Ejercicios: Definiciones

Se lanza un dado dodecaédrico (12 caras) perfectamente equilibrado, con sus caras numeradas del 1 al 12. Se anota el resultado de la cara superior. Define por extensión el espacio muestral $E$ y los siguientes eventos:

• $A$: "Obtener un número múltiplo de 3".

• $B$: "Obtener un número primo".

• $C$: "Obtener un número mayor que 10".

De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Utilizando la regla de Laplace, calcula la probabilidad de los siguientes eventos elementales y compuestos:

• $A$: "Extraer un caballo".

• $B$: "Extraer una carta de copas".

• $C$: "Extraer una figura de oros" (las figuras son sota, caballo y rey).

En un experimento aleatorio, el espacio muestral es $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Dados los eventos $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ y $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, determina por extensión los siguientes eventos resultantes de operar con ellos:

• $A \cup B$

• $A \cap B$

• $A - B$

• $\overline{A} \cap B$

En una fábrica de componentes electrónicos, se sabe que la probabilidad de que un chip tenga un defecto de soldadura es $0,05$, la probabilidad de que tenga un defecto en el encapsulado es $0,03$, y la probabilidad de que presente ambos defectos simultáneamente es $0,01$. Calcula la probabilidad de que un chip elegido al azar presente al menos uno de los dos defectos.

Se dispone de una urna opaca que contiene 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas verdes, todas idénticas al tacto. Si se extrae una bola al azar, calcula la probabilidad de:

• Obtener una bola azul.

• No obtener una bola roja.

• Obtener una bola que sea roja o verde.

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ y $P(A \cup B) = 0,7$. Justifica matemáticamente si los eventos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles basándote en los axiomas de la probabilidad.

En un centro meteorológico se define el evento $L$: "Que llueva mañana" y el evento $V$: "Que haga viento mañana". Expresa en lenguaje ordinario el significado de los siguientes eventos algebraicos:

• $\overline{L} \cap \overline{V}$

• $L \cup V$

• $V - L$

Observa el siguiente diagrama de Venn que representa un espacio muestral $E$ y dos eventos $A$ y $B$. Sabiendo que el área de cada región es proporcional a su probabilidad, expresa en notación de conjuntos la región sombreada en color verde y calcula su probabilidad si $P(A) = 0,55$, $P(B) = 0,40$ y $P(A \cap B) = 0,15$.

En un control de Matemática, se plantea un experimento aleatorio donde dos eventos tienen probabilidades $P(A) = 0,65$ y $P(B) = 0,55$. Manuel escribe en su examen la siguiente resolución:

«Aplicando el tercer axioma de Kolmogórov, la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos es $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,65 + 0,55 = 1,20$. Como este resultado es mayor que $1$ y contradice el axioma del evento seguro, deduzco que los datos del enunciado son erróneos y que tales eventos no pueden coexistir en ningún experimento real».

1. a) Localiza y explica razonadamente los dos errores conceptuales que comete Manuel en relación con las condiciones exigidas por el tercer axioma y la definición de eventos compatibles.
2. b) Sin modificar los valores de $P(A)$ y $P(B)$, corrige la resolución de Manuel determinando el intervalo de valores posibles para $P(A \cap B)$ que garantizan que el experimento sea matemáticamente coherente.

En un instituto de Educación Secundaria, la dirección realiza un sondeo sobre la movilidad sostenible de sus estudiantes de Bachillerato. Los resultados indican que la probabilidad de que un alumno elegido al azar utilice el bonobús metropolitano ($B$) es $P(B) = 0,75$, y la probabilidad de que utilice el carril bici municipal ($C$) es $P(C) = 0,40$.

1. a) Antes de plantear cualquier cálculo algebraico, estima intuitivamente: ¿es posible que ningún estudiante utilice ambos medios de transporte a la vez? ¿Cuál intuyes que debe ser el porcentaje mínimo de estudiantes que obligatoriamente combinan ambos medios?
2. b) Aplica la fórmula general de la probabilidad de la unión, $P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C)$, junto con el axioma de que ninguna probabilidad puede superar a $P(E) = 1$, para calcular la cota mínima de $P(B \cap C)$ y determinar también su cota máxima. Compara estos resultados con tu estimación previa y valora si tu intuición era acertada.

En un instituto, el $60\%$ de los alumnos de 1º de Bachillerato cursa la asignatura de Física, el $50\%$ cursa Dibujo Técnico y un $20\%$ no cursa ninguna de las dos. Si se elige un alumno al azar, determina las siguientes probabilidades utilizando las propiedades axiomáticas y las Leyes de De Morgan:

• Que curse ambas asignaturas.

• Que curse Física pero no Dibujo Técnico.

• Que curse exactamente una de las dos asignaturas.

Se lanzan simultáneamente dos dados cúbicos equilibrados, uno rojo y otro azul. Apoyándote en el espacio muestral bidimensional, calcula la probabilidad de que:

• La suma de las puntuaciones sea exactamente 8.

• El valor absoluto de la diferencia entre las puntuaciones sea 2.

En un estudio clínico sobre una nueva cepa viral, se observa a un grupo de pacientes. Se definen los eventos $F$: "El paciente presenta fiebre" y $T$: "El paciente presenta tos". Expresa en notación conjuntista (intersecciones, uniones, complementos) los siguientes eventos descritos en lenguaje natural:

• El paciente presenta al menos uno de los dos síntomas.

• El paciente presenta fiebre pero no tos.

• El paciente no presenta ninguno de los dos síntomas.

• El paciente presenta exactamente un síntoma.

En una empresa de desarrollo de software, la probabilidad de que un programa tenga un error en la interfaz de usuario (evento $U$) es $0,45$. La probabilidad de que tenga un error en la base de datos (evento $D$) es $0,30$. Si la probabilidad de que tenga un error en la interfaz pero no en la base de datos es $0,25$, calcula la probabilidad de que el programa no tenga ningún error.

Un juego consiste en lanzar una moneda equilibrada repetidamente hasta que salga la primera "Cara" ($C$), con un límite máximo de 3 lanzamientos (si en el tercer lanzamiento sale "Cruz" ($X$), el juego termina de todos modos).

• Escribe el espacio muestral $E$ de este experimento.

• Asigna la probabilidad correspondiente a cada evento elemental justificando tu respuesta.

Un analista financiero evalúa dos fondos de inversión, $A$ y $B$. Determina que la probabilidad de que el fondo $A$ sea rentable es el doble de la probabilidad de que lo sea el fondo $B$. Además, sabe que la probabilidad de que al menos uno sea rentable es $0,85$ y la probabilidad de que ambos lo sean es $0,20$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula la probabilidad de que el fondo $A$ sea rentable.

En una urna hay $n$ bolas blancas y 6 bolas negras. Se extrae una bola al azar. Si se sabe que la probabilidad de extraer una bola blanca es $\frac{3}{5}$, plantea una ecuación para averiguar el valor de $n$ y determina el número total de bolas en la urna.

Según la Encuesta sobre Equipamiento y Uso de Tecnologías de Información y Comunicación en los Hogares publicada por el INE, en una determinada comunidad autónoma la probabilidad de que una vivienda seleccionada al azar disponga de conexión a internet por fibra óptica ($A$) es $P(A) = 0,82$, y la probabilidad de que cuente con suscripción a una plataforma de video bajo demanda ($B$) es $P(B) = 0,64$. Además, el estudio indica que la probabilidad de que un hogar no disponga de ninguno de estos dos servicios es de $0,06$.

1. a) Modela la información dada expresando cada dato en el lenguaje formal de la teoría de conjuntos y la probabilidad (identificando contrarios, uniones e intersecciones).
2. b) Demuestra paso a paso, utilizando exclusivamente los axiomas de Kolmogórov y las propiedades deducidas de ellos, si los eventos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles.
3. c) Deduce formalmente la relación entre $P(A - B)$ y las probabilidades conocidas, y calcula la probabilidad de que un hogar elegido al azar disponga de fibra óptica pero carezca de plataforma de video.

Se realiza un experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados cúbicos equilibrados (con caras numeradas del 1 al 6) y se define el evento $S$: «obtener al menos un número 5 entre los dos dados». Para calcular $P(S)$, dos estudiantes proponen métodos distintos basados en los axiomas:

• Método 1 (Vía evento contrario): Calcular la probabilidad del evento complementario $\overline{S}$ («no obtener ningún 5 en ninguno de los dados») y aplicar $P(S) = 1 - P(\overline{S})$.

• Método 2 (Vía unión general): Definir $A$: «sale 5 en el primer dado» y $B$: «sale 5 en el segundo dado», y calcular $P(S) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

1. a) Desarrolla por completo ambos métodos, justificando en cada paso qué axioma o propiedad de la probabilidad sustenta cada igualdad y aplicando la regla de Laplace. Comprueba que ambos procedimientos conducen al mismo resultado.
2. b) Imagina que el juego se generaliza al lanzamiento simultáneo de 6 dados equilibrados y se busca la probabilidad de obtener al menos un 5. Analiza y justifica cuál de los dos métodos resulta claramente más eficiente y escalable, explicando las dificultades algebraicas que implicaría aplicar el otro.

En un sistema de ciberseguridad, un usuario debe crear un PIN numérico de 4 dígitos (del 0 al 9). Si el sistema genera un PIN aleatorio, calcula la probabilidad de que el PIN contenga exactamente dos dígitos iguales (por ejemplo, 1213 o 9904, pero no 2225 ni 1122). Utiliza la regla de Laplace y técnicas de combinatoria.

En un control de calidad se aplican dos pruebas a una remesa de productos. Se sabe que la probabilidad de pasar la prueba $A$ es $P(A) = 0,85$ y la probabilidad de pasar la prueba $B$ es $P(B) = 0,75$. Sin conocer la probabilidad de la intersección, determina algebraicamente el valor máximo y el valor mínimo que puede tomar la probabilidad de que un producto pase ambas pruebas, $P(A \cap B)$.

En el diseño de un circuito lógico, la activación de un relé depende de los eventos $A$ y $B$ según la expresión booleana que define el evento $K$: $K = (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})$.

Simplifica analíticamente la expresión del evento $K$ utilizando las propiedades del álgebra de eventos. Posteriormente, calcula $P(K)$ sabiendo que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cup B) = 0,8$.

Un equipo de control de calidad analiza dos eventos de parada operativa, $A$ y $B$, en una línea de montaje. Las probabilidades estimadas dependen de un parámetro de diseño $k \in \mathbb{R}$, de modo que $P(A) = k$, $P(B) = 2k - 0,1$ y se sabe que la probabilidad de que se detenga la línea por al menos una de las dos causas es $P(A \cup B) = 0,70$. Por requisitos de monitoreo, se exige que ambos eventos puedan coexistir con una probabilidad que verifique $P(A \cap B) \geq 0,10$.

1. a) Utilizando los axiomas de Kolmogórov, la propiedad de la adición para eventos compatibles y las cotas universales que debe respetar $P(A \cap B)$ respecto a $P(A)$ y $P(B)$, deduce razonadamente el intervalo de valores admisibles para el parámetro $k$.
2. b) Para el valor mínimo admisible de $k$ obtenido en el apartado anterior, plantea un problema inverso de diseño: construye un espacio muestral $E$ discreto y finito con el menor número posible de eventos elementales equiprobables (para aplicar la regla de Laplace) y define por extensión los subconjuntos que representen a $A$, a $B$ y a su intersección, comprobando que reproducen exactamente las probabilidades calculadas.

A partir de las series históricas del SENAMHI en una zona de montaña, se definen para un día invernal tres eventos: $L$ («precipitaciones en forma de lluvia o nieve»), $N$ («cielo con nubosidad compacta superior al $80\,\%$) y $V$ («rachas de viento fuerte superiores a $70\text{ km/h}$»). Los datos avalan que $P(L) = 0,65$, $P(N) = 0,80$ y $P(V) = 0,35$. Además, las leyes físicas implican que no puede haber precipitación sin dicha nubosidad compacta ($L \subseteq N$).

1. a) Demuestra formalmente, utilizando únicamente los axiomas de Kolmogórov y la descomposición de $N$ en unión de eventos incompatibles, que $P(L \cap N) = P(L)$ y que $P(\overline{L} \cap N) = P(N) - P(L)$. Calcula el valor numérico de ambas probabilidades.
2. b) Sin asumir ninguna relación de dependencia ni independencia física previa entre el viento $V$ y la nubosidad $N$, deduce a partir de los axiomas el intervalo numérico más estrecho posible $[m, M]$ dentro del cual debe encontrarse con certeza la probabilidad $P(N \cap V)$.
3. c) Un informe meteorológico preliminar asegura que «la probabilidad de que llueva o haga viento fuerte es $P(L \cup V) = 0,20$». Demuestra mediante contradicción lógica, apoyándote en la propiedad de monotonía o en las cotas de la intersección, por qué dicha afirmación es matemáticamente imposible.