Ejercicios: Ecuaciones irracionales

Resuelve la siguiente ecuación irracional y comprueba la validez de su solución:

$\sqrt{4x + 9} = 5$

Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación con una raíz cúbica:

$\sqrt[3]{3x - 5} = 2$

Determina las posibles soluciones de la ecuación de segundo grado bajo el radical:

$\sqrt{x^2 - 3x + 6} = 2$

Resuelve la ecuación irracional aislando el radical y elevando al cuadrado. Presta especial atención a las posibles soluciones falsas:

$\sqrt{2x + 15} = x$

Halla la solución igualando los radicandos de la siguiente ecuación:

$\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x + 8}$

Despeja la incógnita $x$ en la ecuación irracional que contiene una fracción en su radicando:

$\sqrt{\frac{5x - 1}{3}} = 3$

En cinemática, el tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer libremente desde una altura $h$ (en metros) viene dado por la fórmula $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula desde qué altura se dejó caer una piedra si tardó exactamente $4$ segundos en llegar al suelo.

La diagonal $d$ de un rectángulo se puede calcular a partir de sus lados $b$ y $h$ usando el teorema de Pitágoras: $d = \sqrt{b^2 + h^2}$. Si sabemos que la diagonal mide $13$ cm y uno de sus lados mide $5$ cm, plantea la ecuación irracional correspondiente y calcula la longitud del otro lado.

Lucas ha resuelto en la pizarra la ecuación irracional $\sqrt{2x - 3} = x - 3$ siguiendo estos pasos:

1) Eleva al cuadrado ambos miembros: $2x - 3 = (x - 3)^2 \implies 2x - 3 = x^2 - 6x + 9$.

2) Agrupa términos en un solo miembro: $x^2 - 8x + 12 = 0$.

3) Aplica la fórmula cuadrática y obtiene dos soluciones: $x_1 = 6$ y $x_2 = 2$.

4) Concluye: «El conjunto final de soluciones de la ecuación es $\{2, 6\}$».

1. a) Sin resolver la ecuación desde cero, detecta el error cometido por Lucas y explica razonadamente por qué la operación de elevar al cuadrado puede introducir valores que no satisfacen la igualdad original.
2. b) Comprueba ambos valores en la ecuación de partida y determina cuál es la única solución real válida.

Dada la ecuación irracional $\sqrt{2x + 1} = x - 1$:

1. a) Antes de operar algebraicamente, analiza las restricciones de signo: deduce para qué valores de $x$ existe la raíz cuadrada en $\mathbb{R}$ y para cuáles el miembro de la derecha es no negativo. Con ello, delimita el intervalo de la recta real donde es viable encontrar soluciones.
2. b) Evalúa mentalmente los valores $x = 0$, $x = 2$ y $x = 4$. A partir de esa evaluación, estima entre qué números enteros debe encontrarse la solución real y argumenta si puede haber una solución menor que $1$.
3. c) Resuelve la ecuación elevando al cuadrado ambos miembros, comprueba si la solución hallada coincide con tu estimación inicial y descarta formalmente cualquier solución espuria justificando el motivo.

Resuelve la ecuación con dos radicales aislándolos adecuadamente en miembros distintos antes de elevar al cuadrado:

$\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5$

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación, comprobando obligatoriamente los resultados obtenidos para descartar soluciones extrañas:

$x - \sqrt{2x - 1} = 2$

El periodo $T$ de un péndulo simple (el tiempo que tarda en realizar una oscilación completa) se calcula mediante la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del hilo en metros y $g = 9,8 \text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad. Si un reloj de péndulo en una exposición científica tiene un periodo exacto de $2,5$ segundos, averigua la longitud de su péndulo. Utiliza la aproximación $\pi \approx 3,14$.

La distancia entre los puntos $A(2, -1)$ y $B(x, 3)$ en el plano cartesiano es exactamente de $5$ unidades. Plantea la ecuación irracional correspondiente a la distancia entre dos puntos y calcula las posibles coordenadas $x$ del punto $B$.

Resuelve la siguiente ecuación que involucra la diferencia de dos raíces cuadradas. Aísla una de las raíces antes de elevar al cuadrado:

$\sqrt{3x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$

En una fábrica de componentes electrónicos, el costo de producción diario $C(x)$ en bolivianos en función de $x$ unidades fabricadas se modela mediante la función $C(x) = 1\,750 + 105\sqrt{x - 50}$. Si en un día determinado el costo de producción fue exactamente de $5\,950$ bolivianos, ¿cuántas unidades se fabricaron?

Resuelve la siguiente ecuación irracional realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $t = \sqrt{x}$):

$x - 7\sqrt{x} + 10 = 0$

La distancia $d$ en kilómetros a la que se encuentra el horizonte para un observador situado a una altura $h$ en metros sobre el nivel del mar se aproxima de forma simplificada mediante la fórmula $d = 3,57\sqrt{h}$. Si un vigía en la cofa de un barco pirata avista tierra a una distancia de $15$ km, ¿a qué altura se encuentra aproximadamente?

El equipo técnico de la Empresa Boliviana de Ferrocarriles encargado del mantenimiento de la catenaria en la línea de alta velocidad La Paz-Oruro estudia la tensión mecánica $T$ (en kilonewtons, kN) del cable conductor en función de su dilatación térmica $x$ (en centímetros). El comportamiento estructural del tramo responde al modelo empírico $T = \sqrt{8x + 17}$. Para asegurar el correcto contacto con el pantógrafo del tren, el contrapeso mecánico del poste impone simultáneamente la condición lineal $T = x + 1$.

1. a) Plantea la ecuación irracional que permite determinar la dilatación $x$ correspondiente a la posición de equilibrio del sistema.
2. b) Resuelve la ecuación aislando la incógnita mediante elevación al cuadrado.
3. c) Interpreta física y matemáticamente por qué una de las dos soluciones algebraicas obtenidas carece de sentido y debe descartarse. Indica el valor admisible de la dilatación $x$ y la tensión $T$ en ese punto.

Diseña una ecuación irracional de la forma $\sqrt{ax + b} = x + c$ (donde $a$, $b$ y $c$ son números enteros) que cumpla estrictamente las tres condiciones siguientes:

1) Al elevar ambos miembros al cuadrado y reducir términos semejantes, dé lugar con exactitud a la ecuación cuadrática $x^2 - 5x - 6 = 0$.

2) El valor $x = 6$ sea la ÚNICA solución real válida de la ecuación irracional original.

3) El valor $x = -1$ quede descartado por ser una solución espuria introducida durante el proceso algebraico.

Muestra con claridad el razonamiento que te permite deducir los valores de los coeficientes $a$, $b$ y $c$, escribe la ecuación definitiva y comprueba en ella la validez de $x = 6$ y el descarte de $x = -1$ justificando la diferencia de signo.

Resuelve la siguiente ecuación irracional que contiene tres radicales. Asegúrate de comprobar las soluciones obtenidas al final del proceso:

$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$

Encuentra las soluciones reales de la ecuación con radicales anidados:

$\sqrt{x + \sqrt{x - 2}} = 2$

Discute de forma razonada para qué valores del parámetro real $k > 0$, la ecuación $\sqrt{x + k} = x$ tiene exactamente una única solución real válida.

Un ingeniero diseña una rampa de carga para un almacén logístico. La base horizontal mide $x$ metros y la altura mide $2$ metros menos que la base. Si la longitud de la rampa (la hipotenusa) viene dada por la expresión $\sqrt{2x^2 - 4x + 4}$ y se requiere que mida exactamente $\sqrt{34}$ metros, plantea la ecuación irracional y determina las dimensiones reales de la rampa.

Resuelve la siguiente ecuación irracional. Puedes racionalizar previamente el denominador, o bien multiplicar en cruz y agrupar términos inteligentemente para facilitar el cálculo:

$\frac{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3}} = 2$

Según la Teoría de la Relatividad Especial de Einstein, el factor de Lorentz $\gamma$ determina la dilatación del tiempo y se calcula como $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la velocidad de la nave y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío. Si en una misión espacial se observa que el tiempo pasa al $50\%$ del ritmo terrestre (es decir, $\gamma = 2$), resuelve la ecuación irracional para hallar a qué fracción de la velocidad de la luz viaja la nave.

Resuelve la siguiente ecuación irracional aislando estratégicamente los radicales y verificando las soluciones al final:

$\sqrt{2x + 5} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x + 2}$

Un tendido eléctrico debe conectar una central $A$ situada en un lado de un río recto de $4$ km de ancho, con una ciudad $B$ situada en el lado opuesto, $10$ km río abajo. El costo de tender el cable bajo el agua es de $35$ millones de bolivianos por km, y por tierra es de $21$ millones de bolivianos por km. Si el cable cruza el río en línea recta hasta un punto $P$ situado a $x$ km río abajo y luego va por tierra hasta $B$, el costo total en millones de bolivianos es $C(x) = 35\sqrt{x^2 + 16} + 21(10 - x)$. Encuentra el valor de $x$ que hace que el costo total sea exactamente de $322$ millones de bolivianos resolviendo la ecuación irracional correspondiente.

Considera la ecuación: $x^2 - 3x - \sqrt{x^2 - 3x + 5} = 1$.

Dos estudiantes de 1.º de Bachillerato plantean dos métodos de resolución distintos:

• Estrategia A (Elevación directa): Aislar el radical, $\sqrt{x^2 - 3x + 5} = x^2 - 3x - 1$, y elevar ambos miembros al cuadrado, obteniendo una ecuación de 4.º grado en $x$ para resolverla aplicando la regla de Ruffini.

• Estrategia B (Cambio de variable): Aprovechar la estructura repetida de la expresión y definir $t = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$ (con la condición $t \ge 0$), transformando la igualdad en una ecuación de 2.º grado en $t$.

1. a) Compara razonadamente ambas estrategias analizando la dificultad operativa, el número de candidatos a solución que genera cada una y el riesgo de arrastrar raíces espurias. Justifica cuál de los dos caminos es objetivamente más limpio y eficiente.
2. b) Resuelve la ecuación mediante la Estrategia B, justificando el descarte inmediato de cualquier valor de $t$ inadmisible antes de deshacer el cambio, y halla todas las soluciones reales de $x$.

En una prueba de evaluación, se pide discutir el número de soluciones reales de la ecuación $\sqrt{x + 5} = x + m$ en función del parámetro real $m$.

Sofía entrega la siguiente resolución:

«Elevo al cuadrado: $x + 5 = x^2 + 2mx + m^2 \implies x^2 + (2m - 1)x + (m^2 - 5) = 0$.

El discriminante es $\Delta = (2m - 1)^2 - 4(m^2 - 5) = 21 - 4m$.

Conclusión: si $m < 21/4$, como $\Delta > 0$, la ecuación irracional tiene dos soluciones reales; si $m = 21/4$, tiene una solución; y si $m > 21/4$, no tiene ninguna solución real».

1. a) Explica de forma rigurosa por qué la conclusión de Sofía es incompleta y falsa, indicando qué condición obligatoria de las ecuaciones irracionales no ha tenido en cuenta al trasladar los resultados de la cuadrática a la ecuación original.
2. b) Proporciona un contraejemplo concreto eligiendo un valor numérico de $m < 21/4$ para el cual la ecuación irracional tenga únicamente UNA solución real en lugar de dos. Resuelve la ecuación con ese valor de $m$ y muestra cuál de los candidatos se descarta y por qué.
3. c) Realiza la discusión completa y correcta del número de soluciones reales de la ecuación para todos los posibles valores de $m \in \mathbb{R}$.