Ejercicios: Rectas paralelas a los ejes

Escribe la ecuación de la recta paralela al eje de abscisas (eje $X$) que pasa por el punto $A(3, -5)$.

Escribe la ecuación de la recta paralela al eje de ordenadas (eje $Y$) que pasa por el punto $B(-2, 7)$.

Una recta pasa por los puntos $P(4, 2)$ y $Q(-3, 2)$. ¿Es paralela a alguno de los ejes? Escribe su ecuación.

Marcos tiene que hallar en un examen la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(5, -2)$ y $B(5, 7)$. En su hoja de respuestas escribe lo siguiente:

«Calculo la pendiente: $m = \frac{7 - (-2)}{5 - 5} = \frac{9}{0} = 0$. Como la pendiente es $0$, la recta es horizontal y su ecuación es $y = 5$, porque la primera coordenada de ambos puntos vale $5$».

1. a) Identifica los dos errores conceptuales cometidos por Marcos (uno sobre la operación matemática realizada y otro sobre la relación entre las coordenadas y la orientación de la recta).
2. b) Explica cómo se deduce la ecuación correcta observando directamente las coordenadas de $A$ y $B$, y escribe dicha ecuación.

Diseña tres puntos en el plano cartesiano, llamados $A$, $B$ y $C$, que cumplan a la vez las tres condiciones siguientes:

1. La recta que pasa por $A$ y $B$ es paralela al eje $X$.

2. La recta que pasa por $B$ y $C$ es paralela al eje $Y$.

3. El punto de corte entre ambas rectas es $B(-3, 4)$ y la distancia entre el punto $A$ y el punto $B$ es de $6$ unidades.

Escribe todas las coordenadas posibles para el punto $A$, propón unas coordenadas válidas para el punto $C$ y escribe la ecuación de cada una de las dos rectas que has determinado.

El cabezal de una impresora 3D debe trazar una línea de soporte horizontal constante a $15\text{ mm}$ del origen en el eje $Y$. Escribe las ecuaciones paramétricas y la ecuación general de esta recta.

Determina el valor de $k$ para que la recta de ecuación general $kx + 3y - 6 = 0$ sea paralela al eje $X$. Escribe la ecuación resultante.

En un campo de fútbol representamos el centro del campo en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si el campo tiene $100\text{ m}$ de largo (situado sobre el eje $X$) y $60\text{ m}$ de ancho (situado sobre el eje $Y$), escribe las ecuaciones de las cuatro líneas rectas que delimitan el terreno de juego.

Para hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P(-7, 3)$ y $Q(5, 3)$, dos estudiantes de 4.º de secundaria proponen estrategias distintas:

• Alba dice: «Aplico la fórmula continua de la recta que pasa por dos puntos: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$, sustituyo las coordenadas y opero en cruz para despejar».

• Bruno dice: «No hace falta operar: me fijo en que la ordenada de ambos puntos es la misma ($y = 3$), así que la recta no sube ni baja, es horizontal y su ecuación es directamente $y = 3$».

1. a) Justifica por qué el razonamiento de Bruno es correcto y explica qué inconveniente algebraico encontraría Alba si intentara aplicar su fórmula a una recta vertical como la que une $R(2, -1)$ y $S(2, 8)$.
2. b) A la vista de lo anterior, argumenta cuál de los dos enfoques es más seguro y eficiente para identificar rectas paralelas a los ejes.

El Servicio Geológico de Bolivia (SERGEOMIN) establece un perímetro de seguridad rectangular en torno a una zona volcánica en el occidente del país. Se toma una estación de vigilancia como origen de coordenadas $(0, 0)$, midiendo las distancias en kilómetros (eje $X$ hacia el este, eje $Y$ hacia el norte). El perímetro tiene sus lados orientados exactamente según los puntos cardinales, y dos de sus vértices opuestos son $V_1(-4, -2)$ y $V_2(3, 5)$.

1. a) Escribe la ecuación de cada una de las cuatro rectas que forman los límites del perímetro, indicando a qué punto cardinal (norte, sur, este u oeste) corresponde cada una.
2. b) Una patrulla de emergencias envía su posición GPS desde el punto $P(-4, 1)$. Determina de forma razonada si la patrulla se encuentra en el interior de la zona de exclusión, fuera de ella o exactamente sobre uno de sus límites.

En el desarrollo de un videojuego, la pantalla tiene una resolución de $1920 \times 1080$ píxeles. Si situamos el origen $(0,0)$ en la esquina inferior izquierda, escribe las ecuaciones de las dos líneas rectas (una horizontal y otra vertical) que dividen la pantalla exactamente en cuatro cuadrantes iguales.

Un cuadrado tiene su centro en el punto $C(3, 3)$ y sus lados son paralelos a los ejes de coordenadas. Si el lado del cuadrado mide $4\text{ u}$, escribe las ecuaciones de las cuatro rectas que contienen a sus lados.

Se consideran las rectas fijas $r: y = 6$, $s: y = 1$ y $t: x = 2$. Se busca una cuarta recta vertical $u: x = k$ (con $k \neq 2$) tal que las cuatro rectas delimiten un recinto rectangular de área igual a $20\text{ unidades cuadradas}$.

1. a) Antes de calcular: observa la distancia que separa a las rectas $r$ y $s$. Estima mentalmente qué longitud debe tener la base del rectángulo y predice cuántos valores distintos puede tomar $k$, indicando a qué lados de la recta $t$ se situarán.
2. b) Plantea la relación matemática entre el área, la altura fija y la base en función del parámetro $k$. Resuelve la ecuación para hallar los valores exactos de $k$ y escribe las ecuaciones de las posibles rectas $u$.
3. c) Comprueba si los valores obtenidos coinciden con tu estimación previa y explica geométricamente el significado de que existan exactamente dos soluciones.

Se considera la familia de rectas dada por la ecuación general implícita:

donde $a$ y $b$ son parámetros reales constantes.

1. a) Determina los valores numéricos exactos de $a$ y $b$ para que la recta sea paralela al eje de abscisas (eje $X$) y pase por el punto $P(7, -5)$. Escribe la ecuación resultante.
2. b) Analiza si es posible ajustar los parámetros $a$ y $b$ para que la recta resultante sea paralela al eje de ordenadas (eje $Y$) y, además, coincida exactamente con el propio eje $Y$. Justifica tu conclusión a partir de las condiciones algebraicas que deben cumplir los coeficientes.