Ejercicios: Paralelismo y perpendicularidad de rectas

Escribe la pendiente de una recta que sea paralela y la pendiente de una recta que sea perpendicular a la recta de ecuación $y = 4x - 7$.

Dadas las rectas $r: y = -2x + 5$ y $s: y = \frac{1}{2}x - 3$, indica razonadamente si son paralelas, perpendiculares o secantes no perpendiculares.

Halla la ecuación explícita de la recta que es paralela a $y = -3x + 2$ y que pasa por el punto $P(0, 5)$.

Un vector director de la recta $r$ es $\vec{v} = (3, -1)$. Escribe un vector director para una recta que sea paralela a $r$ y otro para una recta que sea perpendicular a $r$.

Determina la ecuación punto-pendiente de la recta perpendicular a $y = \frac{2}{5}x - 1$ que pasa por el punto $A(4, 2)$.

Comprueba analíticamente si las rectas dadas en forma general $r: 3x - 6y + 2 = 0$ y $s: x - 2y - 5 = 0$ son paralelas.

Escribe la ecuación general de la recta que es paralela al eje de abscisas (eje X) y pasa por el punto $Q(-3, 8)$.

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 8)$, y deduce a partir de ella cuál sería la pendiente de cualquier recta perpendicular a la misma.

Marcos tiene que hallar la ecuación explícita de la recta $s$, perpendicular a la recta $r: y = -\dfrac{3}{4}x + 2$, que pasa por el punto $P(0, -5)$. En su examen escribe lo siguiente:

«Como es perpendicular, le cambio el signo a la pendiente, así que $m_s = \dfrac{3}{4}$. Como corta al eje de ordenadas en $-5$, la recta es $y = \dfrac{3}{4}x - 5$».

1. a) Identifica y explica razonadamente el error conceptual de Marcos. Apóyate en el significado geométrico de la pendiente (avance y elevación) para justificar por qué su recta no forma un ángulo de $90^\circ$ con $r$.
2. b) Corrige la resolución y escribe la ecuación explícita correcta de la recta $s$.

Construye las ecuaciones generales ($Ax + By + C = 0$) de dos rectas distintas, $r$ y $s$, que cumplan a la vez las siguientes condiciones:

1) Ambas deben ser perpendiculares a la recta dada $t: 2x - 5y + 10 = 0$.

2) La recta $r$ debe pasar por el origen de coordenadas $(0, 0)$.

3) La recta $s$ debe cortar al eje de abscisas en el punto $(4, 0)$.

Una vez obtenidas, demuestra que $r$ y $s$ son paralelas entre sí analizando sus pendientes o sus coeficientes, y explica qué significado geométrico tiene la diferencia entre sus términos independientes $C$.

En el plano de una ciudad, la calle Alcalá sigue la trayectoria de la recta $2x + 5y - 10 = 0$. La calle Goya es perpendicular a ella y pasa por una plaza situada en las coordenadas $P(-2, 3)$. Halla la ecuación general de la calle Goya.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la recta $kx - 3y + 6 = 0$ sea paralela a la recta que une los puntos $A(1, 2)$ y $B(4, 11)$.

Un haz láser viaja a lo largo de la recta $y = 3x - 2$. En el punto exacto donde el láser cruza el eje de ordenadas (eje Y), se coloca un espejo perpendicular a la trayectoria del rayo. Determina la ecuación explícita de la recta que representa al espejo.

Los lados contiguos de una parcela rectangular se asientan sobre las rectas $r: 2x - 4y + 7 = 0$ y $s: 4x + 2y - 3 = 0$. Comprueba analíticamente que los lados forman un ángulo recto. Después, halla la ecuación de una recta paralela a $r$ que pase por el origen de coordenadas.

Dos aviones vuelan a la misma altitud. La ruta del primer avión viene dada por las ecuaciones paramétricas $x = 1 + 5t$, $y = -2 - 3t$. La ruta del segundo avión es paralela a la del primero y pasa por la torre de control $T(0, 0)$. Escribe las ecuaciones paramétricas de la ruta del segundo avión.

Determina el valor del parámetro $m$ para que las rectas $r: mx + 4y - 1 = 0$ y $s: 2x - 5y + 8 = 0$ sean perpendiculares.

Una tubería principal de riego sigue la recta de ecuación continua $\frac{x-2}{4} = \frac{y+1}{-3}$. Se necesita instalar una tubería secundaria perpendicular a la principal que conecte con un aspersor situado en $S(-1, 5)$. Halla la ecuación continua de esta tubería secundaria.

Halla la ecuación explícita de la mediatriz del segmento de extremos $A(-2, 3)$ y $B(4, 1)$. (Recuerda que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio).

Dos repetidores de telecomunicaciones se sitúan en las coordenadas $A(-2, -1)$ y $B(4, 3)$. Para repartir la cobertura de forma equilibrada, los técnicos deben trazar la mediatriz del segmento $AB$.

1. a) Antes de realizar ningún cálculo algebraico:

• Deduce razonadamente si la pendiente del segmento $AB$ es positiva o negativa y, a partir de ella, qué signo debe tener la pendiente de la mediatriz.

• Determina mentalmente en qué cuadrante estará el punto medio del segmento $AB$ y estima si la ordenada en el origen de la mediatriz será positiva o negativa.

1. b) Realiza los cálculos analíticos: calcula las coordenadas del punto medio de $AB$, la pendiente de la mediatriz y escribe su ecuación en forma general ($Ax + By + C = 0$).
2. c) Comprueba si los valores calculados en el apartado b confirman las estimaciones que hiciste en el apartado a y razona por qué el resultado es geométricamente coherente.

En la red ferroviaria, un tramo recto de vía de alta velocidad sigue la trayectoria de la recta $r: 3x + 4y - 24 = 0$ (donde las coordenadas $x$ e $y$ están en kilómetros respecto a un centro de control). Una plataforma logística situada en el punto $P(7, 7)$ necesita conectarse con la vía principal mediante un ramal secundario totalmente recto.

1. a) Para minimizar el costo y el impacto ambiental, el ramal debe seguir la distancia más corta posible hasta la vía. Halla la ecuación general de la recta $s$ por la que debe pasar dicho ramal y razona qué propiedad geométrica asegura que sea el trazado de menor longitud.
2. b) Calcula las coordenadas exactas del punto de conexión $Q$ donde el ramal se unirá a la vía principal resolviendo el sistema formado por ambas rectas.
3. c) La normativa establece que si la distancia entre la plataforma y la vía principal supera los $4\text{ km}$, se debe construir una estación técnica intermedia. Justifica si será necesaria dicha estación calculando la distancia exacta entre $P$ y $Q$.

El diseño del tejado de un pabellón deportivo incluye dos vigas de acero que se cruzan. La viga 1 se apoya en la recta $ax + 3y - 5 = 0$ y la viga 2 en la recta $2x - by + 4 = 0$. Calcula los valores exactos de $a$ y $b$ sabiendo que las vigas son perpendiculares y que la viga 1 pasa por el punto $P(1, -2)$.

Demuestra analíticamente que el cuadrilátero cuyos vértices son $A(1, 1)$, $B(5, 3)$, $C(4, 5)$ y $D(0, 3)$ es un rectángulo. Para ello, comprueba las pendientes de sus lados y confirma que los ángulos contiguos son rectos.

Un barco navega en línea recta siguiendo la trayectoria $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Un faro se encuentra situado en el punto $F(7, 7)$. Calcula la distancia más corta desde el faro hasta la trayectoria del barco. (Pista: halla la recta perpendicular a $r$ que pasa por $F$, encuentra el punto de corte y calcula la distancia entre ambos puntos).

Dadas las rectas $r: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{k}$ y $s: 3x - 5y + 2 = 0$, determina el valor de $k$ para que sean paralelas. A continuación, calcula el valor de $k$ para que sean perpendiculares.

Calcula las coordenadas exactas del ortocentro (punto de corte de las tres alturas) del triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(2, -5)$.

Un panel solar está alineado con la recta que pasa por los puntos $P(1, 4)$ y $Q(5, 2)$. Para maximizar la eficiencia, los rayos del sol deben incidir de forma perpendicular sobre el panel. Escribe las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de un rayo de sol que impacta exactamente en el punto medio del panel.

Halla las coordenadas exactas de la proyección ortogonal del punto $P(3, -2)$ sobre la recta $r: x - 2y + 5 = 0$. (Nota: la proyección ortogonal es el punto de intersección de la recta $r$ con la recta perpendicular a ella que pasa por $P$).

Dos robots aspiradores se mueven por una sala diáfana. El primero sigue la trayectoria dada por la ecuación $y = \frac{1}{2}x + 2$. El segundo se mueve por una línea perpendicular a la del primero, de forma que ambos chocarían en el punto exacto de corte de la primera trayectoria con el eje de ordenadas (eje Y). Halla la ecuación explícita de la trayectoria del segundo robot y calcula el área del triángulo formado por las trayectorias de ambos robots y el eje de abscisas (eje X).

Para comprobar si las rectas $r: 12x - 15y + 8 = 0$ y $s: 10x + 8y - 3 = 0$ son perpendiculares entre sí, dos estudiantes proponen caminos distintos:

• Método 1: Despejar la ecuación explícita ($y = mx + n$) de cada una, identificar sus pendientes y comprobar si $m_r \cdot m_s = -1$.

• Método 2: Aplicar directamente la condición sobre los coeficientes de la ecuación general ($A_r \cdot A_s + B_r \cdot B_s = 0$).

1. a) Resuelve el problema aplicando ambos métodos y verifica que conducen a la misma conclusión.
2. b) Compara los dos caminos: ¿cuál resulta más eficiente y minimiza el riesgo de cometer errores con fracciones y signos? Deduce algebraicamente por qué la condición $A_r \cdot A_s + B_r \cdot B_s = 0$ equivale exactamente a $m_r \cdot m_s = -1$.
3. c) Sabiendo que $r$ y $s$ son perpendiculares, ¿es posible encontrar alguna recta en el plano que sea paralela a $r$ y que no sea perpendicular a $s$? Justifica tu respuesta de forma lógica sin necesidad de plantear ecuaciones numéricas.

En un plano urbanístico se van a situar tres edificios $A$, $B$ y $C$ de manera que formen un triángulo rectángulo cuyo ángulo recto esté en el vértice $B$. Las posiciones de los dos primeros son fijas: $A(-1, 2)$ y $B(3, 5)$. El tercer edificio, $C$, debe ubicarse sobre una avenida cuya trayectoria es la recta horizontal de ecuación $y = 11$.

1. a) Plantea la condición analítica de perpendicularidad entre las rectas que contienen a los lados $AB$ y $BC$, y calcula las coordenadas exactas $(x_C, y_C)$ en las que debe construirse el edificio $C$.
2. b) Supón ahora que se cambia el proyecto y el edificio $C$ debe ubicarse obligatoriamente sobre una calle vertical de ecuación $x = k$. Demuestra algebraicamente si existe algún valor concreto de $k$ para el cual sea totalmente imposible construir el triángulo rectángulo con vértice recto en $B$, y explica qué situación geométrica anómala se produce en ese caso.