Ejercicios: Distancia entre dos puntos

Calcula la distancia exacta entre los puntos $A(2, 3)$ y $B(5, 7)$ en el plano cartesiano.

Un barco se encuentra en las coordenadas $P(-4, 1)$ y un faro en $Q(2, -7)$. Si cada unidad del plano equivale a un kilómetro, ¿a qué distancia en línea recta se encuentra el barco del faro?

Halla la longitud del segmento cuyos extremos son el origen de coordenadas $O(0, 0)$ y el punto $M(-8, 6)$.

Los vértices de un triángulo son $A(1, 1)$, $B(4, 1)$ y $C(1, 5)$. Calcula el perímetro de este triángulo sumando las longitudes de sus tres lados.

En una pantalla de radar bidimensional, dos aviones están localizados en los puntos $R(-3, -2)$ y $S(9, 3)$. Determina la distancia lineal entre ambos en las unidades del radar.

Calcula la longitud de la diagonal de un rectángulo si sabes que dos de sus vértices opuestos tienen las coordenadas $V_1(-1, 4)$ y $V_2(5, -4)$.

Comprueba matemáticamente si los segmentos $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ tienen exactamente la misma longitud, siendo las coordenadas de los puntos $A(0, 2)$, $B(3, 6)$, $C(-2, -1)$ y $D(2, 2)$.

Un topógrafo marca dos puntos en un terreno llano: $T_1(12, 5)$ y $T_2(24, 10)$. Si las coordenadas están expresadas en metros, ¿cuántos metros de cable necesita para unirlos en línea recta?

Marcos quiere calcular la distancia entre los puntos $A(-1, 5)$ y $B(3, 2)$ en un plano cartesiano. En su cuaderno escribe el siguiente desarrollo:

1. a) Señala con precisión el error conceptual y algebraico que comete Marcos en el último paso y explica por qué la raíz cuadrada de una suma no es igual a la suma de las raíces.
2. b) Corrige el procedimiento y calcula el valor numérico exacto de la distancia euclídea entre $A$ y $B$.

Considera los puntos $A(1, 2)$ y $B(7, 10)$ en el plano cartesiano.

1. a) Antes de aplicar la fórmula de la distancia, analiza los desplazamientos horizontal ($\Delta x = |7 - 1| = 6$) y vertical ($\Delta y = |10 - 2| = 8$). Razona por qué el valor de $d(A,B)$ debe ser forzosamente mayor que $8$ y menor que $14$ apoyándote en las propiedades geométricas de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo (desigualdad triangular).
2. b) Calcula ahora el valor analítico exacto de $d(A,B)$ y comprueba si tu estimación e intervalos iniciales eran correctos.

La distancia entre los puntos $A(1, 2)$ y $B(x, 5)$ es de exactamente $5$ unidades. Encuentra los dos posibles valores de la coordenada $x$.

Un repartidor en bicicleta sale de la tienda situada en $O(0,0)$, va en línea recta hasta la primera entrega en $A(6, 8)$ y luego cambia de rumbo para dirigirse a la segunda entrega en $B(15, -4)$. Si cada unidad del plano representa $100$ metros, ¿cuál es la distancia total recorrida en kilómetros?

En un plano de arquitectura, tres columnas principales se situarán en las coordenadas $P(-2, 1)$, $Q(2, 4)$ y $R(5, 0)$. Demuestra matemáticamente si el triángulo que forman estas tres columnas es isósceles.

Una antena de telecomunicaciones tiene un alcance circular máximo de $10\text{ km}$. Si la antena está ubicada en el punto $C(3, -2)$ de un mapa (donde $1$ unidad de coordenada equivale a $1\text{ km}$), averigua si un usuario situado en la posición $U(-4, 5)$ se encuentra dentro de la zona de cobertura.

Encuentra las coordenadas de todos los puntos situados sobre el eje de abscisas (eje X) que se encuentren a exactamente $10$ unidades de distancia del punto $M(-6, 8)$.

En una jugada ensayada de fútbol, un jugador situado en $J_1(10, 20)$ realiza un pase raso a su compañero en $J_2(34, 27)$, quien sin parar el balón chuta directamente hacia el centro de la portería en $P(50, 15)$. Calcula la distancia total que recorre el balón. (Las coordenadas están dadas en metros).

Demuestra, calculando las longitudes de los tres lados y utilizando el teorema de Pitágoras, que el triángulo de vértices $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ y $C(2, 4)$ es un triángulo rectángulo.

La estación base de un teleférico está en $B(0, 0)$ y la cima de la montaña en $C(120, 50)$ en un plano bidimensional. Se requiere instalar una torre de soporte exactamente en el punto medio del trayecto lineal. Calcula las coordenadas de dicho punto medio y la distancia desde la base hasta la torre.

Diseña las coordenadas de tres puntos distintos del plano cartesiano, $A$, $B$ y $C$, situados todos en el primer cuadrante y con coordenadas enteras no nulas, que cumplan a la vez las siguientes condiciones:

1. La distancia entre $A$ y $B$ debe ser exactamente $\sqrt{13}$ unidades.

2. La distancia entre $B$ y $C$ debe ser exactamente $\sqrt{52}$ unidades.

3. Los tres puntos deben estar alineados, verificando la relación $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$.

Explica el razonamiento que has seguido para construir sus coordenadas y demuestra analíticamente, calculando la distancia $d(A,C)$, que los puntos están efectivamente alineados sin apoyarte en un dibujo.

El centro de coordinación de Salvamento Marítimo de Tarifa monitoriza dos embarcaciones en emergencia en el Estrecho de Gibraltar. En la pantalla del radar (donde cada unidad de cuadrícula representa $1\text{ milla náutica}$), un pesquero averiado está en la posición $P(2, 5)$ y un velero en $V(8, -3)$. Una patrullera rápida de rescate se encuentra en la costa en el punto $C(2, -1)$.

1. a) Si la patrullera navega en línea recta a velocidad constante, determina a cuál de las dos embarcaciones auxiliará antes. Justifica tu conclusión calculando las distancias exactas desde $C$ hasta cada una de ellas.
2. b) Una embarcación de apoyo se encuentra en el punto intermedio $M(5, 1)$. Comprueba numéricamente, aplicando la condición métrica de alineación de puntos, si dicha embarcación se halla exactamente en el rumbo directo que une al pesquero $P$ con el velero $V$.

Encuentra las coordenadas de un punto $P$ situado sobre la bisectriz del primer cuadrante (la recta $y = x$) que equidiste de los puntos fijos $A(2, 0)$ y $B(0, 4)$.

Los puntos $A(-1, 3)$, $B(4, 5)$ y $C(2, -2)$ son tres vértices consecutivos de un paralelogramo $ABCD$. Encuentra las coordenadas del cuarto vértice $D$ y calcula la longitud exacta de ambas diagonales del paralelogramo.

En un simulador de vuelo espacial en 3D, una nave se mueve desde la coordenada $P_1(2, -1, 4)$ hasta la estación orbital en $P_2(5, 3, 16)$. Calcula la distancia lineal exacta que recorre la nave en el espacio.

Una tubería recta debe conectar un pozo situado en el punto $A(-3, 2)$ con una bomba de agua $P$ que obligatoriamente debe instalarse sobre el eje de ordenadas (eje Y). Si por restricciones de presión la longitud de la tubería debe ser exactamente de $\sqrt{29}$ unidades, encuentra las posibles coordenadas para la bomba $P$.

Los vértices de un terreno con forma triangular son $A(-4, -2)$, $B(2, 6)$ y $C(6, 3)$. Demuestra primero que el terreno forma un triángulo rectángulo y, a continuación, calcula su perímetro y su área exacta.

Un sistema de riego automatizado consta de un aspersor circular con centro en $C(x, y)$ que debe regar por igual tres árboles situados en las coordenadas $T_1(0, 0)$, $T_2(6, 0)$ y $T_3(0, 8)$. Determina las coordenadas en las que debe colocarse el aspersor $C$ y cuál será su radio de alcance exacto.

Determina si los puntos $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$ y $C(7, 7)$ están perfectamente alineados. Para ello, calcula las distancias $d(A,B)$, $d(B,C)$ y $d(A,C)$, y comprueba si se cumple la igualdad $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$.

Una empresa de telecomunicaciones quiere instalar un cable de fibra óptica que conecte dos edificios $E_1(0, 0)$ y $E_2(21, 0)$. El costo de instalación es de $1\,050\text{ \text{Bs}\ }$ por cada unidad de longitud. Si deciden añadir un nodo intermedio en $N(16, 12)$ y conectar $E_1$ con $N$, y luego $N$ con $E_2$, ¿cuánto dinero extra costará esta desviación respecto a la conexión directa entre ambos edificios?

Para comprobar si los puntos $A(-1, -2)$, $B(1, 2)$ y $C(3, 6)$ están alineados en una misma recta, se plantean dos estrategias matemáticas diferentes:

• Método 1 (Métrico): Calcular las tres distancias $d(A,B)$, $d(B,C)$ y $d(A,C)$ mediante el módulo de los desplazamientos y verificar si la suma de las dos menores iguala a la mayor.

• Método 2 (Vectorial): Calcular las componentes de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$ y verificar si son directamente proporcionales.

1. a) Aplica el Método 1 simplificando los radicales al máximo para operar con valores exactos.
2. b) Aplica el Método 2.
3. c) Compara ambos caminos y argumenta cuál de los dos es preferible desde el punto de vista de la economía de cálculo y de la seguridad para evitar errores de redondeo cuando las distancias resultan ser números irracionales.

Una empresa de telecomunicaciones proyecta instalar una torre repetidora para dar cobertura a dos pueblos rurales representados en un mapa comarcal por los puntos $A(-3, 2)$ y $B(5, 6)$ (coordenadas medidas en kilómetros). Por motivos técnicos de acceso, la estación debe construirse sobre una carretera recta cuyo trazado responde a la ecuación $y = 3x - 4$. Además, para equilibrar la potencia de señal recibida en ambos municipios, la estación $P(x, y)$ debe equidistar de ambos ($d(P,A) = d(P,B)$).

1. a) Modela la condición de equidistancia desarrollando la igualdad $d(P,A)^2 = d(P,B)^2$ y obtén la ecuación lineal general de la recta mediatriz del segmento que une ambos pueblos.
2. b) Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar las coordenadas exactas de la ubicación de la antena.
3. c) Calcula la distancia exacta en kilómetros desde la antena hasta cada uno de los dos municipios comprobando que coinciden.