Ejercicios: Posición relativa de dos rectas

Escribe la posición relativa de las rectas $r: y = 3x - 5$ y $s: y = -2x + 4$ justificando tu respuesta a partir de sus pendientes.

Determina la posición relativa de las rectas $r: 2x - 4y + 6 = 0$ y $s: -x + 2y - 3 = 0$ comparando sus coeficientes.

Calcula las coordenadas del punto de corte de las rectas secantes $r: x + y - 4 = 0$ y $s: 2x - y - 5 = 0$.

Halla la ecuación explícita de la recta paralela a $r: y = -4x + 1$ que pasa por el punto $P(0, 3)$.

Comprueba si las rectas dadas en forma continua $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ y $s: \frac{x}{4} = \frac{y-1}{6}$ son paralelas o secantes.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que las rectas $r: 3x + ky - 2 = 0$ y $s: x - 2y + 5 = 0$ sean paralelas.

Dadas las rectas $r: x = 2 - t, y = 3 + 2t$ y $s: 2x + y - 7 = 0$, estudia su posición relativa comparando sus vectores directores y comprobando si un punto de $r$ pertenece a $s$.

Halla el punto de intersección de la recta $r: 3x - 2y - 12 = 0$ con el eje de abscisas (eje X).

Marcos tiene que determinar en clase la posición relativa de las rectas $r: 2x - 3y + 6 = 0$ y $s: 4x - 6y - 10 = 0$. En su cuaderno escribe:

«Calculo la razón de los coeficientes: $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$. Como da el mismo resultado, las dos rectas tienen exactamente los mismos puntos y, por tanto, son coincidentes».

1. a) Identifica el error conceptual que comete Marcos y explica qué comprobación olvidó realizar.
2. b) Corrige su resolución determinando la posición relativa correcta mediante el criterio de los coeficientes.
3. c) ¿Qué valor debería tener el término independiente de la recta $s$ para que la conclusión de Marcos fuera realmente correcta? Justifica tu respuesta.

Dada la recta $r: 3x - 4y + 12 = 0$:

1. a) Escribe la ecuación general de una recta $s$ que sea paralela a $r$ y que pase por el origen de coordenadas $(0, 0)$. Justifica su paralelismo comparando las razones de sus coeficientes.
2. b) Halla las coordenadas del punto de corte de la recta $r$ con el eje de abscisas ($y = 0$).
3. c) Escribe la ecuación general de una recta $t$ que sea secante a $r$ y cuya intersección con ella sea exactamente dicho punto de corte con el eje de abscisas. Explica cómo has elegido los coeficientes de $t$ para garantizar que no sea paralela a $r$.

Dos tuberías principales de riego en un campo de cultivo siguen las trayectorias de las rectas $r: 5x + 3y - 15 = 0$ y $s: 2x - y + 5 = 0$. Averigua si se cruzan y, en caso afirmativo, halla las coordenadas exactas del punto de conexión.

Una carretera recta sigue la ecuación $2x - y + 4 = 0$. Un repetidor de telefonía está situado en el punto $P(5, 1)$. Halla la ecuación general de la línea de cableado más corta (que debe ser perpendicular) que une el repetidor con la carretera.

En el plano arquitectónico de un edificio, dos muros de carga vienen dados por las ecuaciones $r: ax - 6y + 12 = 0$ y $s: 2x + by - 4 = 0$. Determina los valores de $a$ y $b$ para que ambos muros representen exactamente la misma línea (rectas coincidentes).

Un barco de rescate se desplaza por la línea recta que pasa por los puntos $A(-2, 1)$ y $B(4, 5)$. Un velero sigue la trayectoria dada por la recta $s: y = \frac{2}{3}x + 4$. Determina si sus trayectorias son paralelas o si, por el contrario, se cortan en algún punto.

Dos barcos navegan con trayectorias dadas por las ecuaciones paramétricas $r: x = 1 + 2t, y = -3 + t$ y $s: x = -1 + 4k, y = 2 + 2k$. Comprueba analíticamente si sus rutas son paralelas o si navegan por la misma línea.

Calcula el valor del parámetro $m$ para que las rectas $r: mx + 2y - 5 = 0$ y $s: 3x - y + 1 = 0$ sean perpendiculares.

En un programa de diseño 3D, un láser corta una plancha metálica a lo largo de la recta $r: 4x - 3y - 12 = 0$. Halla la ecuación general de otra recta de corte, paralela a la anterior, que pase por el punto $Q(-1, 2)$.

Dos cometas siguen trayectorias rectilíneas en un modelo espacial 2D. El primero pasa por los puntos $P(0, 4)$ y $Q(3, 0)$. El segundo tiene por ecuación continua $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{4}$. Comprueba si sus trayectorias se cruzan en algún punto o si son paralelas.

Para averiguar la posición relativa de las rectas $r: y = -\frac{3}{4}x + 2$ y $s: 6x + 8y - 5 = 0$, dos alumnas plantean caminos distintos:

• Elena propone transformar la recta $r$ a su forma general ($Ax + By + C = 0$) y aplicar directamente el criterio de proporcionalidad de coeficientes ($\frac{A_1}{A_2}$, $\frac{B_1}{B_2}$, $\frac{C_1}{C_2}$).

• David prefiere despejar la variable $y$ en la ecuación de $s$ para dejarla en forma explícita ($y = mx + n$) y comparar pendientes y ordenadas en el origen.

1. a) Aplica el método de Elena y concluye la posición relativa de ambas rectas.
2. b) Aplica el método de David y comprueba que se llega a la misma conclusión.
3. c) Compara ambos procedimientos: razona cuál de los dos consideras más directo o con menor riesgo de cometer errores de cálculo (signos o fracciones) para este par de ecuaciones concreto.

Considera las rectas $r: 2x - y - 6 = 0$ y $s: x + y - 6 = 0$.

1. a) Sin resolver el sistema algebraico, analiza el signo de las pendientes y obtén los puntos de corte con los ejes coordenados de cada recta. A partir de esa información geométrica cualitativa, estima de forma razonada en qué cuadrante del plano cartesiano se producirá el punto de corte entre $r$ y $s$.
2. b) Comprueba formalmente que son rectas secantes utilizando la relación entre sus coeficientes y calcula las coordenadas exactas de su punto de intersección resolviendo el sistema lineal.
3. c) Valora si las coordenadas obtenidas confirman tu estimación previa y explica por qué anticipar el cuadrante ayuda a detectar posibles fallos de signo en el cálculo algebraico.

Tres calles forman un parque triangular en el centro de una ciudad. Las ecuaciones de las calles son $r: x + y - 6 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ y $t: x - 2y + 6 = 0$. Calcula las coordenadas exactas de los tres vértices del parque.

Discute la posición relativa de las rectas $r: kx + y - 3 = 0$ y $s: 4x + ky - 6 = 0$ en función de los posibles valores del parámetro $k$.

Un robot aspirador se mueve sobre la trayectoria descrita por la recta $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Al encontrar un obstáculo exactamente en el punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y), gira $90^{\circ}$ y continúa su marcha en línea recta. Halla la ecuación general de la nueva trayectoria y el punto donde cortará al eje de abscisas (eje X).

Halla las coordenadas del punto simétrico de $A(2, 5)$ respecto de la recta $r: x - 2y + 3 = 0$.

Los lados de una finca con forma de cuadrilátero están situados sobre las rectas $r: 2x + y - 5 = 0$ y $s: x - 2y + 5 = 0$. Sabiendo que uno de los vértices de la finca es el punto $P(4, 2)$ y que el recinto es un rectángulo perfecto, halla las ecuaciones generales de las rectas que contienen a los otros dos lados.

Calcula el área del triángulo que forma la recta $r: 5x + 2y - 20 = 0$ con los dos ejes de coordenadas.

Dadas las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: x + y - 1 = 0$, halla la ecuación explícita de una recta paralela a $r$ que pase por el punto de intersección de $s$ con el eje de abscisas.

Un rayo de luz sigue la trayectoria de la recta $r: x - y + 2 = 0$ e incide sobre un espejo plano situado a lo largo del eje X. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión respecto a la normal, halla la ecuación general de la recta que describe el rayo reflejado.

La Empresa de Transporte de un departamento ofrece dos opciones de pase mensual para viajar en una línea interdepartamental:

• Opción Frecuente: una cuota fija de $15$ bolivianos al mes más $1,20$ bolivianos por cada viaje realizado.

• Opción Ocasional: sin cuota fija, con un costo de $2,20$ bolivianos por cada viaje realizado.

1. a) Modela el costo mensual total ($y$, en bolivianos) según el número de viajes realizados al mes ($x$) para cada opción, expresando ambas relaciones como ecuaciones generales de rectas ($Ax + By + C = 0$).
2. b) Justifica analíticamente la posición relativa de ambas rectas a partir del cociente de sus coeficientes. Halla las coordenadas exactas del punto de corte e interpreta qué significado práctico tienen para un usuario a la hora de elegir qué pase comprar.
3. c) La entidad gestora planea sustituir la Opción Ocasional por una nueva tarifa cuya recta asociada sea estrictamente paralela a la de la Opción Frecuente. ¿Qué precio exacto por viaje debería fijar en esa nueva tarifa para conseguirlo? ¿Sería posible que ambas opciones costasen lo mismo para algún número de viajes en ese caso? Razona tu respuesta a partir de las propiedades geométricas de las rectas paralelas.

Se consideran las rectas $r: kx + 3y - 6 = 0$ y $s: 3x + ky - (k + 3) = 0$, donde $k$ es un parámetro real:

1. a) Discute la posición relativa de ambas rectas según los diferentes valores de $k$, distinguiendo con claridad mediante la proporcionalidad de los coeficientes cuándo son secantes, paralelas o coincidentes.
2. b) Para el caso particular $k = 1$, las rectas son secantes. Calcula de forma exacta las coordenadas de su punto de intersección y comprueba algebraicamente que dicho punto pertenece a ambas rectas.
3. c) Un compañero de clase sostiene la siguiente afirmación: «Si dos rectas tienen la misma dirección, forzosamente se trata de la misma recta». Apoyándote en las conclusiones obtenidas en el apartado a) para el valor $k = -3$, refuta de forma razonada su afirmación explicando la diferencia algebraica y geométrica entre rectas paralelas y coincidentes.