Ejercicios: Conceptos previos

Se lanza un dado de $8$ caras con forma de octaedro regular, numeradas del $1$ al $8$. Escribe el espacio muestral $E$ asociado a este experimento aleatorio y determina los elementos que componen los siguientes eventos:

• $A =$ "Obtener un número primo".

• $B =$ "Obtener un número mayor que $5$".

• $C = A \cap B$.

En el departamento de control de calidad de una fábrica de componentes electrónicos, se extrae al azar una pieza de un lote de prueba. El lote contiene $5$ piezas defectuosas de color rojo, $3$ piezas funcionales de color azul y $2$ piezas funcionales de color amarillo.

Calcula, utilizando la regla de Laplace, la probabilidad de:

1. a) Extraer una pieza de color azul.
2. b) Extraer una pieza que sea funcional (no defectuosa).
3. c) Extraer una pieza que no sea amarilla.

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un mismo experimento aleatorio. Se conocen las siguientes probabilidades: $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ y la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es $P(A \cap B) = 0,15$.

Calcula la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos eventos, es decir, $P(A \cup B)$, y la probabilidad de que no ocurra $A$, denotada como $P(\overline{A})$.

De una baraja española de $40$ cartas, se extrae una carta al azar. Define los eventos $A =$ "Sacar un Rey" y $B =$ "Sacar una carta de Espadas".

Determina las probabilidades $P(A)$, $P(B)$ y $P(A \cap B)$. A partir de ellas, calcula la probabilidad de sacar un Rey o una carta de Espadas.

Un estudiante de ingeniería informática está configurando un nuevo servidor. Puede elegir entre $3$ modelos de procesador, $4$ capacidades de memoria RAM distintas y $2$ tipos de disco duro (SSD o NVMe). Aplicando el principio multiplicativo, ¿cuántas configuraciones distintas de servidor puede crear eligiendo exactamente un componente de cada tipo? Si elige una configuración al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un disco NVMe?

Se realiza el experimento aleatorio de lanzar un dado cúbico perfecto numerado del $1$ al $6$. Considera los eventos $A =$ "Obtener un número par" y $B =$ "Obtener un número primo mayor que $2$".

Escribe los elementos de cada evento y determina, justificando tu respuesta, si los eventos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles.

Se lanzan simultáneamente $3$ monedas equilibradas (no cargadas). Escribe el espacio muestral completo $E$ usando la notación $C$ para cara y $X$ para sello. A continuación, calcula la probabilidad de obtener exactamente dos caras.

En un estudio de meteorología, la probabilidad de que llueva el sábado es $P(S)$ y la de que llueva el domingo es $P(D)$. Sabiendo que la probabilidad de que llueva en al menos uno de los dos días del fin de semana es $P(S \cup D) = 0,85$, utiliza las leyes de De Morgan o las propiedades del evento contrario para calcular la probabilidad de que no llueva ningún día del fin de semana, es decir, $P(\overline{S} \cap \overline{D})$.

En un estudio meteorológico, se registran los siguientes eventos para un determinado día de otoño: $L =$ «llueve» y $V =$ «hay rachas de viento fuerte», con probabilidades conocidas $P(L) = 0,40$, $P(V) = 0,30$ y $P(L \cap V) = 0,15$.

Lucía debe calcular la probabilidad de que un día «no llueve y tampoco haga viento fuerte». En su cuaderno escribe:

«El evento contrario a que no ocurra ninguna de las dos cosas es que ocurran las dos al mismo tiempo, es decir, el complementario de la intersección: $\overline{L \cap V}$. Por tanto: $P(\overline{L \cap V}) = 1 - P(L \cap V) = 1 - 0,15 = 0,85$».

1. a) Localiza el error conceptual cometido por Lucía al traducir la frase verbal a operaciones de conjuntos y explica razonadamente por qué su equivalencia lógica es falsa.
2. b) Escribe la expresión conjuntista correcta para el evento «no llueve y no hace viento» y utiliza una de las leyes de De Morgan para hallar su probabilidad correcta.

Para un juego de probabilidad en el aula, se diseña una ruleta circular dividida en $n$ sectores idénticos equiprobables, numerados del $1$ al $n$ (donde $n \ge 5$). Se definen los eventos $A =$ «obtener un número par» y $B =$ «obtener un número estrictamente mayor que $5$».

1. a) Determina por extensión los elementos del evento diferencia $A - B$ y razona por qué su número de elementos es constante para cualquier $n \ge 5$.
2. b) Plantea una ecuación que relacione la probabilidad teórica de $A - B$ con el parámetro $n$, y calcula el valor de $n$ necesario para que se cumpla exactamente $P(A - B) = 0,25$.
3. c) Para el valor de $n$ hallado en el apartado anterior, justifica si $A$ y $B$ son eventos compatibles o incompatibles, y calcula la probabilidad de su unión $P(A \cup B)$.

En un instituto tecnológico de $150$ alumnos, se realizó una encuesta sobre el uso de lenguajes de programación. Los resultados muestran que $85$ alumnos programan en Python ($P$), $60$ programan en Java ($J$) y $25$ programan en ambos lenguajes.

Si se selecciona un alumno al azar de este instituto, halla las siguientes probabilidades:

1. a) Que programe en al menos uno de los dos lenguajes.
2. b) Que no programe en ninguno de estos dos lenguajes.
3. c) Que programe en Python, pero no en Java.

Para acceder a una base de datos segura, un empleado debe generar un código PIN numérico de $4$ dígitos (del $0$ al $9$). El sistema permite que los dígitos se repitan. Calcula la probabilidad de que un PIN generado de forma completamente aleatoria cumpla la siguiente condición: el primer dígito es un $7$ y el último dígito es par (considerando el $0$ como par).

En una línea de ensamblaje de motores eléctricos, se sabe que la probabilidad de que un motor presente un defecto de tipo mecánico es $P(M) = 0,06$, la probabilidad de que presente un defecto de tipo eléctrico es $P(E) = 0,04$, y la probabilidad de que presente ambos defectos simultáneamente es $P(M \cap E) = 0,01$. Calcula la probabilidad de que un motor elegido al azar:

1. a) Presente al menos un defecto.
2. b) No presente ningún defecto.
3. c) Presente un defecto mecánico sabiendo que no presenta ningún defecto eléctrico (expresa la fórmula de la diferencia de eventos $P(M \cap \overline{E})$).

Se lanzan dos dados cúbicos equilibrados, uno rojo y otro azul. Se anota el puntaje de la cara superior de cada uno. Calcula la probabilidad de que ocurra el evento $A =$ "La suma de los puntajes es exactamente $8$" o el evento $B =$ "El valor absoluto de la diferencia entre los puntajes es exactamente $2$". ¿Son $A$ y $B$ eventos incompatibles?

En una clínica veterinaria, el $55\%$ de los perros atendidos están vacunados contra la rabia ($R$), el $40\%$ están vacunados contra el parvovirus ($P$) y el $25\%$ están vacunados contra ambas enfermedades. Se elige el historial de un perro al azar. Calcula la probabilidad de que:

1. a) Esté vacunado contra la rabia pero no contra el parvovirus, es decir, $P(R - P)$.
2. b) Esté vacunado contra exactamente una de las dos enfermedades.

Un equipo de investigación está formado por $12$ especialistas: $7$ biólogos y $5$ químicos. Se debe seleccionar al azar un comité representativo de $3$ personas para asistir a un congreso internacional. Utilizando técnicas de combinatoria (combinaciones), calcula la probabilidad de que el comité esté formado exclusivamente por biólogos.

Se diseña el siguiente juego de azar estructurado en dos fases: en la primera fase, se extrae una carta de una baraja española de $40$ cartas. Si la carta extraída es una figura (sota, caballo o rey), en la segunda fase se lanza un dado cúbico de $6$ caras. Si la carta no es una figura, en la segunda fase se lanza una moneda ($C$ o $X$).

Calcula el número total de resultados posibles que forman el espacio muestral de este experimento compuesto. Si todos los resultados elementales de cada fase son equiprobables en su respectivo subespacio, ¿es equiprobable el espacio muestral final compuesto? Razona tu respuesta.

Una urna opaca contiene $4$ bolas blancas y $6$ bolas negras. Se van a extraer $2$ bolas consecutivamente.

1. a) Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean blancas si la extracción se realiza con reemplazamiento (la primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda).
2. b) Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean blancas si la extracción se realiza sin reemplazamiento.

En una encuesta realizada a los alumnos de 1.º de Bachillerato de un instituto sobre sus actividades extraescolares, se definen los sucesos $D =$ «practica deporte de forma regular» y $M =$ «estudia música o toca un instrumento». Se sabe que $P(D) = 0,70$ y $P(M) = 0,45$.

1. a) Antes de calcular nada, justifica mediante las propiedades de la probabilidad si es posible que $D$ y $M$ sean sucesos incompatibles. A partir de esa deducción, estima el intervalo de valores posibles (mínimo y máximo) entre los que debe situarse necesariamente la probabilidad de la intersección, $P(D \cap M)$.
2. b) Tras completar la encuesta, se comprueba que la probabilidad de que un alumno no practique deporte ni estudie música es exactamente $0,10$. A partir de este dato y aplicando las leyes de De Morgan, calcula el valor exacto de $P(D \cap M)$ y el de $P(D - M)$.
3. c) Comprueba si el valor de $P(D \cap M)$ obtenido en el apartado b coincide con el rango que habías estimado en el apartado a y explica el significado del suceso $D - M$ en el contexto del instituto.

A partir de los datos de movilidad urbana juvenil publicados por consorcios de transporte en España, se analiza cómo se desplazan los estudiantes de un municipio. Se consideran los siguientes eventos:

$M =$ «utiliza habitualmente el metro»,

$A =$ «utiliza habitualmente el autobús urbano»,

$B =$ «utiliza bicicleta o scooter eléctrico personal».

Los registros muestran las siguientes probabilidades: $P(M) = 0,45$; $P(A) = 0,50$; $P(B) = 0,30$; $P(M \cap A) = 0,20$; $P(M \cap B) = 0,12$; $P(A \cap B) = 0,15$, y la probabilidad de combinar los tres medios es $P(M \cap A \cap B) = 0,05$.

1. a) Modela la situación expresando en lenguaje conjuntista (utilizando uniones, intersecciones o complementarios) los siguientes eventos: $S_1 =$ «utiliza al menos uno de los tres transportes», $S_2 =$ «no utiliza ninguno de estos tres transportes», y $S_3 =$ «utiliza exclusivamente el metro».
2. b) Calcula la probabilidad de $S_1$ aplicando la fórmula general para la unión de tres eventos.
3. c) Halla la probabilidad de $S_2$ y de $S_3$, detallando los pasos intermedios.

En una plataforma de entretenimiento digital con $500$ suscriptores, se analizan las preferencias por tres géneros: Acción ($A$), Comedia ($C$) y Drama ($D$). Los datos revelan que:

• $220$ ven Acción, $180$ ven Comedia, $150$ ven Drama.

• $70$ ven Acción y Comedia, $50$ ven Acción y Drama, $40$ ven Comedia y Drama.

• $15$ ven los tres géneros.

Si se elige un suscriptor al azar, halla la probabilidad de que:

1. a) Vea exclusivamente películas de Acción.
2. b) Vea exactamente un solo género de los tres.
3. c) No vea ninguno de estos tres géneros.

Un servidor de bases de datos genera claves de seguridad temporales de $6$ caracteres. Cada carácter se elige al azar de un conjunto formado por las $26$ letras del alfabeto y los $10$ dígitos numéricos, sin permitir la repetición de ningún carácter en la misma clave.

Utilizando conceptos de combinatoria (variaciones y combinaciones), determina la probabilidad de que una clave generada aleatoriamente contenga exactamente $2$ letras y $4$ dígitos, sin importar el orden en el que aparezcan.

La diferencia simétrica de dos eventos $A$ y $B$, denotada como $A \triangle B$, se define como el evento de que ocurra $A$ o $B$, pero no ambos simultáneamente. Algebraicamente, $A \triangle B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$.

Demuestra la relación $P(A \triangle B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$. A continuación, sabiendo que $P(A \cup B) = 0,85$, $P(\overline{A}) = 0,3$ y $P(B) = 0,6$, calcula el valor numérico de $P(A \triangle B)$.

Una antena de telecomunicaciones tiene un radio de cobertura circular perfecto de $10\text{ km}$. La antena está situada exactamente en el centro de una región cuadrada de $20\text{ km}$ de lado (de modo que el círculo de cobertura está inscrito en el cuadrado).

Si se detecta una señal de un dispositivo celular en un punto aleatorio dentro de la región cuadrada (siguiendo una distribución uniforme), ¿cuál es la probabilidad de que el dispositivo se encuentre dentro de la zona de cobertura de la antena? Expresa el resultado exacto en función de $\pi$ y su aproximación con dos decimales.

Se ha fabricado un dado cúbico trucado de forma que la probabilidad de que salga cada cara es directamente proporcional al número de dicha cara. Es decir, $P(x) = k \cdot x$ para $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, donde $k$ es una constante real.

1. a) Calcula el valor exacto de la constante $k$ sabiendo que la suma de las probabilidades del espacio muestral debe ser $1$.
2. b) Calcula la probabilidad de obtener un número primo al lanzar este dado trucado.

Una caja de componentes de robótica contiene $n$ LEDs de color verde y $5$ LEDs de color rojo. Se extraen al azar y sin reemplazamiento $2$ LEDs de la caja. Si se sabe que la probabilidad de que ambos LEDs extraídos sean de color verde es exactamente $\frac{1}{6}$, plantea una ecuación cuadrática en función de $n$ y resuélvela para determinar cuántos LEDs verdes había inicialmente en la caja.

En un sistema de control aeroespacial, tres sensores $A$, $B$ y $C$ están dispuestos de tal forma que el sensor $A$ está en serie con un bloque formado por los sensores $B$ y $C$ en paralelo. El sistema funciona si la señal puede atravesarlo de izquierda a derecha.

Las probabilidades de fallo individual de cada sensor son $P(F_A) = 0,1$, $P(F_B) = 0,2$ y $P(F_C) = 0,2$. Sabiendo que los fallos se producen de forma independiente (es decir, la probabilidad de intersección es el producto de probabilidades: $P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y)$), calcula la probabilidad de que el sistema global funcione correctamente. (Nota: el sistema funciona si $A$ funciona y, además, funciona $B$ o funciona $C$).

En un estudio de toxicología ambiental en un río, se monitorean tres contaminantes. Sean $A$, $B$ y $C$ los eventos de encontrar niveles peligrosos del contaminante respectivo. Se sabe que $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ y $P(C) = \frac{1}{4}$.

Además, se sabe que los contaminantes $A$ y $B$ nunca aparecen juntos en niveles peligrosos (son eventos incompatibles), y que siempre que se detecta el contaminante $C$, también se detecta el contaminante $B$ (es decir, $C$ es un subconjunto de $B$, $C \subset B$).

Calcula la probabilidad de no encontrar ni el contaminante $A$ ni el contaminante $B$, es decir, $P(\overline{A} \cap \overline{B})$, y la probabilidad de encontrar al menos uno de los tres contaminantes, $P(A \cup B \cup C)$.

En una planta de fabricación de microchips en España, cada componente se somete a tres controles de calidad automatizados. Se definen los eventos de fallo: $F_1 =$ «falla el test eléctrico», $F_2 =$ «falla el test térmico» y $F_3 =$ «falla el test óptico». Los datos históricos de control son: $P(F_1) = 0,08$; $P(F_2) = 0,06$; $P(F_3) = 0,05$; $P(F_1 \cap F_2) = 0,02$; $P(F_1 \cap F_3) = 0,015$; $P(F_2 \cap F_3) = 0,01$ y $P(F_1 \cap F_2 \cap F_3) = 0,003$.

El equipo de ingeniería de calidad necesita determinar la probabilidad de que una pieza supere con éxito al menos uno de los tres tests (es decir, que no falle simultáneamente en todos ellos).

Para calcular dicha probabilidad, dos técnicos proponen vías distintas:

• Método de Marcos: Expresa el evento como $\overline{F_1} \cup \overline{F_2} \cup \overline{F_3}$ y propone aplicar directamente la fórmula de la unión de tres eventos: $P(\overline{F_1} \cup \overline{F_2} \cup \overline{F_3}) = P(\overline{F_1}) + P(\overline{F_2}) + P(\overline{F_3}) - P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2}) - P(\overline{F_1} \cap \overline{F_3}) - P(\overline{F_2} \cap \overline{F_3}) + P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2} \cap \overline{F_3})$.

• Método de Sara: Aplica las leyes de De Morgan generalizadas a tres eventos para transformar la unión de complementarios en el complementario de una intersección directa, calculando el resultado en un único paso.

1. a) Resuelve el problema aplicando el método de Sara y calcula el valor numérico final.
2. b) Sin necesidad de operar todos los números del método de Marcos, explica qué dificultad operativa presenta: ¿cómo tendría que calcular Marcos probabilidades como $P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2})$ o $P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2} \cap \overline{F_3})$ a partir de los datos dados?
3. c) Compara ambos métodos: justifica cuál es más eficiente y explica por qué el paso al complementario es una técnica fundamental para simplificar problemas de probabilidad.

Un laboratorio de análisis de riesgos evalúa tres escenarios críticos $A$, $B$ y $C$ en una infraestructura. Se dispone de la siguiente información sobre sus probabilidades:

• Los eventos $A$ y $B$ son incompatibles ($A \cap B = \emptyset$).

• Los eventos $B$ y $C$ son incompatibles ($B \cap C = \emptyset$).

• Los eventos $A$ y $C$ son compatibles, con $P(A \cap C) = 0,10$.

• Las probabilidades individuales dependen de un parámetro $p \in \mathbb{R}$: $P(A) = 2p$, $P(B) = 3p$ y $P(C) = 0,35$.

1. a) Demuestra algebraicamente cómo se reduce la fórmula general de la unión de tres eventos, $P(A \cup B \cup C)$, al sustituir las condiciones de incompatibilidad dadas.
2. b) Se sabe que la probabilidad de que no ocurra ninguno de los tres escenarios de riesgo es exactamente $0,15$. Plantea una ecuación a partir de las leyes de De Morgan y halla el valor del parámetro $p$.
3. c) Con el valor de $p$ obtenido, analiza si es matemáticamente viable que exista un cuarto escenario de riesgo $D \subseteq E$ que sea totalmente incompatible con $A \cup B \cup C$ y cuya probabilidad sea $P(D) = 0,20$. Si no es posible, deduce razonadamente cuál es la cota superior estricta para $P(D)$ y qué relación de inclusión conjuntista existe entre $D$ y el complementario $\overline{A \cup B \cup C}$.