Ejercicios: Inecuaciones racionales

Resuelve la siguiente inecuación racional expresando su solución en forma de intervalo:

$\frac{x-4}{x+3} > 0$

Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación:

$\frac{2x+6}{x-1} \le 0$

Determina para qué valores de $x$ se cumple la siguiente desigualdad:

$\frac{-x+5}{x+2} \ge 0$

Resuelve la inecuación:

$\frac{x}{x-5} < 0$

Halla el intervalo solución de la inecuación racional:

$\frac{3x-9}{-x+4} \ge 0$

Resuelve la siguiente inecuación:

$\frac{x^2-9}{x+1} > 0$

Determina los valores de $x$ que verifican:

$\frac{4}{x-6} \le 0$

Resuelve la inecuación:

$\frac{-5}{2x+3} > 0$

Marcos intenta resolver en la pizarra la inecuación racional $\frac{x - 3}{x + 2} \le 0$ y realiza el siguiente procedimiento:

«Multiplico ambos miembros por $(x + 2)$ para eliminar el denominador: $(x - 3) \le 0 \cdot (x + 2) \implies x - 3 \le 0 \implies x \le 3$. Por tanto, el conjunto solución es $(-\infty, 3]$».

1. a) Identifica y explica de forma razonada el error conceptual que comete Marcos al multiplicar por $(x + 2)$. ¿Por qué esa operación no es válida en una inecuación si no conocemos el signo de la expresión?
2. b) Corrige el ejercicio resolviendo la inecuación paso a paso mediante el estudio de signos en los intervalos correspondientes y escribe la solución correcta en forma de intervalo, justificando por qué un extremo es abierto y el otro cerrado.

Dada la inecuación racional $\frac{x + 5}{x - 1} > 0$:

1. a) Antes de realizar ningún cálculo formal, estima el comportamiento de la fracción: ¿qué signo tendrá si evaluamos valores de $x$ positivos muy grandes (por ejemplo, $x = 100$)? ¿Y si tomamos valores negativos con valor absoluto muy grande (por ejemplo, $x = -100$)? A partir de esta observación, conjetura si la solución estará formada por la unión de dos semirrectas infinitas o por un único intervalo acotado central.
2. b) Resuelve la inecuación hallando las raíces del numerador y del denominador y elaborando la tabla de signos.
3. c) Comprueba si el resultado obtenido confirma tu estimación inicial y explica por qué ambos extremos deben ser abiertos a pesar de que el numerador se anule en $x = -5$.

Resuelve la siguiente inecuación racional y expresa la solución mediante intervalos:

$\frac{x^2-5x+6}{x^2-1} \le 0$

Encuentra el conjunto solución de la inecuación:

$\frac{x+3}{x-2} \ge 2$

El costo medio diario (en bolivianos) de producir $x$ componentes electrónicos en una fábrica viene dado por la expresión $C(x) = \frac{5\,600+105x}{x}$. Determina para qué niveles de producción el costo medio será estrictamente inferior a $175$ bolivianos por componente.

El tiempo $T$ (en horas) que tarda una embarcación en recorrer una distancia de $120$ km a favor de la corriente se modeliza mediante $T(v) = \frac{120}{v+4}$, donde $v$ es la velocidad propia del barco en km/h. ¿Para qué velocidades $v > 0$ el trayecto se realizará en menos de $5$ horas?

Resuelve la inecuación racional, prestando especial atención a las raíces múltiples del numerador:

$\frac{x^2-6x+9}{x+4} \le 0$

La tasa de crecimiento de una población bacteriana (en miles de bacterias por hora) en función del tiempo $t$ (en horas) está dada por la función $R(t) = \frac{t^2-16}{t+2}$. ¿En qué intervalos de tiempo $t \ge 0$ la tasa de crecimiento es estrictamente positiva?

Determina el conjunto de valores que satisfacen la siguiente desigualdad entre fracciones algebraicas:

$\frac{1}{x+1} < \frac{1}{x-3}$

La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo, medida en mg/L, $t$ horas después de su administración viene dada por la función $C(t) = \frac{4t}{t^2+4}$. ¿Durante qué intervalo de tiempo $t \ge 0$ la concentración del fármaco es mayor o igual a $1$ mg/L?

Construye una inecuación racional de la forma $\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$, donde tanto $P(x)$ como $Q(x)$ sean polinomios de grado 1 o 2 descompuestos en factores lineales, de modo que su conjunto solución sea exactamente $(-\infty, -3) \cup [2, 5)$.

Para justificar tu construcción:

1. Explica en qué posición (numerador o denominador) debes colocar cada raíz para garantizar qué extremos se incluyen y cuáles se excluyen obligatoriamente del conjunto solución.

2. Determina el signo global de la fracción (o del coeficiente principal) para que los tramos positivos coincidan con los intervalos pedidos.

3. Comprueba el resultado elaborando la tabla de signos completa de la inecuación que has propuesto.

Para resolver la inecuación racional $\frac{2x - 5}{x - 1} \le 1$, tres estudiantes proponen estrategias distintas:

• Lucía pasa el $1$ restando al primer miembro, reduce a común denominador para obtener una única fracción irreducible $\frac{P(x)}{Q(x)} \le 0$ y construye la tabla de signos.

• Sergio multiplica ambos miembros por $(x - 1)^2$, afirmando que al ser un cuadrado es estrictamente positivo para todo $x \ne 1$, lo que evita invertir el sentido de la desigualdad y elimina los denominadores.

• Paula divide el problema en dos casos según el signo del denominador: Caso 1 ($x - 1 > 0$) donde multiplica directamente manteniendo el sentido, y Caso 2 ($x - 1 < 0$) donde invierte el sentido de la desigualdad, uniendo las soluciones al final.

1. a) Analiza la validez matemática de los tres procedimientos: ¿son todos correctos desde el punto de vista algebraico?
2. b) Compara los tres métodos y justifica cuál consideras más eficiente y seguro para minimizar errores de cálculo en 1.º de Bachillerato.
3. c) Resuelve la inecuación aplicando el método que has seleccionado como preferible.

Resuelve la siguiente inecuación racional en la que el numerador es un polinomio de tercer grado:

$\frac{x^3-8}{x^2-2x-3} \ge 0$

Determina el dominio de definición de la función de variable real $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+4x+3}}$.

Encuentra el conjunto solución de la siguiente inecuación racional:

$\frac{x+2}{x-1} \le \frac{x-4}{x+2}$

Determina para qué valores del parámetro real $k$ la siguiente inecuación se cumple para todo $x \in \mathbb{R}$:

$\frac{x^2-kx+9}{x^2+1} > 0$

En óptica, la ecuación de las lentes delgadas relaciona la distancia focal $f$, la distancia del objeto $p$ y la distancia de la imagen $q$ mediante la fórmula $\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$. Si se utiliza una lente con una distancia focal $f = 12$ cm, determina para qué distancias del objeto $p > 0$ la distancia de la imagen $q$ será mayor de $24$ cm.

Resuelve la inecuación racional, factorizando previamente los polinomios del numerador y denominador:

$\frac{x^4-16}{x^3-2x^2} \le 0$

El índice de eficiencia térmica $E(r)$ de un sistema de refrigeración cilíndrico depende del radio $r$ (en metros) de los conductos según la función $E(r) = \frac{r^2-4r+3}{r^2-6r+8}$. Los ingenieros necesitan que este índice sea estrictamente negativo para que el sistema no se sobrecaliente. ¿Para qué valores del radio $r > 0$ el sistema es seguro? Apóyate en la representación gráfica de la función para justificar tu respuesta.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones racionales y expresa el resultado como unión de intervalos:

$\begin{cases} \frac{x-2}{x+3} \ge 0 \\ \frac{x^2-16}{x} \le 0 \end{cases}$

Un grupo de estudiantes de 1.º de Bachillerato de Huesca organiza una salida a los Pirineos. La empresa de autocares cobra una tarifa fija de $540$ bolivianos por el alquiler del vehículo más $12$ bolivianos individuales por plaza ocupada en concepto de seguro de viaje y gestión. El autocar tiene una capacidad máxima de $55$ plazas y, por política de la empresa, no realiza el trayecto si viajan menos de $15$ personas.

Para que la actividad sea aprobada por el centro, el coste medio por alumno participante, $C_m(x)$, no debe superar los $25$ bolivianos.

1. a) Escribe la expresión analítica del coste medio $C_m(x)$ en función del número de alumnos $x$ y plantea la inecuación racional correspondiente, indicando las restricciones de la variable $x$ impuestas por el contexto real.
2. b) Resuelve algebraicamente la inecuación racional pasando todos los términos a un miembro, reduciendo a una sola fracción y estudiando los signos de los factores.
3. c) Determina cuál es el número mínimo de estudiantes que deben inscribirse para que la excursión sea económicamente viable.
4. d) Si por un incremento en el precio del carburante la empresa eleva el coste fijo a $630$ bolivianos, calcula cuántos alumnos adicionales se necesitarían como mínimo respecto al caso anterior para no superar el límite de $25$ bolivianos por persona.

Se considera la familia de inecuaciones racionales dependientes del parámetro real $k$:

1. a) Realiza un análisis previo: estudia el discriminante del numerador, $\Delta = k^2 - 64$. Razona cómo influye el signo de $\Delta$ en la cantidad de raíces reales del numerador y en los posibles cambios de signo en la recta real.
2. b) Determina razonadamente el valor positivo de $k$ para el cual el conjunto solución de la inecuación es exactamente $(-\infty, 2) \cup \{4\}$. Justifica por qué aparece un punto aislado ($x = 4$) como parte de la solución en lugar de un intervalo continuo.
3. c) Con el valor de $k$ obtenido en el apartado anterior, comprueba la validez del resultado construyendo la tabla de signos en cada uno de los tramos que determinan las raíces.
4. d) Sin realizar cálculos adicionales, deduce cuál sería el conjunto solución si la inecuación original hubiera sido estricta: $\frac{x^2 - kx + 16}{x - 2} < 0$.