Ejercicios: Inecuaciones lineales con dos incógnitas: sistemas

Representa gráficamente la inecuación $2x - 3y \le 6$. A continuación, indica dos puntos cuyas coordenadas pertenezcan a la región solución y dos puntos que no pertenezcan.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dado el sistema de inecuaciones lineales $x + y < 5$ y $2x - y \ge 0$, determina cuáles de los siguientes puntos son solución del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$, $C(3, 3)$ y $D(4, 0)$.

Representa gráficamente el sistema formado por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$ y $x - y \le 1$, sombreando de forma clara la región factible resultante.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

A partir de la región sombreada en la figura, determina la inecuación lineal con dos incógnitas que la define. Ten en cuenta que la recta límite pasa por los puntos $(0, 2)$ y $(3, 0)$ y que la región incluye el origen de coordenadas.

Halla algebraicamente las coordenadas de los vértices de la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x + y \le 4$.

Representa la región del plano que cumple simultáneamente las siguientes restricciones: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ e $y \le 3$.

Comprueba de forma analítica si el punto $P(1, 2)$ pertenece a la región definida por el sistema de inecuaciones: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ y $3x + 2y \ge 1$.

Representa el conjunto de soluciones del sistema formado por las inecuaciones $x + y \ge 2$ y $x + y \le 5$. Describe qué tipo de región geométrica se obtiene.

Para resolver gráficamente la inecuación $x - 2y > 0$, Mateo realiza el siguiente procedimiento en su cuaderno:

1.º Dibuja la recta frontera $x - 2y = 0$ con trazo continuo.

2.º Como punto de prueba para averiguar qué semiplano rayar, elige el origen de coordenadas $(0,0)$.

3.º Sustituye en la inecuación: $0 - 2 \cdot 0 > 0 \implies 0 > 0$, y razona: «Como la desigualdad es falsa, el origen no es solución; por tanto, la solución es el semiplano donde no está el origen, e incluyo la recta frontera porque es la que separa ambas regiones».

1. a) Identifica y explica los dos errores conceptuales que ha cometido Mateo (uno respecto a la elección del punto de prueba y otro respecto al tipo de trazo de la recta frontera).
2. b) Corrige el ejercicio: indica qué tipo de trazo corresponde a la frontera, elige un punto de prueba adecuado que no pertenezca a la recta (justificando tu elección) y determina con claridad qué semiplano es la solución.

Considera el siguiente sistema de inecuaciones lineales:

1. a) Estima: Sin dibujar los ejes ni realizar cálculos por escrito, observa las expresiones algebraicas e intuye razonadamente si los puntos $P(2, 3)$ y $Q(4, 3)$ pertenecerán a la región factible. Justifica tu predicción estimando mentalmente las sumas $x+y$ y $2x+y$ de cada punto frente a los valores límite $6$ y $4$.
2. b) Comprueba: Sustituye formalmente las coordenadas de $P$ y de $Q$ en cada una de las inecuaciones del sistema para verificar si tu estimación era correcta.
3. c) Valora: Representa gráficamente la región factible y confirma de forma visual que la posición de $P$ y $Q$ concuerda con lo que habías deducido.

Una pastelería elabora dos tipos de tartas, T1 y T2. La tarta T1 requiere $2$ horas de preparación y $1$ hora de horneado, mientras que la tarta T2 requiere $1$ hora de preparación y $2$ horas de horneado. Se dispone de un máximo de $10$ horas de preparación y $8$ horas de horneado al día. Plantea el sistema de inecuaciones que modeliza esta situación (considerando que las cantidades no pueden ser negativas) y representa gráficamente la región de posibles producciones diarias.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un agricultor dispone de $50$ hectáreas para sembrar trigo y cebada. La semilla de trigo cuesta $140$ bolivianos por hectárea y la de cebada $210$ bolivianos por hectárea. El presupuesto máximo para semillas es de $8\,400$ bolivianos. Además, por normativas ambientales, la superficie de cebada no puede superar el doble de la superficie de trigo. Escribe el sistema de inecuaciones asociado y halla los vértices de la región factible.

La figura muestra una región poligonal en el plano cartesiano que representa las combinaciones viables de producción de dos componentes electrónicos. Determina el sistema de inecuaciones que define dicha región, sabiendo que sus vértices son $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ y $D(2, 3)$.

Para transportar $60$ toneladas de mercancía, una empresa de logística cuenta con camiones grandes con capacidad para $8$ toneladas y camiones pequeños con capacidad para $5$ toneladas. Por restricciones de personal, no se pueden enviar más de $10$ vehículos en total. Plantea el sistema de inecuaciones que determina el número de camiones de cada tipo que se pueden utilizar y halla analíticamente los vértices de la región solución.

Representa gráficamente el sistema de inecuaciones $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcula las coordenadas exactas de los vértices de la región resultante.

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Un entrenador personal planifica una rutina con ejercicios de fuerza ($x$) y ejercicios de cardio ($y$). El tiempo total de entrenamiento debe estar entre $40$ y $60$ minutos. Cada ejercicio de fuerza dura $5$ minutos y cada uno de cardio $10$ minutos. Además, el número de ejercicios de fuerza debe ser al menos igual al número de ejercicios de cardio. Plantea el sistema de inecuaciones y represéntalo gráficamente.

Una empresa de alquiler de vehículos dispone de autos y furgonetas. El mantenimiento diario de un auto cuesta $70$ bolivianos y el de una furgoneta $140$ bolivianos. El presupuesto diario para mantenimiento no supera los $2\,100$ bolivianos. El parqueo tiene capacidad máxima para $20$ vehículos. Determina la región factible y halla el número máximo de furgonetas que pueden mantenerse si se tienen exactamente $5$ autos.

Calcula el área de la región del plano definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $y \ge x + 2$, $y \ge -x + 2$ e $y \le 4$.

En un plano de ordenación urbana se ha delimitado una zona verde triangular cuyos vértices exactos son $A(0, 1)$, $B(4, 1)$ y $C(2, 5)$.

1. a) Obtén la ecuación general o implícita ($ax + by = c$) de cada una de las tres rectas que contienen a los lados del triángulo (lados $AB$, $AC$ y $BC$).
2. b) Escribe un sistema de tres inecuaciones lineales con dos incógnitas cuya región factible coincida exactamente con el interior y los lados de dicho triángulo.
3. c) Justifica cómo has decidido el sentido de cada desigualdad ($\le$ o $\ge$) comprobando que las coordenadas de un punto interior evidente (como el punto $(2, 2)$) satisfacen simultáneamente las tres inecuaciones planteadas.

Un coliseo municipal organiza semanalmente sesiones de natación adaptada ($x$, en horas) y pilates para adultos mayores ($y$, en horas). El gobierno autónomo municipal fija las siguientes condiciones de gestión:

• Entre ambas actividades no se pueden superar las $30$ horas semanales en total.

• Para atender la demanda mínima del colectivo de adultos mayores, se deben programar al menos $8$ horas semanales de pilates.

• La piscina reservada solo está disponible un máximo de $18$ horas semanales para natación adaptada.

• Por criterio pedagógico, el número de horas de pilates debe ser, como mínimo, la mitad del número de horas dedicadas a natación adaptada.

1. a) Plantea el sistema de inecuaciones lineales que modeliza todas las restricciones (incluidas las de no negatividad) e interpreta el significado de cada inecuación.
2. b) Representa gráficamente la región factible y halla las coordenadas de todos sus vértices.
3. c) Una asociación propone programar $18$ horas de natación y $8$ horas de pilates. Comprueba si esa combinación es viable; si no lo es, explica qué condición incumple y cuál es el incremento mínimo en las horas de pilates necesario para hacerla viable manteniendo las $18$ horas de natación.

Una refinería produce dos tipos de aleaciones, A y B. Para la aleación A se necesitan $3$ kg de cobre, $1$ kg de zinc y $2$ kg de estaño por unidad. Para la aleación B, $1$ kg de cobre, $2$ kg de zinc y $3$ kg de estaño. Se dispone en el almacén de un máximo de $300$ kg de cobre, $200$ kg de zinc y $240$ kg de estaño. Plantea el sistema de inecuaciones que describe las posibles producciones de ambas aleaciones, representa la región factible y calcula las coordenadas de todos sus vértices.

Considera la región del plano definida por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ y $x - y \ge -2$. Demuestra algebraicamente que se trata de una región acotada y determina las coordenadas de los vértices que posee esta región.

Para la organización de un concierto se venden entradas VIP ($x$) y entradas estándar ($y$). El aforo máximo del recinto es de $5000$ personas. Por motivos de seguridad y rentabilidad, el número de entradas estándar no puede superar el triple de las entradas VIP. Además, los organizadores exigen que se vendan al menos $1000$ entradas VIP. Escribe el sistema de inecuaciones, halla los vértices de la región factible y determina algebraicamente si es posible vender exactamente $1500$ entradas VIP y $4000$ estándar.

Se da el sistema de inecuaciones $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ e $y \ge k$. Discute, en función del parámetro $k$, el número de vértices que tiene la región factible. ¿Para qué valores de $k$ la región factible se reduce al conjunto vacío?

Un nutricionista diseña una dieta basada en dos alimentos, X e Y. Cada porción del alimento X aporta $20$ g de proteínas, $10$ g de grasas y $40$ g de carbohidratos. Cada porción de Y aporta $15$ g de proteínas, $20$ g de grasas y $30$ g de carbohidratos. La dieta debe aportar al menos $120$ g de proteínas, no más de $100$ g de grasas y exactamente $240$ g de carbohidratos. Plantea el sistema de inecuaciones y ecuaciones asociado. ¿Se trata de una región bidimensional o de un segmento? Justifica tu respuesta y halla los extremos del conjunto solución.

La imagen muestra una región factible en forma de cuadrilátero, que modeliza las limitaciones de un proyecto de ingeniería de software (horas de programación en el eje $X$ vs horas de testeo en el eje $Y$). Los vértices son $P(0, 4)$, $Q(2, 5)$, $R(5, 2)$ y $S(3, 0)$. Determina el sistema de inecuaciones que define exactamente esta región.

Una fábrica de muebles produce sillas y mesas. Cada silla requiere $2$ horas de corte y $1$ hora de ensamblaje. Cada mesa requiere $1$ hora de corte y $3$ horas de ensamblaje. Los trabajadores pueden dedicar un máximo de $40$ horas semanales al corte y $60$ horas al ensamblaje. Además, por un contrato previo, se deben fabricar al menos $5$ mesas semanales y el número de sillas no puede ser inferior al número de mesas. Plantea el sistema de inecuaciones, represéntalo y halla todos los vértices de la región factible.

Dado el sistema de inecuaciones $2x + 3y \le 12$, $x - y \ge -1$ e $y \ge 0$. Analiza cómo cambia el área de la región factible si la primera restricción se modifica a $2x + 3y \le 12 + k$, con $k > 0$. Expresa el área de la nueva región en función de $k$, asumiendo que la forma geométrica del polígono resultante se mantiene como un triángulo.

Se quiere determinar si existe alguna solución para el siguiente sistema de inecuaciones:

Para resolverlo, tres estudiantes proponen caminos distintos:

• Camino A (Geométrico): Dibujar con precisión las cuatro rectas frontera, sombrear cada semiplano con puntos de prueba y buscar la región común.

• Camino B (Algebraico directo): Multiplicar la primera inecuación por $2$ y sumarla miembro a miembro con la segunda para analizar la desigualdad resultante.

• Camino C (Cálculo de vértices): Resolver los sistemas de ecuaciones lineales $2 \times 2$ igualando las rectas dos a dos para encontrar los vértices de la región factible.

1. a) Aplica el Camino B y explica qué conclusión inmediata e indiscutible permite extraer sobre la región factible.
2. b) Compara críticamente los tres caminos: argumenta por qué el Camino B es el más eficaz y explica la pérdida de tiempo o dificultad innecesaria que tendrían quienes apliquen el Camino A o el Camino C (analiza la posición relativa de las rectas frontera).
3. c) Justifica en qué tipo de problemas de sistemas de inecuaciones sí resultaría imprescindible aplicar el Camino A o el Camino C en lugar del Camino B.

Considera el sistema de inecuaciones lineales dependiente de un parámetro real $k$:

1. a) Para $k = 1$, representa gráficamente la región factible, calcula las coordenadas exactas de todos sus vértices y clasifica el polígono obtenido según su número de lados.
2. b) Analiza el papel del parámetro: determina de forma razonada para qué valores de $k \le 0$ la inecuación $x + y \le 6$ resulta redundante (es decir, cualquier punto del primer cuadrante que satisfaga $y - kx \le 2$ cumple ya automáticamente que $x + y \le 6$, de modo que la región factible pasa a ser un triángulo que no depende de la recta $x + y = 6$).
3. c) ¿Existe algún valor real de $k$ para el cual la región factible sea el conjunto vacío o se reduzca a un único punto? Justifica tu respuesta analizando la pertenencia del origen $(0,0)$ y el comportamiento de las desigualdades en un entorno de dicho punto.

Reto del tema. Auditoría energética y de confort en tu hogar.

1. Datos reales: Consulta en la web del SENAMHI la temperatura ($T$) y la velocidad del viento ($v$) de tu localidad, y en la tarifa de tu empresa distribuidora de electricidad (por ejemplo, ENDE) el precio del kWh.

2. Modelización univariable: Modela el confort térmico admisible con una inecuación de valor absoluto, $|T - 21| \le 2,5$, y la sensación frente al viento mediante una inecuación con raíz: $\sqrt{v} + T \ge 18$. A continuación, formula una inecuación de segundo grado que acote las horas de consumo crítico y una inecuación racional, como $\frac{P(t)}{t - 1} \le 1,4$, para controlar el costo medio unitario. Resuélvelas analíticamente.

3. Región factible con GeoGebra: Sean $x$ e $y$ las horas de uso de dos electrodomésticos de alto consumo. Plantea un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas según la potencia de cada aparato, un tope de energía diaria (kWh) y tu presupuesto diario. Obtén y sombrea la región factible.

4. Propuesta razonada: Redacta un informe breve justificando las franjas horarias óptimas a partir de los intervalos y vértices calculados.

Se valorará:

• Rigor algebraico en la resolución de inecuaciones racionales, con raíces, cuadráticas y de valor absoluto.

• Precisión gráfica en GeoGebra al delimitar la región factible del sistema lineal.

• Justificación coherente de la propuesta final a partir de los datos reales recogidos.