Ejercicios: Operaciones con vectores

Dados los puntos $A(3, -2)$ y $B(5, 4)$, calcula las coordenadas del vector $\vec{AB}$ y del vector $\vec{BA}$.

Calcula el módulo del vector $\vec{v} = (-6, 8)$.

Dados los vectores $\vec{u} = (4, -1)$ y $\vec{v} = (-2, 5)$, calcula las coordenadas del vector suma $\vec{u} + \vec{v}$ y del vector diferencia $\vec{u} - \vec{v}$.

Dado el vector $\vec{w} = (3, -7)$, calcula las coordenadas de los vectores $2\vec{w}$ y $-\frac{1}{2}\vec{w}$.

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $P(-4, 7)$ y $Q(8, -1)$.

Comprueba si los vectores $\vec{a} = (2, -5)$ y $\vec{b} = (-6, 15)$ tienen la misma dirección, es decir, si son paralelos.

Halla las coordenadas del punto simétrico de $A(1, 4)$ respecto del punto $M(3, -2)$.

El vector $\vec{v} = (5, 2)$ tiene su origen en el punto $A(-3, 1)$. Determina las coordenadas de su extremo $B$.

Para obtener un vector unitario con la misma dirección y sentido que $\vec{v} = (-6, 8)$, Marcos razona así en su examen:

«Como las componentes suman $-6 + 8 = 2$, para que el vector mida $1$ solo tengo que dividir cada componente entre $2$. Así obtengo el vector $\vec{u} = \left(\frac{-6}{2}, \frac{8}{2}\right) = (-3, 4)$, que ya es unitario».

1. a) Identifica los dos errores conceptuales graves cometidos por Marcos al calcular el módulo y al definir qué es un vector unitario.
2. b) Demuestra analíticamente que el vector $(-3, 4)$ no es unitario calculando su módulo real.
3. c) Corrige el procedimiento y obtén las componentes exactas del verdadero vector unitario $\vec{u}$ con la misma dirección y sentido que $\vec{v}$, comprobando que su módulo vale exactamente $1$.

Dados los vectores $\vec{u} = (4, -1)$ y $\vec{v} = (-1, 3)$:

1. a) Antes de hacer cuentas en papel, analiza el efecto de multiplicar $\vec{u}$ por $2$ y $\vec{v}$ por $3$, y estima razonadamente en qué cuadrante del plano cartesiano quedará el vector $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$. Justifica tu previsión fijándote en los signos dominantes de cada componente.
2. b) Compara visualmente las magnitudes de $2\vec{u}$ y $3\vec{v}$ y haz una estimación: ¿el módulo de $\vec{w}$ será mayor o menor que $10$?
3. c) Calcula con precisión las componentes de $\vec{w}$ y su módulo exacto $|\vec{w}|$.
4. d) Contrasta tus cálculos con las estimaciones de los apartados a) y b) y explica si tus conjeturas iniciales eran coherentes con el resultado obtenido.

Un robot de almacén realiza el siguiente recorrido desde su base en el origen de coordenadas: primero se desplaza según el vector $\vec{d_1} = (4,5; 2,1)$ m, luego sigue el vector $\vec{d_2} = (-1,2; 3,4)$ m y finalmente avanza según $\vec{d_3} = (0; -1,5)$ m. Determina el vector de posición final del robot y a qué distancia en línea recta se encuentra de la base.

En el diseño de un videojuego, el movimiento de un personaje viene dado por el vector $\vec{u} = (x, 12)$, y el de un proyectil por el vector $\vec{v} = (5, -4)$. Calcula el valor de $x$ para que ambos vectores tengan la misma dirección y averigua si tienen el mismo sentido.

Expresa el vector $\vec{w} = (1, 11)$ como combinación lineal de los vectores $\vec{u} = (2, 3)$ y $\vec{v} = (-1, 5)$. Es decir, halla los valores de $a$ y $b$ tales que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

Dos ciudades están situadas en un mapa en las coordenadas $A(-15, 20)$ y $B(35, -4)$ (en kilómetros). Se quiere instalar una antena de telecomunicaciones exactamente en el punto medio entre ambas. Calcula las coordenadas donde debe situarse la antena y la longitud del cable de fibra óptica necesario para conectarla en línea recta con la ciudad $A$.

En una obra de ingeniería civil, se deben alinear tres pilares. En el plano, sus posiciones son $P(1, -2)$, $Q(4, 2)$ y $R(10, k)$. Averigua el valor de $k$ para que los tres pilares estén perfectamente alineados.

Calcula las coordenadas de un punto $P$ que divide al segmento de extremos $A(-2, 5)$ y $B(7, -1)$ de modo que la distancia de $A$ a $P$ sea el doble que la distancia de $P$ a $B$. Es decir, se cumple la relación vectorial $\vec{AP} = 2\vec{PB}$.

Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas representadas por los vectores $\vec{F_1} = (15, -8)$ N y $\vec{F_2} = (-5, 12)$ N. Calcula el vector fuerza resultante $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$ y determina la magnitud (módulo) de dicha fuerza resultante.

Los vértices de una parcela triangular son $A(0, 0)$, $B(8, 6)$ y $C(12, -3)$ (medidos en decámetros). Calcula el perímetro de la parcela.

Un dron de rescate debe alcanzar una posición prefijada por el vector desplazamiento total $\vec{d}_{\text{total}} = (7, -1)$. Para navegar, su sistema dispone de dos movimientos elementales calibrados: $\vec{u} = (3, 1)$ y $\vec{v} = (-1, 3)$. El piloto automático debe determinar dos escalares $a$ y $b$ tales que $\vec{d}_{\text{total}} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

1. a) Plantea el sistema de dos ecuaciones lineales que relaciona las componentes horizontal y vertical de los vectores.
2. b) Resuelve el sistema para hallar los valores exactos de los coeficientes $a$ y $b$.
3. c) Interpreta el significado geométrico y físico de los valores y signos hallados para $a$ y $b$: ¿se ha estirado, encogido o invertido el sentido de cada vector base? Justifica tu respuesta a partir de lo que explican los apuntes sobre el producto por un escalar.

Un dron de vigilancia de la DGT sobrevuela un tramo de la autovía A-3 en la provincia de Cuenca. Sus motores lo impulsan con un vector de velocidad propia respecto al aire de $\vec{v}_p = (45, 60)\text{ km/h}$. Sin embargo, la estación meteorológica de AEMET en la zona registra un viento constante con vector velocidad $\vec{v}_w = (-15, 20)\text{ km/h}$.

1. a) Modela la velocidad resultante del dron respecto a tierra como la suma vectorial $\vec{v}_r = \vec{v}_p + \vec{v}_w$ y determina sus componentes.
2. b) Calcula la rapidez propia del dron ($|\vec{v}_p|$) y la rapidez resultante sobre tierra ($|\vec{v}_r|$). Comparando ambos módulos, razona si el viento está favoreciendo o frenando el avance global del dron.
3. c) Si el dron mantiene este vuelo durante $15$ minutos ($0,25\text{ h}$), determina su vector desplazamiento neto $\vec{d} = 0,25\cdot \vec{v}_r$ y calcula a qué distancia en línea recta se encontrará respecto al punto de partida.

Un robot explorador en Marte parte del punto $A(-3, 2)$ y realiza un desplazamiento descrito por el vector $\vec{u} = (5, 4)$ hasta llegar a un punto $B$. Desde $B$, se mueve hacia un punto $C$ tal que $\vec{BC} = -2\vec{u} + \vec{w}$, siendo $\vec{w} = (1, -6)$. Determina las coordenadas de los puntos $B$ y $C$, y calcula el módulo del vector desplazamiento total $\vec{AC}$.

Tres de los vértices de un panel solar con forma de paralelogramo $ABCD$ están situados en los puntos $A(-1, 3)$, $B(5, 1)$ y $C(6, 4)$. Calcula las coordenadas del cuarto vértice $D$ sabiendo que los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{DC}$ son equipolentes. Comprueba tu resultado calculando el punto medio de ambas diagonales.

En física de partículas, un haz de protones sigue una trayectoria rectilínea con vector director $\vec{v} = (3, -4)$. Encuentra un vector unitario (de módulo 1) que tenga la misma dirección y sentido que $\vec{v}$, y otro vector que tenga la misma dirección, sentido opuesto y módulo 10.

Dados los puntos $A(1, 2)$, $B(3, -1)$ y $C(0, 4)$, halla las coordenadas de un punto $D$ que cumpla la ecuación vectorial $2\vec{AB} - 3\vec{CD} = \vec{v}$, sabiendo que el vector $\vec{v}$ tiene coordenadas $(-5, 2)$.

El centro de un hexágono regular se encuentra en el origen de coordenadas $O(0,0)$ y uno de sus vértices es el punto $A(4, 0)$. Utilizando las propiedades de los vectores y sabiendo que el hexágono se puede dividir en 6 triángulos equiláteros idénticos, determina las coordenadas de los otros cinco vértices.

Demuestra analíticamente que el cuadrilátero de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$, $C(6, -1)$ y $D(0, -3)$ es un paralelogramo. Para ello, comprueba que los lados opuestos son vectores equipolentes.

Un avión vuela con una velocidad propia representada por el vector $\vec{v_m} = (250, 150)$ km/h. El viento sopla con una velocidad $\vec{v_v} = (-30, 40)$ km/h. La velocidad real del avión respecto al suelo es la suma de ambos vectores. Se quiere modificar la velocidad de los motores sumando un vector de corrección $\vec{c} = a\vec{u} + b\vec{w}$, donde $\vec{u} = (1, 0)$ y $\vec{w} = (0, 1)$, para que la velocidad real final del avión sea exactamente $\vec{v_r} = (300, 0)$ km/h. Plantea la ecuación vectorial y halla los valores de $a$ y $b$.

Halla las coordenadas de un punto $P$ situado sobre el eje de ordenadas de forma que el triángulo formado por los puntos $A(-3, 2)$, $B(1, 4)$ y $P$ sea isósceles, siendo los lados $AP$ y $BP$ de igual longitud. Es decir, debe cumplirse que $|\vec{AP}| = |\vec{BP}|$.

Se quiere dividir el segmento de extremos $A(-4, 7)$ y $B(5, -2)$ en tres partes exactamente iguales introduciendo dos puntos interiores, $P$ y $Q$ (con $P$ situado más próximo a $A$). En clase surgen tres propuestas:

• Propuesta de Alba: Calcular el punto medio $M$ entre $A$ y $B$, y luego hallar el punto medio entre $A$ y $M$.

• Propuesta de Bruno: Calcular el vector paso $\vec{u} = \frac{1}{3}\vec{AB}$ y obtener consecutivamente $P = A + \vec{u}$ y $Q = P + \vec{u}$.

• Propuesta de Carmen: Plantear dos ecuaciones vectoriales independientes usando proporciones: $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{PB}$ y $\vec{AQ} = 2\vec{QB}$, resolviendo las coordenadas $(x, y)$ de cada punto.

1. a) Explica mediante un argumento geométrico por qué la propuesta de Alba es conceptualmente errónea y qué división del segmento generaría en realidad.
2. b) Compara las propuestas de Bruno y Carmen: argumenta cuál de los dos métodos válidos es más eficiente, tiene menor riesgo de error en el manejo de signos y permite generalizar mejor a divisiones en $5$ o más partes.
3. c) Aplica el método más eficiente para calcular las coordenadas exactas de los puntos $P$ y $Q$.

En el plano cartesiano se consideran los puntos $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(2, 7)$, vértices de un triángulo.

1. a) Halla las coordenadas del punto medio $M$ del lado $BC$ y, utilizando la relación vectorial de simetría $A' = 2M - A$, calcula las coordenadas del punto $A'$, simétrico de $A$ respecto de $M$.
2. b) Calcula las componentes de los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AA'}$, y comprueba numéricamente si se cumple la relación $\vec{AA'} = \vec{AB} + \vec{AC}$.
3. c) Demuestra algebraicamente por qué la relación $\vec{AA'} = \vec{AB} + \vec{AC}$ se cumple siempre para cualquier triángulo del plano, sustituyendo de forma genérica las expresiones $M = \frac{B + C}{2}$ y $A' = 2M - A$ en el vector $\vec{AA'} = A' - A$, sin usar coordenadas numéricas. A partir de este resultado, justifica qué tipo de cuadrilátero forman los puntos $A$, $B$, $A'$ y $C$.