Ejercicios: Coeficiente de correlación lineal

En un estudio sobre el rendimiento de paneles solares, se ha calculado que la covarianza entre la radiación solar recibida ($X$) y la energía generada ($Y$) es $\sigma_{xy} = 15,2$. Sabiendo que las desviaciones típicas son $\sigma_x = 4,0$ y $\sigma_y = 3,9$, calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson e interpreta el resultado.

Considera las siguientes parejas de variables estadísticas. Indica, razonadamente, si el coeficiente de correlación lineal entre ellas será positivo, negativo o cercano a cero:

1. a) El número de horas de entrenamiento semanal de un atleta y su tiempo en recorrer 100 metros planos.
2. b) La cantidad de lluvia caída en un mes y las ventas de paraguas en ese mismo mes.
3. c) El último dígito del carnet de identidad de una persona y su estatura en centímetros.

El coeficiente de correlación lineal entre el gasto en publicidad ($X$, en miles de bolivianos) y los ingresos por ventas ($Y$, en miles de bolivianos) de una empresa es $r = 0,88$. Si las desviaciones estándar marginales son $\sigma_x = 17,50$ y $\sigma_y = 86,80$, determina el valor de la covarianza $\sigma_{xy}$.

Observa los tres diagramas de dispersión etiquetados como A, B y C. Asocia cada uno de ellos con el valor del coeficiente de correlación lineal que mejor lo describa, eligiendo entre los siguientes valores: $r = -0,92$, $r = 0,05$ y $r = 0,95$.

En una distribución bidimensional, se sabe que la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $m_{yx} = 1,25$ y la pendiente de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ es $m_{xy} = 0,65$. Sabiendo que la dependencia entre las variables es directa, calcula el coeficiente de correlación lineal $r$.

Se ha medido el tiempo de reacción ($X$, en segundos) y el número de errores cometidos ($Y$) en una prueba de coordinación psicomotriz para 3 individuos, obteniendo los siguientes pares de valores: $(1, 2)$, $(2, 4)$ y $(3, 5)$. Calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson para este pequeño conjunto de datos.

El coeficiente de determinación de un modelo matemático que relaciona la edad de un vehículo comercial ($X$, en años) con su valor de mercado ($Y$, en bolivianos) es $R^2 = 0,7225$. Sabiendo que a mayor edad el valor del vehículo disminuye, ¿cuál es el valor exacto del coeficiente de correlación lineal $r$?

Clasifica la fuerza (fuerte, moderada o débil/nula) y el sentido (positiva o negativa) de la correlación lineal para cada uno de los siguientes coeficientes obtenidos en distintos estudios estadísticos:

1. a) $r = 0,98$
2. b) $r = -0,12$
3. c) $r = -0,85$
4. d) $r = 0,55$

En una clase de 1.º de Bachillerato, Sergio analiza dos asignaturas para averiguar en cuál existe una mayor dependencia lineal respecto a las horas de estudio semanales. Tras realizar los cálculos, obtiene para la asignatura A un coeficiente de correlación $r_A = 0,42$ y para la asignatura B (donde mide el número de errores en un examen frente a las horas de estudio) un coeficiente $r_B = -0,81$. Sergio concluye en su informe: «La relación lineal es mucho más fuerte en la asignatura A que en la B porque $0,42 > -0,81$; además, el signo negativo en B demuestra que el modelo lineal no es válido para predecir los errores». Identifica y redacta con precisión los dos errores conceptuales cometidos por Sergio, explica por qué son falsas sus afirmaciones y determina en cuál de las dos asignaturas la recta de regresión explicará un mayor porcentaje de la variabilidad.

Una estación meteorológica en la Cordillera Occidental de los Andes registra la altitud sobre un punto base ($X$, en cientos de metros) y la temperatura media durante una semana invernal ($Y$, en $^\circ\text{C}$) en cinco cotas distintas: $(1, 9)$, $(2, 8)$, $(3, 6)$, $(4, 4)$ y $(5, 3)$. Realiza las siguientes tareas:

1. a) Antes de calcular nada, observa la tendencia de los pares de valores: ¿qué signo esperas para la covarianza y para $r$? Estima razonadamente si el valor de $|r|$ estará más próximo a $0$, a $0,5$ o a $1$.
2. b) Comprueba tu estimación calculando las medias $\bar{x}$ e $\bar{y}$, las desviaciones típicas $\sigma_x$ y $\sigma_y$, la covarianza $\sigma_{xy}$ y el coeficiente de correlación lineal $r$.
3. c) A partir del valor obtenido para $r$, calcula el coeficiente de determinación $r^2$ e interpreta qué porcentaje de la variabilidad de la temperatura queda explicado por la altitud.

Una empresa de logística quiere estudiar la relación entre el peso de los envíos ($X$, en kg) y el costo del transporte ($Y$, en bolivianos). Para ello, selecciona una muestra de 5 envíos, obteniendo los siguientes datos:

• Peso ($X$): 2, 4, 5, 8, 11

• Costo ($Y$): 84, 105, 126, 175, 210

Calcula las medias, las desviaciones estándar marginales, la covarianza y el coeficiente de correlación lineal. Según el resultado, ¿es el peso un buen predictor lineal del costo del transporte?

En un estudio de agronomía, se ha calculado que el coeficiente de correlación lineal entre la temperatura media mensual en grados Celsius ($C$) y la producción de un cultivo en toneladas ($P$) es $r = 0,82$. Si decidimos expresar la temperatura en grados Fahrenheit utilizando la fórmula $F = 1,8C + 32$ y la producción en kilogramos mediante $K = 1000P$, ¿cuál será el nuevo coeficiente de correlación entre $F$ y $K$? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades matemáticas de este coeficiente.

Los datos de un ensayo clínico sobre la dosis de un medicamento ($X$, en mg) y el tiempo de recuperación ($Y$, en días) para $N=10$ pacientes se resumen en los siguientes sumatorios:

$\sum x_i = 120$, $\sum y_i = 80$, $\sum x_i^2 = 1540$, $\sum y_i^2 = 680$, $\sum x_i y_i = 910$.

Calcula el coeficiente de correlación lineal e interpreta el resultado en el contexto del problema médico.

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre las horas de estudio semanales ($X$) y la calificación obtenida en un examen ($Y$) para un grupo de estudiantes.

Analiza visualmente la nube de puntos y responde de forma justificada:

1. a) Si no tuviéramos en cuenta el punto anómalo (outlier) situado en la parte inferior derecha, ¿cómo sería el coeficiente de correlación lineal?
2. b) ¿Qué efecto produce la inclusión de este punto anómalo sobre el valor del coeficiente de correlación de Pearson respecto al caso anterior?

En una investigación de mercado, se han obtenido las dos rectas de regresión lineal que relacionan el precio de un producto ($X$) y su demanda mensual ($Y$). Las ecuaciones de dichas rectas son:

Recta 1: $y = -1,5x + 120$

Recta 2: $x = -0,6y + 75$

Calcula el coeficiente de correlación lineal e indica el grado de relación entre el precio y la demanda.

En una distribución estadística bidimensional, se conoce que la varianza de la primera variable es $\sigma_x^2 = 25$, la covarianza conjunta es $\sigma_{xy} = 18$ y el coeficiente de correlación lineal es $r = 0,6$. A partir de estos datos, determina el valor exacto de la varianza de la segunda variable, $\sigma_y^2$.

Un entrenador de básquetbol analiza los minutos jugados ($X$) y los puntos anotados ($Y$) por 6 de sus jugadores en un partido, obteniendo los siguientes pares de datos: $(10, 4)$, $(15, 8)$, $(20, 12)$, $(25, 14)$, $(30, 20)$, $(35, 22)$. Calcula el coeficiente de determinación $R^2$ y explica qué porcentaje de la variabilidad de los puntos anotados queda explicada linealmente por los minutos jugados.

Dadas las rectas de regresión $y = 0,8x + 2,5$ y $x = 1,1y - 1,2$, calcula el coeficiente de correlación lineal $r$. A continuación, determina la media de la variable $Y$.

A partir de una muestra de 5 provincias, un estudio del parque automotor analiza la relación entre la antigüedad media de los autos ($X$, en años) y el gasto medio anual en reparaciones por vehículo ($Y$, en cientos de bolivianos), obteniendo las siguientes observaciones: $(4; 2,5)$, $(6; 3,5)$, $(8; 5,0)$, $(10; 6,0)$ y $(12; 8,0)$.

1. a) Modela la relación calculando las desviaciones típicas, la covarianza y el coeficiente de correlación lineal $r$. ¿Cómo calificarías la intensidad del ajuste lineal?
2. b) Calcula el coeficiente de determinación $r^2$ e interpreta en el contexto del problema qué porcentaje de la variabilidad del gasto en reparaciones constituye dispersión residual (no explicada por la antigüedad del vehículo).
3. c) Si una aseguradora decide expresar la antigüedad en meses ($X' = 12X$) y el costo en bolivianos ($Y' = 100Y$), justifica algebraicamente mediante las propiedades de la covarianza y la desviación típica cuál será el nuevo coeficiente de correlación $r'$ sin volver a operar con los datos numéricos individuales.

Se conocen cuatro observaciones de una distribución bidimensional: $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 6)$ y $(4, 8)$. Se va a incorporar una quinta observación de la forma $(5, y_5)$.

1. a) Determina qué valor debe tomar $y_5$ para que el coeficiente de correlación lineal sea exactamente $r = 1$. Justifica tu respuesta a partir de la relación funcional existente entre los cuatro primeros puntos, sin calcular varianzas.
2. b) Plantea la ecuación de la covarianza $\sigma_{xy}$ en función de $y_5$ y calcula qué valor debe tomar $y_5$ para que la covarianza sea exactamente $0$. Comprueba que, con ese valor, las desviaciones típicas son estrictamente positivas y concluye el valor de $r$.
3. c) Con el valor de $y_5$ hallado en el apartado b se obtiene $r = 0$. ¿Significa esto que no existe relación alguna entre ambas variables en esa muestra de cinco puntos? Explica la diferencia entre «ausencia de correlación lineal» y «ausencia de relación» observando el conjunto de puntos resultante.

Se está estudiando la relación entre dos variables $X$ e $Y$ a partir de tres observaciones experimentales: $(0, 2)$, $(3, 8)$ y $(5, k)$. Sabemos de antemano que existe una dependencia funcional lineal perfecta y positiva entre ambas variables, es decir, el coeficiente de correlación es $r = 1$. Sin necesidad de calcular las desviaciones típicas, determina el valor del parámetro $k$.

Sea una distribución bidimensional $(X, Y)$ donde la variable $Y$ se obtiene a partir de la variable $X$ mediante la transformación afín $Y = -4X + 7$, con $X$ no constante ($\sigma_x > 0$). Demuestra analíticamente, utilizando las definiciones algebraicas de la covarianza y la desviación estándar, que el coeficiente de correlación lineal entre $X$ e $Y$ es exactamente $-1$.

Dadas dos variables estadísticas $X$ e $Y$, se definen sus correspondientes variables tipificadas como $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ y $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$. Demuestra paso a paso que la covarianza entre las variables tipificadas, $\sigma_{z_x z_y}$, es exactamente igual al coeficiente de correlación lineal $r_{xy}$ de las variables originales.

En un estudio de ingeniería sobre la resistencia de ciertos materiales poliméricos, se han obtenido dos rectas de regresión cuyas ecuaciones implícitas son $3x - 2y - 8 = 0$ y $x - 2y + 4 = 0$.

1. a) Identifica razonadamente cuál es la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y cuál es la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.
2. b) Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$ entre ambas variables.

El siguiente diagrama de dispersión representa la relación entre la temperatura de un reactor químico ($X$, centrada en 0) y el rendimiento de la reacción ($Y$). Los puntos registrados son $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ y $(2, 4)$.

1. a) Calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson para estos datos.
2. b) A la vista del resultado matemático y del gráfico adjunto, explica detenidamente por qué el coeficiente de correlación toma ese valor a pesar de que existe una dependencia funcional exacta ($y = x^2$) entre las variables.

Las variables aleatorias $X$ e $Y$ tienen varianzas $\sigma_x^2 = 16$ y $\sigma_y^2 = 25$, y su coeficiente de correlación lineal es $r_{xy} = 0,4$. Se define una nueva variable sintética $W = X + kY$, donde $k$ es una constante real. Determina el valor exacto de $k$ para que las variables $X$ y $W$ estén incorrelacionadas (es decir, $r_{xw} = 0$).

Nota: Puedes utilizar la propiedad de linealidad de la covarianza: $\sigma_{x, x+ky} = \sigma_x^2 + k\sigma_{xy}$.

En un experimento de termodinámica, se mide la presión ($P$) de un gas a diferentes volúmenes ($V$) manteniendo la temperatura constante. La teoría física predice una relación del tipo $P = \frac{k}{V}$. Para linealizar el modelo y aplicar regresión lineal, se define una nueva variable auxiliar $X = \frac{1}{V}$. Se han obtenido los siguientes pares experimentales $(V, P)$: $(2; 12,1)$, $(4; 5,9)$, $(5; 4,8)$, $(8; 3,0)$.

Calcula el coeficiente de correlación lineal entre $X$ y $P$. ¿Confirma el resultado obtenido la teoría física subyacente?

La varianza residual (o error cuadrático medio) de la regresión de $Y$ sobre $X$ proporciona una medida de la dispersión de los puntos en torno a la recta de ajuste, y se puede calcular mediante la expresión $\sigma_e^2 = \sigma_y^2 (1 - r^2)$. En un estudio socioeconómico, se sabe que la varianza de la variable dependiente $Y$ es $36$ y que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ deja una varianza residual de $6,25$. Si se conoce que la pendiente de dicha recta de regresión es negativa, halla el coeficiente de correlación lineal $r$ e interpreta estadísticamente su significado.

Un laboratorio de astrofísica registra cinco mediciones conjuntas de dos magnitudes con valores muy elevados:

$(10\,002; 50\,010),\ (10\,004; 50\,016),\ (10\,006; 50\,022),\ (10\,008; 50\,028),\ (10\,010; 50\,034)$.

Para hallar el coeficiente de correlación lineal $r$, el equipo debate entre tres estrategias:

• Método 1 (Directo): Calcular $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sigma_x^2$, $\sigma_y^2$ y $\sigma_{xy}$ aplicando las fórmulas sobre los datos originales.

• Método 2 (Cambio de escala y origen): Tipificar o centrar definiendo $U = \frac{X - 10\,006}{2}$ y $V = \frac{Y - 50\,022}{6}$, calcular $r_{uv}$ sobre los valores reducidos $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ y deducir $r_{xy}$.

• Método 3 (Deducción funcional): Buscar si existe una relación exacta $Y = aX + b$ entre los puntos y aplicar el resultado teórico sobre variables colineales.

1. a) Resuelve el problema aplicando el Método 2 y el Método 3, explicando detalladamente los pasos seguidos en cada uno.
2. b) Compara críticamente los tres métodos: razona cuál es el más eficiente y argumenta qué desventajas numéricas presenta el Método 1 al operar manualmente o con calculadoras estándar.
3. c) Si la última medición hubiera sido $(10\,010; 50\,030)$ en lugar de $(10\,010; 50\,034)$, ¿seguirían siendo válidos los tres métodos? Justifica cuál quedaría invalidado y cuál de los restantes sería el más conveniente para calcular el nuevo $r$.

Un estudio sobre condiciones laborales analiza en dos sectores profesionales distintos (Sector A y Sector B) la relación entre los años de experiencia en el puesto ($X$) y un índice de satisfacción laboral ($Y$, de 1 a 10 puntos). Se recogen tres observaciones en cada sector:

• Sector A: $(1, 5)$, $(2, 6)$ y $(3, 7)$.

• Sector B: $(7, 1)$, $(8, 2)$ y $(9, 3)$.

1. a) Deduce, sin necesidad de realizar cálculos de varianzas, el coeficiente de correlación lineal del Sector A ($r_A$) y del Sector B ($r_B$), justificando tu deducción a partir de la relación funcional observada en cada grupo.
2. b) Un analista decide juntar los dos grupos en una única muestra global de 6 observaciones. Calcula detalladamente las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$, las desviaciones típicas $\sigma_x$ y $\sigma_y$, la covarianza global $\sigma_{xy}$ y el coeficiente de correlación global $r_{\text{global}}$.
3. c) Interpreta el resultado obtenido: ¿cómo es posible que dentro de cada sector la correlación lineal sea perfecta y positiva ($r = 1$), pero al fusionar ambos sectores el coeficiente global resulte fuertemente negativo? Razona qué papel desempeña la variable cualitativa oculta «sector» en esta aparente contradicción (conocida como paradoja de Simpson).