Ejercicios: Ecuación de segundo grado

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común:

$3x^2 - 12x = 0$

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:

$2x^2 - 18 = 0$

Sin llegar a resolver la ecuación, determina el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante:

$5x^2 - 3x + 2 = 0$

Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcula la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.

Marcos tiene que resolver en un examen la ecuación cuadrática $5x^2 - 15x = 0$. En su hoja escribe el siguiente desarrollo:

1) Traslado el término: $5x^2 = 15x$.

2) Divido ambos miembros entre $x$: $\frac{5x^2}{x} = \frac{15x}{x} \implies 5x = 15$.

3) Despejo la incógnita: $x = \frac{15}{5} = 3$.

Conclusión de Marcos: «La única solución de la ecuación es $x = 3$».

1. a) Detecta y explica con precisión algebraica el error que ha cometido Marcos en el paso 2 y qué repercusión directa tiene sobre el número de soluciones encontradas.
2. b) Resuelve la ecuación correctamente empleando la extracción de factor común y justifica por qué la propiedad del producto cero ($A \cdot B = 0 \iff A = 0 \text{ o } B = 0$) garantiza que no se pierda ninguna solución.

Dadas las tres siguientes ecuaciones de segundo grado:

(A) $3x^2 - 75 = 0$

(B) $2x^2 + 8x = 0$

(C) $x^2 - 5x + 6 = 0$

Un compañero afirma que la estrategia más segura y rápida consiste en aplicar de forma sistemática la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ a las tres por igual.

1. a) Compara para cada una de las ecuaciones el uso de la fórmula general frente al método específico más directo (despeje de raíz cuadrada, factorización por factor común o relaciones de Cardano-Vieta por cálculo mental). Justifica razonadamente qué método minimiza el riesgo de cometer errores operativos en cada caso.
2. b) Resuelve cada una de las ecuaciones aplicando el procedimiento óptimo que has justificado.

En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en metros respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos, viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina en qué instante o instantes el cohete se encuentra exactamente a $17$ metros de altura.

Determina el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.

Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin contar la fotografía) es de $216 \text{ cm}^2$, plantea una ecuación y halla el ancho del marco.

El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantea una ecuación de segundo grado y resuelve para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de una pareja posible?

En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcula el valor del parámetro $m$ y halla la otra solución.

Considera la ecuación cuadrática $x^2 - 19x + 84 = 0$.

1. a) Sin calcular el discriminante ni aplicar la fórmula general, utiliza las relaciones de Cardano-Vieta ($x_1 + x_2 = 19$, $x_1 \cdot x_2 = 84$) para estimar y acotar razonadamente entre qué valores deben situarse las soluciones. Deduce primero el signo de ambas raíces y tantea parejas de números enteros situados a distancias simétricas respecto a la mitad de la suma ($9,5$) hasta proponer una estimación fundamentada de las soluciones.
2. b) Resuelve formalmente la ecuación con la fórmula general y compara el resultado obtenido con tu estimación inicial. Explica por qué el conocimiento previo de la suma y el producto de las raíces permite detectar de inmediato posibles errores de cálculo en la resolución.

El Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (SENAMHI) registra durante una jornada de alerta por calor en Santa Cruz de la Sierra que la temperatura $T$ (en grados Celsius) a partir de las 12:00 del mediodía se modeliza mediante la función $T(t) = -t^2 + 8t + 28$, donde $t$ representa el tiempo transcurrido en horas desde las 12:00 ($t \in [0, 8]$).

1. a) El plan municipal de emergencias fija medidas preventivas en el trabajo al aire libre cuando la temperatura alcanza o supera los $43\text{ }^\circ\text{C}$. Plantea la ecuación de segundo grado correspondiente y determina a qué horas exactas de la tarde se activan y se desactivan dichas medidas.
2. b) Un informe preliminar asegura que en algún momento de la tarde se alcanzarán los $46\text{ }^\circ\text{C}$. Sin necesidad de resolver la ecuación completa asociada a ese valor, analiza el signo de su discriminante y concluye justificadamente si dicha afirmación es viable según el modelo térmico.

Discute el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.

En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus vértices sobre la hipotenusa. Si el área del rectángulo debe ser exactamente de $12 \text{ cm}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y halla las dimensiones posibles del rectángulo.

Resuelve la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:

$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$

Un grupo de amigos decide alquilar un velero para el fin de semana por un costo total de $2\,520$ bolivianos, que acuerdan pagar a partes iguales. En el último momento, dos de los amigos no pueden asistir, lo que obliga al resto del grupo a pagar $63$ bolivianos más cada uno para cubrir el costo total. Plantea una ecuación que se reduzca a segundo grado para determinar cuántos amigos conformaban el grupo original.

Se desea determinar una ecuación de segundo grado mónic ($x^2 + bx + c = 0$, con $b, c \in \mathbb{R}$) cuyas soluciones desconocidas $x_1$ y $x_2$ verifiquen simultáneamente dos condiciones algebraicas:

1) La distancia entre ambas raíces sobre la recta real es igual a $4$ ($|x_1 - x_2| = 4$).

2) La suma de sus inversos es $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{2}{3}$.

1. a) Apoyándote en las relaciones de Cardano-Vieta y utilizando la identidad algebraica $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 \cdot x_2$, plantea un sistema que relacione directamente los coeficientes $b$ y $c$ sin calcular de antemano las raíces individuales.
2. b) Resuelve el sistema para deducir cuántas ecuaciones cuadráticas distintas cumplen simultáneamente ambos requisitos. Escribe cada una de las ecuaciones resultantes, halla sus respectivas soluciones y comprueba que satisfacen las condiciones originales.

Un tren de alta velocidad cubre el trayecto directo entre La Paz y Santa Cruz, separadas por una distancia ferroviaria de $390\text{ km}$. En condiciones habituales, el convoy circula a una velocidad media constante $v$ (expresada en $\text{km/h}$). Debido a una limitación temporal de velocidad impuesta por obras en la infraestructura, en una jornada determinada el tren reduce su velocidad media en $65\text{ km/h}$, lo que provoca un retraso de exactamente $30\text{ minutos}$ ($0,5\text{ h}$) respecto a su horario programado.

1. a) Modela la situación relacionando la distancia, las velocidades y los tiempos de viaje mediante una ecuación algebraica con incógnita $v$, y transfórmala paso a paso en una ecuación cuadrática de la forma $a v^2 + b v + c = 0$.
2. b) Resuelve la ecuación obtenida para hallar la velocidad habitual $v$ del convoy. Justifica con un argumento físico riguroso por qué se descarta una de las dos soluciones matemáticas del problema.
3. c) Calcula el tiempo que invierte el tren en condiciones normales y el invertido el día de la limitación temporal, verificando que la diferencia coincide con los datos del enunciado.