Ejercicios: Movimientos y traslaciones

Un dron de reparto está en la posición $A(3, 5)$ y se desplaza siguiendo el vector $\vec{v} = (-4, 2)$. ¿Cuáles son las coordenadas de su posición final $A'$?

En un tablero de ajedrez gigante, una pieza se mueve desde la casilla con coordenadas $P(-1, -3)$ hasta la casilla $Q(4, 2)$. Determina las componentes del vector de traslación $\vec{PQ}$.

Un jardinero quiere plantar un árbol en el punto $B'$, que debe ser simétrico al árbol situado en $B(2, -6)$ respecto al centro del jardín $C(0, 0)$. Calcula las coordenadas de $B'$.

En el diseño de un logotipo, el punto $M(-4, 7)$ se refleja respecto al eje de ordenadas (eje Y). ¿Cuáles son las coordenadas del punto reflejado $M'$?

Una pieza de un engranaje situada en el punto $K(5, 0)$ gira $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen de coordenadas $O(0, 0)$. ¿En qué posición $K'$ quedará la pieza tras el giro?

Se aplica un giro de $180^\circ$ a una señal de tráfico circular con centro en el punto $C(3, 4)$ y radio $2$. ¿Qué punto exacto de la señal permanece en la misma posición (es invariante) tras el movimiento?

Un robot aspirador se mueve desde su base siguiendo el vector $\vec{u} = (2, 5)$ y luego sigue el vector $\vec{w} = (1, -3)$. Si la base está en el origen $O(0,0)$, ¿cuáles son las coordenadas de su posición final y qué vector único $\vec{v}$ representa el desplazamiento total?

Dos farolas están situadas en los puntos $F_1(-2, 8)$ y $F_2(6, -2)$. Se quiere colocar un transformador eléctrico en el centro de simetría de ambas. ¿Cuáles son las coordenadas de dicho centro?

Lucía está programando los movimientos de un personaje en un videojuego en dos dimensiones. El personaje se encuentra en el punto $A(2, 5)$ y debe reflejarse respecto a la recta horizontal $y = 1$. Lucía escribe en su cuaderno de desarrollo: «Para reflejar respecto a la recta $y = 1$, la abscisa no varía y a la ordenada le resto el valor de la recta, por lo que $y' = 5 - 1 = 4$, quedando el personaje en el punto $A'(2, 4)$».

1. a) Sin realizar todavía los cálculos numéricos correctos, explica el error de razonamiento que ha cometido Lucía atendiendo a la distancia entre el punto original y el eje de simetría (¿hacia qué lado del eje ha quedado la supuesta imagen?).
2. b) Corrige el cálculo aplicando la expresión analítica correspondiente a las simetrías respecto a rectas horizontales $y = k$ y determina las coordenadas correctas del punto transformado $A'$.

Un vehículo guiado automatizado de un centro logístico en Santa Cruz de la Sierra parte de la posición $P(5, 2)$. El software de control le ordena ejecutar dos movimientos consecutivos: en primer lugar, un giro de $90^\circ$ en sentido antihorario con centro en el origen de coordenadas $(0, 0)$; en segundo lugar, una traslación según el vector $\vec{v} = (-3, 4)$.

1. a) Estima: Antes de realizar las operaciones algebraicas, deduce razonadamente en qué cuadrante del plano quedará el vehículo inmediatamente después del giro. A continuación, anticipa qué signo tendrán la abscisa y la ordenada de la posición final tras aplicar la traslación $\vec{v}$.
2. b) Comprueba: Calcula paso a paso las coordenadas del punto intermedio tras el giro y las del punto final tras la traslación. Comprueba si el resultado numérico confirma las previsiones que hiciste en la estimación.

En un software de arquitectura (CAD), el plano de una ventana está definido por el polígono de vértices $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ y $D(1, 3)$. El diseñador decide trasladar la ventana aplicando el vector $\vec{v} = (-3, 2)$. Calcula las coordenadas de los nuevos vértices $A'$, $B'$, $C'$ y $D'$.

En una fábrica de textiles, una máquina dobla una tela a lo largo de la recta horizontal $y = 2$. Si un patrón decorativo está impreso en el punto $P(3, -1)$, ¿cuáles serán las coordenadas del patrón $P'$ una vez doblada la tela?

Un brazo robótico articula en el punto $C(2, 1)$. Su pinza se encuentra inicialmente en $P(5, 3)$. Si el brazo realiza un giro de $180^\circ$ alrededor de la articulación $C$, ¿cuáles serán las nuevas coordenadas $P'$ de la pinza?

Un programa de impresión 3D primero traslada un vértice de un sólido mediante el vector $\vec{v} = (0, 0, 4)$ y, a continuación, le aplica una simetría central respecto al origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$. Si el vértice original estaba en la posición $V(2, -3, 1)$, ¿cuál es su posición final $V'$?

Un rayo láser se emite desde el punto $E(1, 5)$ y, tras reflejarse en un espejo plano y paralelo al eje X, impacta en el punto receptor $R(1, -1)$. Sabiendo que la abscisa no cambia y la ordenada de los puntos simétricos equidista del espejo, ¿cuál es la ecuación de la recta que define la posición del espejo?

En un almacén automatizado, un paquete se mueve en línea recta desde la estantería $A(10, 5, 2)$ hasta la zona de carga $B(2, 8, 0)$. Determina el vector de traslación $\vec{AB}$. Si otro paquete situado en $C(4, 4, 4)$ realiza exactamente el mismo movimiento, ¿cuáles serán las coordenadas de su posición final $C'$?

Una cámara de seguridad montada en un poste en $C(1, 2)$ enfoca inicialmente a una puerta situada en $P(4, 2)$. Para cubrir un pasillo, la cámara gira $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de su eje en $C$. ¿Cuáles son las coordenadas del nuevo punto $P'$ al que apuntará la cámara? (Asume que la distancia focal se mantiene constante).

Un velero se desplaza en el mar impulsado por el viento, lo que le confiere un desplazamiento según el vector $\vec{v} = (12, -5)$ km. Simultáneamente, una corriente marina lo arrastra según el vector $\vec{c} = (-3, -2)$ km. Si el velero partió del puerto en $P(-4, 10)$, ¿cuál es su posición final $P'$ y a qué distancia en línea recta se encuentra del punto de partida?

La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) cuenta con una estación de radar situada en el punto $C(3, 1)$ (coordenadas en decenas de kilómetros). El radar localiza el núcleo de una tormenta en la posición $P(7, 4)$. Debido al régimen de vientos, la masa de aire gira $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de la estación $C$ y, acto seguido, se desplaza según el vector de traslación $\vec{u} = (-2, 3)$.

1. a) Describe los tres pasos geométricos necesarios para efectuar un giro cuando el centro no coincide con el origen de coordenadas.
2. b) Halla las coordenadas exactas de la posición final del núcleo de la tormenta tras completarse ambos movimientos.
3. c) Calcula la distancia en línea recta, en kilómetros reales, a la que se encuentra la tormenta respecto al radar $C$ en su posición final (recuerda que $1\text{ unidad} = 10\text{ km}$).

Para el rediseño del logotipo de un club deportivo se aplican dos transformaciones geométricas independientes sobre el plano de coordenadas:

• Una simetría axial respecto a una recta vertical desconocida $r: x = k$, que transforma el vértice $A(-3, 4)$ en el punto $A'(7, 4)$.

• Una traslación según un vector desconocido $\vec{w}$, que desplaza la marca $B(2, -1)$ hasta la posición $B'(-1, 5)$.

1. a) Determina el valor del parámetro $k$ que define la recta de simetría y obtén las componentes del vector de traslación $\vec{w}$.
2. b) Resuelve el problema inverso: averigua cuáles eran las coordenadas del punto original $P(x, y)$ si se sabe que, tras aplicarle primero la traslación $\vec{w}$ y a continuación la simetría respecto a la recta $x = k$, su posición final resultante es el punto $(1, 2)$.

Un rayo de luz atraviesa un cristal grueso y sufre una doble reflexión interna. Primero experimenta una simetría axial respecto a la recta vertical $x = 1$, y luego otra simetría axial respecto a la recta $x = 4$. Si una impureza en el cristal está en el punto $M(-2, 3)$, halla su posición tras la primera simetría ($M'$) y tras la segunda ($M''$). ¿A qué vector de traslación directo equivale la composición de estas dos simetrías axiales?

En una mesa de billar, una bola está en la posición $A(2, 3)$. Un jugador quiere golpearla para que impacte en la banda derecha (situada a lo largo de la recta $x = 8$) y, tras rebotar, golpee a otra bola situada en $B(4, 7)$. Para calcular la trayectoria, utiliza el punto simétrico de $B$ respecto a la banda, llamémosle $B'$. Halla las coordenadas de $B'$ y encuentra la ecuación de la recta que une $A$ con $B'$. ¿En qué punto exacto $P$ de la banda rebotará la bola?

Un cuadrado tiene su centro geométrico en el origen $O(0, 0)$ y uno de sus vértices es $V_1(3, 3)$. Para encontrar los demás vértices, se aplican giros sucesivos de $90^\circ$ en sentido horario alrededor del origen, obteniendo $V_2$, $V_3$ y $V_4$. Calcula las coordenadas de los cuatro vértices y comprueba analíticamente que la distancia entre $V_1$ y $V_2$ es exactamente igual a la distancia entre $V_2$ y $V_3$.

En el mecanizado CNC de una pieza, la herramienta de corte se encuentra inicialmente en el punto $H(0, 5)$. El programa ejecuta dos comandos: primero, el plato de sujeción gira $180^\circ$ respecto al centro $C(2, 3)$, llevando la herramienta a la posición $H'$. Inmediatamente después, el carro se traslada según el vector $\vec{u} = (-1, -4)$ hasta alcanzar la posición final $H''$. Determina las coordenadas exactas de $H'$ y $H''$.

En un estudio de transformaciones geométricas, los vértices de un triángulo son $A(1, 2)$, $B(3, 1)$ y $C(2, 4)$. Tras aplicar un único movimiento en el plano, los nuevos vértices resultan ser $A'(-1, -2)$, $B'(-3, -1)$ y $C'(-2, -4)$. Identifica de qué tipo de movimiento se trata (traslación, giro o simetría) y especifica sus elementos característicos (vector, centro y ángulo, o eje). Justifica analíticamente tu respuesta.

Una tubería recta de suministro de agua pasa por los puntos $A(0, 4)$ y $B(4, 0)$. Por motivos de redundancia en el diseño, se construye una segunda tubería que es exactamente simétrica a la primera respecto al eje de abscisas (eje X). Halla las coordenadas de los puntos simétricos $A'$ y $B'$, y determina la ecuación explícita de la recta que define la trayectoria de esta segunda tubería.

Una pieza triangular de un mosaico histórico con un vértice en $P(2, 6)$ se ha desprendido y, al caer, ha girado exactamente $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de un punto desconocido $C(x, y)$, quedando el vértice en la nueva posición $P'(-4, 4)$. Sabiendo que en un giro de $90^\circ$ antihorario alrededor del origen un vector $(a, b)$ se transforma en $(-b, a)$, plantea las ecuaciones correspondientes a la transformación del vector $\vec{CP}$ en $\vec{CP'}$ y resuelve el sistema para hallar las coordenadas del centro de giro $C$.

En una librería gráfica para programar trayectorias de robots industriales se requiere transformar cualquier punto $P(x, y)$ mediante una simetría central con respecto a un punto de apoyo $C(a, b)$. En el equipo técnico se plantean dos algoritmos distintos:

• Método 1: Aplicar directamente la fórmula analítica de simetría central respecto a un punto: $P' = 2C - P$.

• Método 2: Componer dos simetrías axiales perpendiculares consecutivas: reflejar primero $P(x, y)$ respecto a la recta vertical $x = a$ para obtener un punto intermedio $P_1$, y luego reflejar $P_1$ respecto a la recta horizontal $y = b$ para obtener $P'$.

1. a) Desarrolla algebraicamente las coordenadas finales $(x', y')$ obtenidas mediante ambos métodos para un punto genérico $P(x, y)$ con centro $C(a, b)$. Demuestra rigurosamente si ambos métodos son matemáticamente equivalentes.
2. b) Justifica si el orden de aplicación de las dos simetrías en el Método 2 influye en el resultado final.
3. c) Si debes implementar este cálculo en un microcontrolador que busca minimizar el número total de operaciones aritméticas en tiempo real, compara el costo computacional de ambos métodos y justifica cuál de ellos elegirías.

Un helicóptero de Salvamento Marítimo con base en el punto costero $A(2, 6)$ debe realizar una intervención de emergencia. La misión le exige descender primero hasta el nivel de la orilla (representada por la recta horizontal $y = 1$) para recoger material de rescate en un punto $P(x_0, 1)$, y continuar inmediatamente hacia una embarcación en apuros situada en $B(8, 4)$ (las coordenadas están expresadas en millas náuticas). Para minimizar el consumo de combustible, se debe optimizar la trayectoria de modo que la distancia total recorrida $d = AP + PB$ sea la menor posible.

1. a) Halla las coordenadas del punto simétrico de $B$ respecto a la recta de la orilla $y = 1$, al que llamaremos $B'$.
2. b) Demuestra razonadamente, apoyándote en las propiedades de la simetría axial y en la desigualdad triangular, por qué la distancia $AP + PB$ coincide con la longitud del trayecto $AP + PB'$, y deduce por qué el punto óptimo $P$ debe pertenecer obligatoriamente al segmento rectilíneo que une $A$ con $B'$.
3. c) Obtén la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B'$, y determina a partir de ella las coordenadas exactas del punto de contacto $P(x_0, 1)$ en la orilla.

Reto del tema. ¿Cómo condiciona el viento el diseño de corredores para drones de emergencia?

1. Datos reales: Consulta en la web de AEMET la velocidad y dirección del viento de 6 horas consecutivas en tu estación meteorológica más cercana. Modela cada registro como un vector en el plano $\vec{v}_i = (x_i, y_i)$.

2. Análisis estadístico: En una hoja de cálculo, determina las medidas de posición (media y mediana) y de dispersión (varianza y rango) de las componentes horizontal y vertical para resumir la dispersión del flujo aéreo.

3. Construcción en GeoGebra: Fija tu centro educativo en el punto $A(x_0, y_0)$. Aplica un movimiento de traslación a $A$ mediante el vector medio $\vec{u} = (\bar{x}, \bar{y})$ obteniendo $A'$. Halla la ecuación de la recta directriz $r$ que une ambos puntos, una recta $s$ perpendicular a $r$ (pista de aterrizaje con viento cruzado) y las rectas paralelas a los ejes cartesianos que pasan por $A$.

4. Producto final: Entrega una propuesta técnica justificada con la captura del modelo geométrico, argumentando la orientación más segura para el despegue.

Se valorará:

• Obtención precisa de los vectores y rigor en el cálculo de las medidas de posición y dispersión.

• Corrección algebraica y geométrica en operaciones vectoriales, traslaciones y rectas paralelas/perpendiculares.

• Calidad del informe y justificación técnica basada en la simulación.