Ejercicios: Regresión no lineal y causalidad

En un ajuste lineal por mínimos cuadrados se ha obtenido un coeficiente de correlación $r = -0,9$. Calcula el coeficiente de determinación $r^2$ e interpreta su significado: ¿qué porcentaje de la variación de la variable $y$ queda explicado por la variación de $x$?

Las tres nubes de puntos de la figura corresponden a tres estudios distintos. Para cada una de ellas, indica qué tipo de modelo parece más adecuado —lineal ($y = a + bx$), cuadrático ($y = a + bx + cx^2$) o exponencial ($y = a \cdot b^x$)— y justifica brevemente tu elección.

Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «El coeficiente de correlación entre las ventas de helados y el número de ahogamientos en piscinas es alto y positivo; por tanto, vender más helados provoca más ahogamientos». Si es falsa, explica el error de interpretación y nombra una variable que podría explicar ambas a la vez.

En dos estudios estadísticos se han obtenido los coeficientes de correlación $r_1 = 0,8$ y $r_2 = -0,95$. ¿Cuál de los dos ajustes lineales permite hacer predicciones más fiables? Explica por qué el signo del coeficiente no afecta a la fiabilidad.

Un observatorio de la AEMET en una capital del interior peninsular registra las temperaturas en un caluroso día de julio desde las 08:00 ($x = 0$) hasta las 20:00 ($x = 12$). Los termómetros marcan $21\,^\circ\text{C}$ a primera hora, alcanzan un máximo de $41\,^\circ\text{C}$ sobre las 16:00 ($x = 8$) y descienden a $33\,^\circ\text{C}$ a las 20:00. Un equipo de estudiantes duda entre tres modelos para ajustar los datos: el lineal $y = a + bx$, el exponencial $y = a \cdot b^x$ ($a > 0$, $b > 0$) y el cuadrático $y = ax^2 + bx + c$.

1. a) Compara las propiedades gráficas y de crecimiento de los tres modelos y descarta razonadamente dos de ellos explicando por qué su comportamiento es físicamente incompatible con la evolución de la temperatura en ese intervalo.
2. b) Para el modelo que has considerado idóneo, indica justificadamente qué signo debe tener el parámetro $a$ para reflejar la existencia de una temperatura máxima diaria.
3. c) Si al calcular el coeficiente de correlación lineal se obtiene un valor bajo de $r = 0,38$, un estudiante afirma: «Como $r$ es tan bajo, queda demostrado que la hora del día apenas influye en la temperatura». Explica qué error conceptual comete al interpretar este valor de $r$.

Lucía analiza la depreciación del valor de mercado de un vehículo eléctrico en el mercado de segunda mano español en función de su antigüedad $x$ (en años). Para ajustar un modelo exponencial decreciente $y = a \cdot b^x$ ($y > 0$), aplica la transformación logarítmica neperiana $z = \ln y$ y obtiene mediante mínimos cuadrados la recta:

En las conclusiones de su trabajo de fin de curso, Lucía escribe:

«El precio de salida del vehículo nuevo es de $a = 10,2$ bolivianos y cada año que pasa su valor se multiplica por $b = -0,15$. Como el coeficiente de correlación de la recta transformada es $r = -0,98$, el paso del tiempo es la causa directa y única de toda la pérdida de valor del automóvil».

1. a) Localiza los dos errores algebraicos que comete Lucía al deducir los parámetros $a$ y $b$ a partir de la recta linealizada y calcula sus valores correctos (puedes dejarlos expresados como potencias del número $e$ y dar una aproximación con dos decimales).
2. b) Detecta el error conceptual en su afirmación sobre la causalidad y propón al menos una variable latente o ajena a los años del vehículo que también influya decisivamente en su valor de reventa.

Se sospecha que la variable $y$ depende cuadráticamente de $x$. Con los cinco datos de la tabla

se han calculado las sumas $\sum x_i = 10$, $\sum x_i^2 = 30$, $\sum x_i^3 = 100$, $\sum x_i^4 = 354$, $\sum y_i = 25$, $\sum x_i y_i = 60$ y $\sum x_i^2 y_i = 204$.

1. a) Plantea el sistema de tres ecuaciones que deben cumplir los coeficientes de la parábola de regresión $y = a x^2 + bx + c$.

1. b) Resuélvelo y escribe la ecuación del ajuste cuadrático.

1. c) Estima el valor de $y$ para $x = 5$ y comenta la fiabilidad de esa predicción.

El número de usuarios de una aplicación crece de forma aproximadamente exponencial: $y = a \cdot b^x$, donde $x$ son los meses transcurridos. Tomando logaritmos neperianos, $\ln y = \ln a + x \cdot \ln b$, de modo que los pares $(x, \ln y)$ se ajustan a una recta. Los datos linealizados son:

1. a) Comprueba que los cuatro puntos linealizados están exactamente sobre una recta y halla su ecuación.

1. b) Deduce los valores de $a$ y $b$ (expresa $a$ y $b$ como potencias de $e$ y aproxímalas con dos decimales).

1. c) Estima el número de usuarios al cabo de $6$ meses.

Para los mismos datos se han probado dos modelos: un ajuste lineal con $r = 0,84$ y un ajuste cuadrático con coeficiente de determinación $r^2 = 0,93$.

1. a) Calcula el coeficiente de determinación del modelo lineal.

1. b) ¿Qué porcentaje de la variación de $y$ explica cada modelo?

1. c) ¿Cuál elegirías para hacer predicciones? Justifica tu respuesta.

En una ciudad se observa una correlación $r = 0,92$ entre el número de camiones de bomberos que acuden a un incendio y los daños económicos que este provoca. Un político afirma: «Para reducir los daños de los incendios, deberíamos enviar menos camiones de bomberos». Analiza la falacia de su razonamiento, identifica la variable que explica la correlación y formula una conclusión correcta a partir del mismo dato.

Con los datos de una distribución bidimensional en la que $x$ varía entre $10$ y $30$, con $\bar{x} = 20$ y $r = 0,97$, se ha obtenido una recta de regresión. Dos alumnos la usan para estimar $y$: uno para $x = 22$ y otro para $x = 55$.

1. a) ¿Qué estimación es más fiable? Razona la respuesta usando la posición de cada valor respecto del rango de los datos y de $\bar{x}$.

1. b) ¿Cómo se llama el tipo de predicción que se hace fuera del rango de los datos y por qué es arriesgada?

La figura muestra el porcentaje de hogares bolivianos con conexión de fibra óptica en función de los años transcurridos desde 2015, según datos del INE.

1. a) Ajusta una recta de regresión a los cinco primeros datos usando las medias $\bar{x} = 4$, $\bar{y} = 64,6$ y los valores $s_{xy} = 55,2$, $s_x^2 = 8$.

1. b) Predice el porcentaje para $x = 12$ (año 2027) con esa recta.

1. c) Observando la forma de la nube de puntos completa, critica la validez de esa predicción a largo plazo: ¿qué cota natural tiene la variable y qué tipo de modelo sería más sensato?

Un alumno, tras calcular un coeficiente de correlación $r = 0,4$, escribe en su informe: «Como $r = 0,4$, el $40\,\%$ de la variación de $y$ se debe a la variación de $x$». Detecta el error conceptual, corrígelo calculando el porcentaje correcto y valora si el ajuste lineal es adecuado para hacer predicciones con esos datos.

En un laboratorio de Física se mide el periodo $T$ de un péndulo en función de su longitud $L$, y se sospecha una relación potencial $T = a \cdot L^b$. Tomando logaritmos, $\ln T = \ln a + b \cdot \ln L$. Los datos linealizados son:

1. a) Ajusta una recta a los datos linealizados y escribe su ecuación.

1. b) Deduce los valores de $a$ y $b$.

1. c) Compara el valor obtenido de $b$ con el que predice la Física, $b = \frac{1}{2}$, y comenta el resultado.

Un grupo de biólogos monitoriza en un humedal de Doñana la propagación de una especie vegetal invasora. Se mide la superficie afectada $y$ (en $\text{m}^2$) en función del tiempo transcurrido $x$ (en semanas) desde que comenzó el seguimiento, obteniendo las siguientes mediciones:

• A las $x = 0$ semanas: $y = 10\text{ m}^2$.

• A las $x = 2$ semanas: $y = 40\text{ m}^2$.

• A las $x = 4$ semanas: $y = 160\text{ m}^2$.

1. a) Observa la pauta de variación de los datos y realiza una estimación intuitiva de qué superficie ocupará la planta invasora a las $x = 5$ semanas y a las $x = 6$ semanas, explicando el razonamiento que has utilizado.
2. b) Para comprobar matemáticamente tu estimación, aplica la transformación logarítmica $z = \ln y$ a los tres pares de datos. Demuestra que los puntos transformados $(x, z)$ están perfectamente alineados en una recta $z = \ln a + x \cdot \ln b$ y calcula los valores exactos de los parámetros $a$ y $b$ del modelo exponencial $y = a \cdot b^x$.
3. c) Sustituye $x = 5$ en el modelo analítico obtenido, comprueba si coincide con tu estimación previa y valora si este modelo exponencial sigue siendo verosímil para predecir la superficie ocupada tras un año completo ($x = 52$ semanas), teniendo en cuenta los límites físicos del ecosistema.

La Dirección General de Tráfico (DGT) realiza ensayos de seguridad vial para modelizar la distancia total de frenado de emergencia $y$ (en metros) de un automóvil sobre pavimento mojado según la velocidad inicial $x$ (medida en decenas de km/h, es decir, $x = 2$ representa $20\text{ km/h}$). Los resultados experimentales son los siguientes:

• Para $x = 2$: $y = 4\text{ m}$.

• Para $x = 4$: $y = 16\text{ m}$.

• Para $x = 8$: $y = 64\text{ m}$.

1. a) Se sospecha que la relación responde a un modelo potencial $y = a \cdot x^b$. Aplica la doble transformación logarítmica neperiana ($w = \ln x$ y $z = \ln y$) y expresa las coordenadas transformadas $(w_i, z_i)$ en función de $\ln 2$.
2. b) Comprueba que los tres puntos transformados pertenecen a una misma recta $z = \ln a + b \cdot w$, calcula algebraicamente su pendiente $b$ y su ordenada en el origen $\ln a$, y escribe la ecuación definitiva del modelo potencial $y = f(x)$.
3. c) Interpreta el valor numérico del exponente $b$ apoyándote en la física (fórmula de la energía cinética, $E_c = \frac{1}{2}m v^2$). ¿Por qué este modelo evidencia que duplicar la velocidad de conducción implica un aumento mucho más drástico del riesgo de impacto?

El consumo de un auto eléctrico, en $\text{kWh}$ cada $100\ \text{km}$, se ha medido a distintas velocidades y los datos aparecen en la figura:

1. a) Representa mentalmente (o bosqueja) la nube de puntos y razona por qué un modelo cuadrático es más adecuado que uno lineal.

1. b) Calcula las sumas necesarias $\sum x_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i^3$, $\sum x_i^4$, $\sum y_i$, $\sum x_i y_i$, $\sum x_i^2 y_i$ y plantea el sistema del ajuste cuadrático.

1. c) Resuelve el sistema y escribe la ecuación de la parábola de regresión (redondea los coeficientes a cuatro decimales).

1. d) Halla la velocidad de consumo mínimo según el modelo y predice el consumo a $140\ \text{km/h}$, valorando la fiabilidad de esa predicción.

En varios distritos de una región europea se ha observado una correlación $r = 0,85$ entre el número de cigüeñas censadas y el número de nacimientos registrados.

1. a) Explica por qué sería absurdo concluir que las cigüeñas «traen» los bebés, identificando el tipo de correlación que presenta este ejemplo.

1. b) Propón una variable oculta plausible que explique la correlación y razona cómo actúa sobre ambas variables.

1. c) Diseña brevemente qué datos recogerías y qué cálculo harías para desenmascarar la relación espuria.

En una distribución bidimensional, la recta de regresión de $y$ sobre $x$ tiene pendiente $m_{yx} = 1,2$ y la recta de regresión de $x$ sobre $y$ tiene pendiente $m_{xy} = 0,75$.

1. a) Utilizando la relación $m_{yx} \cdot m_{xy} = r^2$, calcula el coeficiente de determinación.

1. b) Deduce el valor del coeficiente de correlación $r$, razonando su signo.

1. c) Interpreta el valor de $r^2$ como porcentaje de variación explicada y valora la fiabilidad de las predicciones hechas con esas rectas.

La superficie de un lago cubierta por una planta invasora se ha medido durante $5$ meses:

1. a) Representa los pares $(x, \ln y)$, comprueba que se alinean razonablemente y ajusta una recta a los datos linealizados (tómate $\ln y$ con dos decimales).

1. b) Escribe el modelo exponencial $y = a \cdot b^x$ correspondiente y calcula el ritmo de crecimiento mensual en porcentaje.

1. c) Predice la superficie cubierta en el mes $8$ y, sabiendo que el lago tiene $1.500\ \text{m}^2$, comenta qué problema presenta extrapolar este modelo a largo plazo.

Para modelizar la trayectoria de un proyectil en una prueba balística se toma una muestra de $N = 5$ puntos con abscisas simétricas respecto al origen: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 0$, $x_4 = 1$ y $x_5 = 2$. Se desea ajustar una parábola por mínimos cuadrados $y = ax^2 + bx + c$, cuyo sistema general de ecuaciones normales es:

1. a) Calcula las sumas $\sum x_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i^3$ y $\sum x_i^4$. Explica qué propiedad de la simetría de las $x_i$ hace que el parámetro $b$ quede completamente desacoplado de $a$ y $c$, simplificando el sistema de 3 ecuaciones en dos bloques independientes.
2. b) Plantea el problema inverso: se pretende que la curva ajustada tenga vértice en $(0, 4)$ con apertura hacia abajo, resultando exactamente el modelo $y = -0,5x^2 + 4$. Si la suma de las ordenadas observadas es $\sum y_i = 15$, deduce qué valor exacto debe tomar la suma ponderada $\sum x_i^2 y_i$ para que el modelo satisfaga el sistema de mínimos cuadrados.
3. c) Construye una tabla con cinco valores concretos $(x_i, y_i)$ que cumplan simultáneamente la simetría $y_1 = y_5$, $y_2 = y_4$, $\sum y_i = 15$ y que encajen con dicha parábola. Si calculases el coeficiente de correlación lineal tradicional $r$ para esos 5 puntos, ¿qué valor exacto obtendrías? Razona la aparente paradoja entre el valor de $r$ y la fuerza de la dependencia funcional existente.

Un estudio del Instituto Nacional de Estadística (INE) sobre el desarrollo socioeconómico en municipios del área rural de Bolivia analiza la relación entre la cobertura de fibra óptica ($x$, en $\%$ de hogares conectados) y la productividad agraria media ($y$, en miles de bolivianos por unidad productiva al año). Para ajustar los datos de 50 municipios, un equipo econométrico ensaya dos linealizaciones logarítmicas:

• Opción 1 (regresión de $\ln y$ sobre $x$): obtiene la recta $z = 1,38 + 0,02 x$ con coeficiente de determinación $R_1^2 = 0,82$.

• Opción 2 (regresión de $\ln y$ sobre $\ln x$): obtiene la recta $z = 0,69 + 0,55 w$ (donde $w = \ln x$) con coeficiente de determinación $R_2^2 = 0,95$.

1. a) Deshaz algebraicamente las transformaciones y escribe la expresión explícita $y = f(x)$ que corresponde a cada uno de los dos modelos (puedes aproximar los coeficientes que involucren potencias de $e$ a dos cifras decimales).
2. b) Analiza el comportamiento de la tasa de crecimiento de la productividad en ambos modelos cuando la cobertura de fibra $x$ se hace muy grande. Justifica cuál de los dos refleja mejor el principio económico de rendimientos decrecientes (donde cada punto porcentual extra de cobertura aporta un incremento de productividad cada vez menor) y compáralo con el criterio estadístico que proporciona el coeficiente $R^2$.
3. c) El alcalde de una localidad concluye en una sesión del concejo municipal: «Dado que el modelo potencial tiene un ajuste excelente de $R^2 = 0,95$, invertir todo el presupuesto disponible en alcanzar el $100\,\%$ de fibra óptica garantizará directamente que la productividad de nuestros agricultores alcance el máximo previsto». Realiza una crítica metodológica de esta conclusión analizando por qué una correlación no implica causalidad y señalando al menos dos variables ocultas (o factores de confusión) que probablemente expliquen simultáneamente una alta conectividad y una alta productividad.