad.

1. Toma de datos: Pasa una breve encuesta anónima a $10$ personas (familiares o amigos) o consulta las estadísticas de la AGETIC o del INE para registrar qué estructuras usan (PIN de $4$ dígitos, claves de $6$ letras minúsculas o alfanuméricas de $8$ caracteres).

2. Técnicas de recuento: Modela cada formato de clave identificando el espacio muestral $\Omega$. Aplica técnicas de conteo (variaciones con y sin repetición, combinaciones) para calcular cuántas contraseñas distintas pueden formarse en cada categoría.

3. Análisis de probabilidad: En una hoja de cálculo, calcula la probabilidad según Laplace de descifrar la clave en el primer intento y en $100$ intentos (sin repetir claves ya probadas). Define e ilustra eventos compatibles, incompatibles y complementarios (como «no incluir números» frente a «incluir al menos un número»).

4. Propuesta razonada: Redacta un informe de una página que relacione el tamaño del espacio muestral con la probabilidad de vulnerabilidad, proponiendo pautas de seguridad basadas en tus cálculos.

Se valorará:

• Elección y cálculo correcto de las técnicas de conteo adecuadas para cada caso.

• Rigor en el uso de la notación formal de probabilidad ($P(A)$, eventos, $\Omega$) y hoja de cálculo.

• Justificación coherente de las recomendaciones matemáticas en el informe final.