Ejercicios: Punto medio de un segmento

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, 4)$ y $B(6, 10)$.

El punto medio del segmento $AB$ es $M(3, 5)$. Si el extremo $A$ tiene por coordenadas $(1, 2)$, halla las coordenadas del extremo $B$.

Determina las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos $P(-4, -6)$ y $Q(2, -8)$.

Halla el punto simétrico de $A(5, -3)$ respecto del origen de coordenadas $O(0,0)$.

Calcula el punto medio del segmento que une los puntos $C\left(\frac{1}{2}, 3\right)$ y $D\left(\frac{3}{2}, -1\right)$.

Comprueba analíticamente si el punto $M(-1, 2)$ es el punto medio del segmento de extremos $E(-4, 5)$ y $F(2, -1)$.

Los puntos $A(0, 4)$ y $B(4, 0)$ forman un segmento en el plano cartesiano. Calcula las coordenadas de su punto medio.

Dado el segmento de extremos $G(-3, 7)$ y $H(-3, -1)$, halla su punto medio e indica sobre qué eje o recta paralela a los ejes se encuentra dicho segmento.

Marcos tiene que calcular el punto medio del segmento que une los puntos $A(-4, 7)$ y $B(2, -1)$. En su cuaderno escribe lo siguiente:

Identifica el error conceptual que ha cometido Marcos, explicando con qué otra fórmula o procedimiento de geometría analítica se ha confundido. A continuación, razona por qué su resultado es visualmente imposible atendiendo a la posición de los puntos y calcula la solución correcta.

Considera el segmento de extremos $A(-9, 2)$ y $B(3, 10)$.

1. a) Antes de realizar ningún cálculo algebraico, estima razonadamente en qué cuadrante del plano cartesiano debe encontrarse el punto medio $M$ y predice el signo de su abscisa y de su ordenada, comparando los valores absolutos de los extremos.
2. b) Aplica la fórmula del punto medio para calcular las coordenadas exactas de $M$.
3. c) Comprueba si el resultado obtenido confirma tu estimación y justifica por qué la abscisa de $M$ dista exactamente la misma cantidad de $-9$ que de $3$.

Una lancha de salvamento navega en línea recta desde el punto $A(-15, 20)$ hasta el punto $B(45, -10)$ (coordenadas en metros). Si debe soltar una boya de señalización exactamente en la mitad de su recorrido, ¿en qué coordenadas lo hará?

Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos $P(-3, 5)$ y $Q(7, -1)$. Calcula las coordenadas del centro de la circunferencia y la medida de su radio.

Dos antenas de telefonía están situadas en las coordenadas $T_1(4,5; 8,2)$ y $T_2(-1,5; 3,4)$ en un plano topográfico a escala. Se quiere instalar un repetidor exactamente en el punto medio entre ambas. Calcula las coordenadas exactas donde debe situarse el repetidor.

Un rayo láser incide en una lente situada en el punto $L(2, 5)$. Si el punto de origen del láser es $O(-3, 1)$ y la lente actúa como punto de simetría central, calcula las coordenadas del punto $P$ donde impactará el láser tras atravesar la lente asumiendo que mantiene su trayectoria recta.

Dado el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 5)$ y $C(2, -3)$, halla las coordenadas del punto medio del lado $BC$ y, a continuación, calcula la longitud de la mediana que parte del vértice $A$.

El punto medio del segmento $AB$ es $M(a, 3)$. Si conocemos las coordenadas de los extremos $A(-2, 5)$ y $B(6, b)$, plantea las ecuaciones correspondientes y calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$.

En un programa de diseño por computadora, se traza un segmento desde $P_1(-4, -2)$ hasta $P_2(8, 6)$. El diseñador necesita colocar tres puntos en el segmento que lo dividan en cuatro partes exactamente iguales. Calcula las coordenadas del punto central de esos tres puntos de división.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Comprueba si el cuadrilátero de vértices $A(-1, 2)$, $B(3, 4)$, $C(4, 0)$ y $D(0, -2)$ es un paralelogramo. Para ello, calcula los puntos medios de sus dos diagonales y verifica si coinciden.

Se desea construir un segmento rectilíneo en el plano cartesiano de modo que su punto medio exacto sea $M(4, -3)$.

1. a) Determina las coordenadas de los extremos $A$ y $B$ sabiendo que el punto $A$ está situado obligatoriamente sobre el eje de abscisas ($y = 0$) y el punto $B$ sobre el eje de ordenadas ($x = 0$).
2. b) Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y justifica razonadamente si esta pareja de puntos $(A, B)$ es única o si pueden existir más soluciones que cumplan ambas condiciones.
3. c) Escribe las coordenadas de otra pareja distinta de extremos, $C$ y $D$, cuyo punto medio siga siendo $M$, pero con la condición de que ninguno de los dos pertenezca a los ejes coordenados.

En el Parque Nacional de Sierra Nevada, el servicio de rescate de montaña necesita instalar un repetidor de telecomunicaciones en el punto medio exacto de la línea que une el Refugio A, ubicado en las coordenadas $(12, 18)$, y el Refugio B, situado en $(36, 6)$ (coordenadas expresadas en kilómetros).

1. a) Modela la situación en el plano y calcula las coordenadas de ubicación del repetidor principal.
2. b) Por razones de seguridad en el protocolo de enlace, se deben colocar además dos balizas secundarias: la baliza $S_1$ en el punto medio entre el Refugio A y el repetidor principal, y la baliza $S_2$ en el punto medio entre el repetidor principal y el Refugio B. Obtén las coordenadas de ambas balizas utilizando la técnica de puntos medios sucesivos.
3. c) Interpreta el reparto del trayecto: ¿en cuántas partes de igual longitud ha quedado dividido el tramo original entre ambos refugios?

El diseño de un puente atirantado sitúa los anclajes de un cable en los puntos $A(2k, -4)$ y $B(6, k+2)$, siendo $k$ un parámetro desconocido. El punto medio del cable debe apoyarse sobre un pilar vertical situado exactamente sobre el eje de abscisas (es decir, su ordenada es $y=0$). Calcula el valor de $k$ y las coordenadas exactas del punto de apoyo.

Tres vértices consecutivos de una parcela topográfica con forma de paralelogramo son $A(-3, -1)$, $B(2, -2)$ y $C(5, 2)$. Utilizando la propiedad geométrica de que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, calcula las coordenadas del cuarto vértice $D$.

El segmento $AB$ tiene su punto medio en $M(4, 3)$. Sabiendo que el extremo $A$ se encuentra sobre el eje de abscisas (eje X) y el extremo $B$ se encuentra sobre el eje de ordenadas (eje Y), plantea las ecuaciones correspondientes y determina las coordenadas exactas de $A$ y de $B$.

Un brazo robótico mueve una pieza en línea recta desde el punto $P_1(-8, 4)$ hasta $P_2(2, -6)$, y hace una pausa en el punto medio $M_1$. Luego, mueve la pieza desde $M_1$ hasta $P_3(10, 8)$, haciendo una nueva pausa en el punto medio $M_2$ del segmento $M_1 P_3$. Calcula las coordenadas exactas de $M_2$.

Dos masas puntuales iguales se desplazan de tal forma que en un instante $t$ (en segundos) se encuentran en las posiciones $A(t, 2t-1)$ y $B(3t+2, -t+5)$. Encuentra la expresión de las coordenadas del centro de masas (punto medio $M$) en función del tiempo. ¿En qué instante $t$ el centro de masas cruza el eje de ordenadas ($x=0$)?

Se desea dividir el segmento de extremos $A(-5, 1)$ y $B(7, 9)$ en cuatro partes de igual longitud utilizando exclusivamente el cálculo de puntos medios. Detalla el proceso y calcula las coordenadas de los tres puntos que dividen dicho segmento.

Dado el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 6)$, calcula los puntos medios de sus tres lados ($M_1$, $M_2$, $M_3$). A continuación, demuestra analíticamente calculando las distancias que el perímetro del triángulo formado por los puntos medios es exactamente la mitad del perímetro del triángulo original.

Un segmento en el plano cartesiano tiene por extremos los puntos genéricos $A(a, b)$ y $B(b, a)$, con $a \neq b$. Demuestra algebraicamente que el punto medio de dicho segmento siempre pertenece a la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante (cuya ecuación es $y = x$), independientemente de los valores numéricos que tomen $a$ y $b$.

Se conocen tres vértices consecutivos de una parcela con forma de paralelogramo $ABCD$: $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(6, 9)$. Para hallar las coordenadas del cuarto vértice $D$, dos delineantes proponen caminos distintos:

• Método 1: Usar la equipolencia de vectores igualando las componentes de $\vec{AB}$ y $\vec{DC}$.

• Método 2: Calcular el punto medio de la diagonal conocida $AC$ y utilizar que debe coincidir con el punto medio de la otra diagonal, $BD$.

1. a) Desarrolla por completo ambos métodos y comprueba que conducen al mismo resultado numérico para $D$.
2. b) Si el plano topográfico requiriese además hallar el centro de simetría de la parcela (el punto central donde se cruzan los vallados diagonales), compara la eficiencia de ambos métodos y justifica cuál de ellos ahorra operaciones.
3. c) Si no se especificara que los vértices $A$, $B$ y $C$ están en orden alfabético consecutivo, razona cuántos paralelogramos distintos podrían construirse con esos tres mismos puntos como vértices.

En un triángulo de vértices $A(-1, 3)$, $B(5, 7)$ y $C(3, -1)$:

1. a) Calcula las coordenadas del punto medio $M$ del lado $BC$ y obtén las componentes del vector que va desde el vértice $A$ hasta dicho punto medio (segmento que define la mediana del triángulo).
2. b) El baricentro $G$ de un triángulo es el punto que se encuentra sobre cada mediana a dos tercios de la distancia desde el vértice correspondiente al lado opuesto, cumpliendo la relación vectorial $\vec{AG} = 2\cdot \vec{GM}$. Calcula las coordenadas exactas de $G$ para este triángulo y demuestra algebraicamente que dichas coordenadas coinciden con la media aritmética de las coordenadas de sus tres vértices: $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\ \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.
3. c) Si completamos un paralelogramo que tenga como lados contiguos los segmentos $AB$ y $AC$, razona sin necesidad de calcular distancias si el baricentro $G$ puede coincidir con el punto de intersección de las diagonales de dicho paralelogramo.