Ejercicios: Inecuaciones

Resuelve la siguiente inecuación de primer grado, expresando la solución en forma de intervalo:

$\frac{3x - 1}{2} - \frac{x + 4}{3} \leq \frac{5x}{6} + 1$

Halla el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación de segundo grado:

$-2x^2 + 8x - 6 > 0$

Determina los valores de $x$ que verifican la siguiente inecuación racional:

$\frac{x - 3}{x + 2} \leq 0$

Resuelve la siguiente inecuación con valor absoluto y representa la solución en la recta real:

$|2x - 5| < 3$

Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación:

$|3x + 1| \geq 8$

Resuelve la siguiente inecuación polinómica de grado superior, que ya se encuentra factorizada:

$(x - 1)(x + 2)(x - 4) \leq 0$

Determina el intervalo de valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación irracional, teniendo en cuenta el dominio de la raíz:

$\sqrt{2x - 4} < 4$

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales con una incógnita:

$2x - 3 < 5$

$4 - x \leq 2$

Irene intenta resolver la inecuación racional $\frac{2x - 6}{x + 1} \leq 0$ y escribe en su cuaderno los siguientes pasos:

«Multiplico ambos miembros por $(x + 1)$ para quitar la fracción:

$(x + 1) \cdot \frac{2x - 6}{x + 1} \leq 0 \cdot (x + 1) \implies 2x - 6 \leq 0$

Despejo la incógnita: $2x \leq 6 \implies x \leq 3$.

Por tanto, el conjunto solución es $(-\infty, 3]$».

1. a) Identifica y explica de forma razonada el error conceptual que comete Irene al eliminar el denominador de esa manera.
2. b) Proporciona un contraejemplo numérico (un valor perteneciente a $(-\infty, 3]$) que demuestre que la afirmación de Irene es incorrecta al sustituirlo en la inecuación original.
3. c) Resuelve la inecuación de forma correcta mediante el estudio del signo del numerador y del denominador, expresando el conjunto solución como intervalo y explicando por qué uno de sus extremos debe ser necesariamente abierto.

Encuentra, razonando cada paso, la inecuación que cumple las condiciones dadas en cada caso:

1. a) Una empresa de paquetería de Álava establece que el peso reglamentario $p$ (en kilogramos) de los paquetes estándar debe pertenecer al intervalo cerrado $[18, 26]$. Modela esta condición mediante una única inecuación con valor absoluto de la forma $|p - c| \leq r$, explicando con precisión el significado geométrico del centro $c$ y del radio o margen de tolerancia $r$.
2. b) Construye una inecuación polinómica de segundo grado con coeficiente principal unitario, de la forma $x^2 + bx + c < 0$, cuyo conjunto solución sea exactamente el intervalo abierto $(-4, 1)$. Justifica cómo deduces los valores numéricos de $b$ y $c$ a partir de las raíces y del signo del trinomio.

Una empresa de alquiler de vehículos ofrece dos tarifas. La tarifa A cobra 350 bolivianos fijos más 1,40 bolivianos por kilómetro recorrido. La tarifa B cobra 210 bolivianos fijos más 2,45 bolivianos por kilómetro recorrido. Plantea una inecuación y determina a partir de cuántos kilómetros resulta estrictamente más económica la tarifa A.

La altura $h$ (en metros) de un cohete de agua en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina el intervalo de tiempo durante el cual el cohete se encuentra a una altura estrictamente superior a 17 metros.

Resuelve la siguiente inecuación racional, asegurándote de agrupar todos los términos en un solo miembro antes de operar:

$\frac{2x + 1}{x - 3} \geq 2$

En una fábrica de piezas de precisión, el diámetro $d$ de un cilindro metálico debe medir 45 mm, con una tolerancia de error máxima de 0,02 mm. Expresa esta condición mediante una inecuación con valor absoluto y determina el intervalo de medidas aceptables para el diámetro.

Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación polinómica de cuarto grado. (Pista: utiliza la regla de Ruffini para factorizar el polinomio).

$x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6 < 0$

Resuelve la siguiente inecuación irracional. Presta especial atención al dominio de definición de la raíz cuadrada y a las condiciones que se generan al elevar al cuadrado:

$\sqrt{x + 2} \leq x$

Para que un determinado compuesto químico se mantenga estable, su temperatura $T$ (en grados Celsius) debe cumplir simultáneamente dos condiciones: el doble de la temperatura disminuida en 5 grados no debe superar los 35 grados, y la tercera parte de la temperatura aumentada en 10 grados debe ser estrictamente mayor que 15 grados. Plantea un sistema de inecuaciones y halla el rango de temperaturas en el que se mantiene estable el compuesto.

Determina el valor o los valores del parámetro $k$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - 6x + k > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.

Se quiere resolver la inecuación con radicales $\sqrt{2x + 7} \leq x + 1$.

1. a) Estima y analiza antes de operar: Determina primero el dominio de definición del radicando. A continuación, razona qué ocurre si $x < -1$ comparando los signos de ambos miembros (ten en cuenta que el radical principal $\sqrt{\phantom{x}}$ es siempre no negativo). ¿Puede haber soluciones reales menores que $-1$? Comprueba numéricamente si $x = 1$ verifica la desigualdad y predice si dicho valor formará parte de la solución.
2. b) Calcula: Resuelve algebraicamente la inecuación elevando al cuadrado ambos miembros de forma justificada e imponiendo las restricciones detectadas en el apartado anterior.
3. c) Comprueba: Expresa la solución final en notación de intervalos y confirma si concuerda punto por punto con las deducciones y estimaciones que realizaste en el apartado a).

En una explotación de invernaderos de Caranavi (La Paz), se ha modelizado que el rendimiento neto $R(t)$ (en miles de bolivianos) de la producción de pimiento según la temperatura media nocturna $t$ (en $^{\circ}\text{C}$, dentro del rango técnico viable $t \in [10, 26]$) viene dado por la función:

$R(t) = -t^2 + 34t - 240$

Para asegurar la viabilidad económica de la campaña, la cooperativa exige que el rendimiento neto sea de al menos $45$ mil bolivianos ($R(t) \geq 45$).

1. a) Modela la situación mediante una inecuación de segundo grado y calcula el intervalo de temperaturas $[t_{\min}, t_{\max}]$ en el que la explotación alcanza el rendimiento exigido.
2. b) Si durante una ola de frío el sistema térmico solo garantiza que la temperatura nocturna oscile en el intervalo $[12, 17]\text{ }^{\circ}\text{C}$, determina la intersección entre el intervalo de temperaturas garantizadas y el intervalo de viabilidad económica obtenido en el apartado anterior. Interpreta agronómicamente el resultado señalando en qué rango de temperaturas la cosecha no alcanzará la rentabilidad esperada.

Resuelve la siguiente inecuación racional. Ten en cuenta que los polinomios del numerador y del denominador pueden tener raíces comunes que simplifiquen la expresión, pero debes respetar el dominio original:

$\frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - x - 6} \leq 0$

Halla el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación que involucra un valor absoluto sobre una expresión cuadrática:

$|x^2 - 5x + 4| > 2$

Un ciclista planea una ruta de entrenamiento de 60 km. Se da cuenta de que si aumenta su velocidad media habitual en 5 km/h, tardaría al menos 1 hora menos en completar el recorrido. Si su velocidad media habitual es $v$ (en km/h), plantea una inecuación racional y resuélvela para determinar las posibles velocidades medias habituales del ciclista.

Resuelve la siguiente inecuación irracional, analizando cuidadosamente el dominio conjunto de las raíces y las implicaciones de elevar al cuadrado en cada paso:

$\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x - 2} > 1$

Discute, en función de los valores del parámetro real $m$, el conjunto de soluciones de la inecuación cuadrática:

$mx^2 - 2mx + 3 \leq 0$

Resuelve la siguiente inecuación que combina valor absoluto y una expresión racional. Expresa la solución como unión de intervalos:

$\left| \frac{2x - 1}{x + 3} \right| \geq 2$

Una empresa tecnológica fabrica placas solares. El costo de producción diario (en bolivianos) al fabricar $x$ placas es $C(x) = 1\,400 + 70x$. Los ingresos por la venta de $x$ placas vienen dados por la función $I(x) = 350x - 3,50x^2$. Plantea una inecuación para determinar cuántas placas deben fabricarse y venderse diariamente para que los beneficios superen los 2.800 bolivianos.

Demuestra teóricamente que para cualquier número real $x > 0$, se cumple la desigualdad $x + \frac{1}{x} \geq 2$. A partir de este resultado, determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\frac{x^2 + 9}{x} \geq 6$.

Para resolver la inecuación racional $\frac{2x - 1}{x - 3} \leq 3$, tres estudiantes de 1.º de Bachillerato plantean estrategias distintas:

• Método de Lucía (por casos): Distinguir dos casos según el signo de $x - 3$ (si $x - 3 > 0$ multiplica manteniendo la desigualdad; si $x - 3 < 0$ invierte el sentido).

• Método de David (multiplicar por el cuadrado): Multiplicar ambos miembros por $(x - 3)^2$, argumentando que como es positivo para todo $x \neq 3$, no hace falta separar en casos.

• Método de Alba (reducir a cero y tabla de signos): Restar $3$ en ambos lados, operar con común denominador hasta obtener una única fracción algebraica comparada con $0$, y estudiar los signos.

1. a) Resuelve la inecuación aplicando el método de Alba y escribe la solución como unión de intervalos.
2. b) Aplica el método de David y señala qué precaución crítica debe tomarse con el punto $x = 3$ al emitir la solución final para no cometer un error de dominio.
3. c) Evalúa y compara críticamente los tres métodos: discute sus ventajas, los riesgos habituales de error en cada uno y razona cuál es el método más aconsejable si tuvieras que resolver una inecuación con dos fracciones algebraicas como $\frac{2x - 1}{x - 3} \leq \frac{1}{x + 2}$.

Considera el siguiente sistema paramétrico de inecuaciones en una variable, donde $a \in \mathbb{R}$ es una constante real:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \leq 0 \\ x + a > 2 \end{cases}$

1. a) Resuelve la inecuación cuadrática y escribe su conjunto solución como un intervalo cerrado $[x_1, x_2]$.
2. b) Determina razonadamente el conjunto de valores del parámetro $a$ para que el sistema:

i) No tenga ninguna solución (el conjunto solución sea el conjunto vacío, $\emptyset$).

ii) Tenga como conjunto solución exactamente todo el intervalo cerrado obtenido en el apartado a).

iii) Tenga como conjunto solución un intervalo semiabierto cuya longitud sea estrictamente igual a $2$ unidades.

1. c) Razona si existe algún valor de $a$ para el cual la solución del sistema sea un intervalo cerrado $[c, d]$ de longitud menor que $4$. Justifica tu conclusión basándote en la interacción entre desigualdades estrictas y no estrictas al intersecar conjuntos.