Ejercicios: Vectores en el plano

Dados los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 3)$, calcula las componentes del vector $\vec{AB}$ y su módulo.

Considera los vectores $\vec{u} = (3, -2)$ y $\vec{v} = (-1, 4)$. Calcula las componentes del vector resultante de la operación $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$.

Determina las coordenadas del punto medio $M$ del segmento cuyos extremos son los puntos $P(-4, 7)$ y $Q(2, -3)$.

El punto $M(1, 2)$ es el punto medio del segmento $AB$. Si conocemos las coordenadas del extremo $A(-3, 5)$, halla las coordenadas del extremo $B$.

Observa los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ representados en la cuadrícula. Escribe sus componentes y calcula analíticamente las coordenadas del vector suma $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$.

Indica si los vectores $\vec{a} = (6, -9)$ y $\vec{b} = (-2, 3)$ son paralelos (tienen la misma dirección). Justifica tu respuesta matemáticamente.

Calcula el producto escalar de los vectores $\vec{p} = (4, 5)$ y $\vec{q} = (-2, 3)$. A partir del resultado, indica si son perpendiculares.

Halla los posibles valores de $x$ para que el vector $\vec{v} = (x, -8)$ tenga un módulo exactamente igual a $10$.

En una prueba de Geometría analítica, Marcos debe calcular las componentes del vector $\vec{AB}$ que une el origen $A(3, -2)$ con el extremo $B(-1, 4)$, así como su módulo exacto. En su hoja de examen escribe lo siguiente:

1) $\vec{AB} = (3 - (-1),\ -2 - 4) = (4, -6)$

2) $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 - 6^2} = \sqrt{16 - 36} = \sqrt{-20}$

Tras observar el resultado, Marcos concluye que «el vector no existe en el plano real porque la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real».

1. a) Localiza y explica detalladamente los dos errores conceptuales que ha cometido Marcos en su planteamiento.
2. b) Corrige el ejercicio paso a paso: halla las componentes correctas de $\vec{AB}$, calcula su módulo exacto mediante radicales y da también su valor aproximado con un decimal.

Un agente forestal recorre una senda en línea recta desde la base de vigilancia situada en el punto $P(2, 1)$ hasta un mirador ubicado en $Q(9, 5)$ (coordenadas en kilómetros).

1. a) Antes de calcular el módulo exacto, observa el desplazamiento que se produce en el eje horizontal ($x$) y en el vertical ($y$). Teniendo en cuenta que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es siempre mayor que el mayor de sus catetos y menor que la suma de ambos, y comparando la suma de los cuadrados de ambos desplazamientos con los cuadrados perfectos más cercanos, haz una estimación razonada y acota entre qué dos números enteros consecutivos debe encontrarse la distancia total recorrida (el módulo del vector $\vec{PQ}$).
2. b) Calcula las componentes del vector $\vec{PQ}$ y halla su módulo exacto en forma de raíz cuadrada.
3. c) Obtén la aproximación decimal de dicho módulo con dos cifras decimales, comprueba si tu estimación del apartado a) era acertada y razona si el resultado obtenido es coherente con la situación física.

Un dron de reparto vuela con una velocidad propia representada por el vector $\vec{v}_d = (12, 5)$ km/h. En ese instante, el viento sopla con una velocidad $\vec{v}_v = (-3, 2)$ km/h. Calcula el vector velocidad real del dron y su rapidez (el módulo del vector resultante).

Para instalar un panel solar con forma de paralelogramo $ABCD$, los técnicos han fijado tres de sus vértices en las coordenadas $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ y $C(6, 6)$ (en metros). Calcula las coordenadas del cuarto vértice $D$ utilizando operaciones con vectores.

En el diseño de un puente, tres pilares deben estar perfectamente alineados. En el plano del arquitecto, las bases de los pilares están situadas en las coordenadas $P(-2, 1)$, $Q(2, 3)$ y $R(8, k)$. Determina el valor de $k$ para que la alineación sea correcta.

En un experimento de física, se aplican dos fuerzas $\vec{F}_1 = (2, -1)$ N y $\vec{F}_2 = (-1, 3)$ N. Queremos obtener una fuerza resultante $\vec{R} = (4, 3)$ N combinando las dos primeras mediante un sistema que multiplica su intensidad. Halla los valores de los escalares $a$ y $b$ tales que $\vec{R} = a\vec{F}_1 + b\vec{F}_2$.

Una tubería rectilínea conecta una estación de bombeo $A(-15, 20)$ con un depósito $B(45, -12)$ (coordenadas en metros). Se quiere instalar una válvula de control exactamente en el punto medio del trayecto. Calcula las coordenadas donde se ubicará la válvula y la longitud total de la tubería.

En una mesa de billar, una bola es golpeada y sigue la trayectoria del vector $\vec{u} = (4, 3)$. Tras rebotar en la banda, su nueva trayectoria está dada por el vector $\vec{v} = (-3, k)$. Calcula el valor de $k$ para que la trayectoria de rebote forme un ángulo de $90^\circ$ con la trayectoria de llegada.

Un rayo láser parte de una fuente situada en $F(-3, -2)$ y se refleja en un espejo plano que coincide con el eje de abscisas (eje X). Si el punto exacto de impacto en el espejo es $I(1, 0)$, halla las coordenadas del punto simétrico de $F$ respecto al espejo y escribe las componentes del vector que define la trayectoria reflejada.

Averigua si el triángulo formado por las antenas de telecomunicaciones situadas en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(4, 6)$ y $C(9, -1)$ es un triángulo rectángulo. Utiliza el producto escalar de los vectores que forman sus lados para justificar tu respuesta.

El centro de coordinación de Salvamento Marítimo en Tarifa monitoriza una mancha de combustible que avanza a la deriva en el Estrecho de Gibraltar. Los datos indican que el vertido se desplaza en la dirección y sentido del vector $\vec{v} = (6, -2)$ (en millas náuticas por hora). Para contener la marea negra, un buque de intervención debe desplegar una barrera flotante en una dirección rigurosamente perpendicular al avance del vertido.

1. a) Modela el problema y calcula el valor de la coordenada $x$ para que el vector $\vec{u} = (x, 12)$ sea perpendicular a la dirección del vertido $\vec{v}$, aplicando la condición del producto escalar.
2. b) El buque cuenta con tramos de barrera que suman una longitud total de $15$ millas náuticas. Calcula el módulo del vector $\vec{u}$ obtenido en el apartado anterior y determina si la barrera disponible es más corta, igual o más larga que $|\vec{u}|$.
3. c) ¿Por qué número real positivo $k$ se debe multiplicar el vector $\vec{u}$ para obtener un vector con su misma dirección y sentido, pero cuya longitud coincida exactamente con las $15$ millas náuticas de la barrera disponible?

En el diseño de un logotipo con estética técnica, dos trazos rectilíneos vienen representados por los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Se sabe que el vector $\vec{u}$ tiene su origen en el punto $A(-2, 1)$ y su extremo en $B(2, 4)$. El segundo vector tiene componentes $\vec{v} = (k, -8)$, su origen se sitúa en el punto $C(5, -1)$ y debe ser obligatoriamente perpendicular a $\vec{u}$.

1. a) Plantea la ecuación correspondiente y calcula el valor del parámetro real $k$ para que ambos vectores sean perpendiculares.
2. b) Con el valor de $k$ ya determinado, halla las coordenadas del punto $D$, que es el extremo del vector $\vec{v}$.
3. c) Compara las longitudes de ambos trazos: calcula los módulos $|\vec{u}|$ y $|\vec{v}|$ e indica cuál es la relación de proporcionalidad exacta entre la longitud del vector $\vec{v}$ y la del vector $\vec{u}$.

Una viga de acero cuyos extremos están en las coordenadas $A(-4, 2)$ y $B(8, 14)$ debe cortarse en tres partes idénticas para fabricar soportes. Calcula las coordenadas de los dos puntos de corte $P$ y $Q$ que dividen al segmento $AB$ en tres partes de igual longitud.

Determina las coordenadas de un punto $P$ situado sobre el eje de ordenadas (eje Y) que se encuentre a la misma distancia de los puntos $A(2, 5)$ y $B(-4, 1)$.

Considera los vectores dependientes de un parámetro $\vec{u} = (m, 2)$ y $\vec{v} = (3, m-1)$. Halla los valores del parámetro $m$ en dos casos geométricos distintos:

1. a) Para que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean perpendiculares.
2. b) Para que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean paralelos.

Cuatro boyas delimitan una zona de reserva marina en los puntos $A(-2, -1)$, $B(4, 1)$, $C(5, 5)$ y $D(-1, 3)$. Demuestra en primer lugar, utilizando vectores, que la figura formada es un paralelogramo. A continuación, calcula el producto escalar de sus diagonales para comprobar si se trata específicamente de un rombo.

Encuentra las componentes de un vector $\vec{w}$ que sea perpendicular al vector $\vec{u} = (-5, 12)$ y cuyo módulo sea exactamente la mitad del módulo de $\vec{u}$. ¿Cuántas soluciones matemáticas existen para $\vec{w}$? Escríbelas todas.

Dos remolcadores tiran de un barco averiado situado en el origen de coordenadas. El primer remolcador ejerce una fuerza definida por el vector $\vec{F}_1 = (6, 8)$ kN. El segundo remolcador ejerce una fuerza $\vec{F}_2$. Sabiendo que la fuerza resultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ tiene la dirección del eje X positivo y un módulo de $12$ kN, determina las componentes del vector $\vec{F}_2$ y calcula su módulo.

Los puntos $A(-1, 3)$ y $B(5, -5)$ representan dos vértices opuestos de un terreno con forma de cuadrado $ABCD$. Calcula la longitud de la diagonal del cuadrado y el área total del terreno. A continuación, halla las coordenadas del centro exacto del cuadrado.

El baricentro $G$ (centro de gravedad) de un triángulo siempre se encuentra a una distancia de $\frac{2}{3}$ desde cualquier vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Si los vértices de una placa triangular metálica son $A(1, 1)$, $B(7, 3)$ y $C(4, 8)$, halla primero el punto medio $M$ del lado $BC$. Luego, usando el vector $\vec{AM}$, calcula las coordenadas exactas del baricentro $G$.

Una cooperativa agrícola va a adquirir una parcela triangular cuyos vértices en el plano catastral son $A(-2, 1)$, $B(2, 4)$ y $C(-1, 8)$ (coordenadas expresadas en hectómetros). Antes de escriturar la compra, los técnicos deben certificar si la parcela contiene un ángulo recto ($90^\circ$) para poder ubicar una nave de aperos en esa esquina.

Dos técnicos proponen caminos distintos:

• Método métrico (Marta): Hallar las longitudes de los tres lados mediante los módulos $|\vec{AB}|$, $|\vec{BC}|$ y $|\vec{AC}|$, y comprobar si verifican la igualdad del teorema de Pitágoras.

• Método vectorial (Carlos): Calcular las componentes de los vectores de los lados que confluyen en cada vértice y efectuar sus productos escalares para comprobar si alguno vale cero.

1. a) Resuelve el problema aplicando ambos métodos de forma completa y confirma en qué vértice se encuentra el ángulo recto.
2. b) Evalúa críticamente ambos procedimientos: ¿cuál de los dos métodos es más eficiente y directo desde el punto de vista del cálculo algebraico? Justifica tu respuesta analizando la necesidad de calcular raíces cuadradas y el riesgo de arrastrar errores de redondeo en cada caso.

Un estudio de arquitectura diseña una pérgola rectangular $ABCD$ en un parque de Cochabamba. En el proyecto se han fijado las coordenadas de tres de sus vértices: $A(1, 2)$, $B(5, 5)$ y $C(2, 9)$.

1. a) Demuestra analíticamente que los lados contiguos representados por los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$ forman un ángulo recto utilizando el producto escalar.
2. b) Para situar el cuarto vértice $D(x, y)$ de modo que la figura sea un paralelogramo rectángulo, se debe verificar la igualdad vectorial $\vec{AD} = \vec{BC}$. Deduce a partir de ella las coordenadas exactas del punto $D$.
3. c) Se van a instalar dos cables de acero como tensores diagonales que unirán los vértices opuestos: uno entre $A$ y $C$, y otro entre $B$ y $D$. Calcula los módulos $|\vec{AC}|$ y $|\vec{BD}|$ y demuestra analíticamente que ambas diagonales tienen la misma longitud.
4. d) Calcula el producto escalar de los vectores diagonales $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$ e interpreta geométricamente el resultado: ¿qué propiedad adicional tiene este rectángulo en cuanto a sus lados?