Ejercicios: Binomio de Newton

Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los factoriales y los números combinatorios: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.

Desarrolla completamente el binomio $(x + 3)^4$ utilizando la fórmula del binomio de Newton.

Desarrolla la expresión $(2a - b)^5$ e indica cuántos términos tiene el desarrollo final.

Escribe directamente el cuarto término del desarrollo del binomio $(x^2 - 2y)^7$, sin calcular todo el desarrollo.

Utiliza el triángulo de Tartaglia (o de Pascal) para obtener los coeficientes de la sexta fila y desarrolla la expresión $(m + 2n)^6$.

Calcula el coeficiente del término que contiene $x^3$ en el desarrollo del binomio $(x - 4)^5$.

Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica con factoriales: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.

Halla el valor del número natural $x$ que verifica la siguiente ecuación con números combinatorios: $\binom{x}{2} = 21$.

Desarrolla el binomio con fracciones $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ y simplifica cada uno de los términos resultantes.

Sofía está calculando el término que ocupa la cuarta posición ($T_4$) en el desarrollo del binomio $(x^2 - 2)^6$. En su examen escribe lo siguiente:

«Como piden el cuarto término, utilizo $k = 4$:

$T_4 = \binom{6}{4} (x^2)^{6-4} (-2)^4 = 15 \cdot x^4 \cdot 16 = 240x^4$».

1. a) Identifica y explica de forma razonada el error conceptual que comete Sofía al asociar el número de término con el índice $k$ de la fórmula general $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
2. b) Corrige la resolución calculando paso a paso el verdadero cuarto término del desarrollo, indicando con claridad su signo, su coeficiente numérico y su grado.
3. c) ¿Qué término del desarrollo calculó realmente Sofía en su procedimiento?

Una compañía de telecomunicaciones en España aplica a una tarifa plana de fibra óptica un ajuste por inflación del $3\,\%$ anual ($0,03$) durante $4$ años consecutivos. El costo al cabo de ese tiempo resulta multiplicado por el factor $(1 + 0,03)^4$.

1. a) Estima mentalmente el valor de dicho factor multiplicador utilizando únicamente los dos primeros sumandos del binomio de Newton, $(1 + 0,03)^4 \approx \binom{4}{0} \cdot 1^4 + \binom{4}{1} \cdot 1^3 \cdot 0,03$, e indica qué porcentaje de subida total representa tu estimación.
2. b) Desarrolla por completo la potencia $(1 + 0,03)^4$ mediante el binomio de Newton y calcula el valor exacto del factor multiplicador con cuatro cifras decimales.
3. c) Comprueba si la estimación del apartado a) ha sido por exceso o por defecto. Justifica por qué en el ámbito económico suele ser suficiente quedarse con los dos primeros términos cuando el incremento anual es pequeño.

En un estudio de genética de poblaciones, la distribución teórica de ciertos genotipos en una generación viene dada por el desarrollo del binomio $(p + q)^4$, donde $p$ y $q$ son las frecuencias alélicas. Si $p = 0,6$ y $q = 0,4$, calcula el valor numérico del término que contiene la expresión $p^2q^2$ e interpreta su significado matemático dentro del desarrollo.

Encuentra el término independiente de $x$ (es decir, el término que no contiene la variable $x$) en el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.

En economía, el capital final acumulado tras $5$ años a un interés compuesto anual $r$ se calcula mediante la fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utiliza el binomio de Newton para desarrollar $(1 + r)^5$. Si la tasa de interés es $r = 0,03$, calcula una aproximación del capital final para un capital inicial de $7\,000$ bolivianos utilizando únicamente los tres primeros términos del desarrollo.

Halla el coeficiente numérico que acompaña a $x^4$ en el desarrollo del binomio $\left(2x + \frac{1}{x^2}\right)^7$.

Demuestra que la suma de todos los números combinatorios de una misma fila $n$ cumple que $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizando el desarrollo del binomio de Newton para $(1+1)^n$. Aplica este resultado para determinar cuántos grupos distintos (de cualquier tamaño, incluyendo el grupo vacío) se pueden formar con los $8$ empleados de una oficina.

Resuelve la siguiente ecuación en la que intervienen números combinatorios, encontrando el valor del número natural $x$: $\binom{x}{3} + \binom{x}{2} = 4 \binom{x}{1}$.

El volumen de un cubo metálico de arista $L$ a cierta temperatura es $V = L^3$. Al calentarse, su arista se dilata linealmente pasando a medir $L(1 + \alpha \Delta T)$. Desarrolla la expresión del nuevo volumen utilizando el binomio de Newton y, sabiendo que el producto $\alpha \Delta T$ es un valor muy pequeño (del orden de $10^{-5}$), justifica matemáticamente por qué el incremento de volumen $\Delta V$ se puede aproximar por la expresión $3 L^3 \alpha \Delta T$.

Determina el término central en el desarrollo del binomio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ y simplifica la expresión resultante.

En un estudio de genética, la combinación de ciertos alelos se modela mediante la expresión matemática $(p + q)^5$. Desarrolla esta expresión sabiendo que las probabilidades vienen dadas por $p = 2x$ y $q = y^2$.

Encuentra el quinto término en el desarrollo del binomio $\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7$. Simplifica el resultado combinando las potencias de $x$.

Determina el coeficiente del término que contiene $x^4$ al desarrollar la expresión $(x - \sqrt{2})^6$. Expresa el resultado como un número entero.

La intensidad de luz que atraviesa una serie de $4$ filtros fotográficos con un factor de atenuación variable $x$ se puede aproximar por el binomio $(1 - 0,2x)^4$. Desarrolla esta expresión ordenando los términos de menor a mayor grado.

En el desarrollo del binomio $(x + k)^4$, se sabe que el coeficiente del término en $x^2$ es igual a $54$. Calcula el valor positivo del parámetro $k$.

Calcula la suma de todos los coeficientes del polinomio resultante al desarrollar $(3x - 2y)^5$. Pista: Piensa en qué valores numéricos puedes asignar a las variables $x$ e $y$ para que la expresión evaluada coincida exactamente con la suma de sus coeficientes.

Desarrolla y simplifica al máximo la expresión con radicales $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Agrupa los términos semejantes y deja el resultado sin exponentes negativos.

Un aparato de Galton (o quincunx) se utiliza para demostrar la distribución binomial. Una bola que cae tiene la misma probabilidad de ir a la derecha ($D$) que a la izquierda ($I$) en cada clavo. El aparato de la figura tiene $4$ filas de clavos, así que la bola hace $4$ movimientos y puede caer en $5$ compartimentos. Cada compartimento lleva escrito el número de movimientos a la derecha que ha hecho la bola. Los caminos posibles se modelan con el desarrollo de $(I + D)^4$.

Observa la figura: la línea azul discontinua muestra un camino posible hasta el compartimento resaltado en rojo, que corresponde a $1$ movimiento a la izquierda y $3$ a la derecha.

1. a) Desarrolla el binomio $(I + D)^4$.

1. b) Indica algebraicamente cuántos caminos distintos llevan al compartimento resaltado en rojo.

El Instituto Nacional de Estadística (INE) de Bolivia realiza una auditoría sobre el servicio de encomiendas urgentes en un departamento, analizando una muestra de $7$ envíos independientes. Cada paquete puede llegar a tiempo ($P$) o con retraso ($R$). Todos los posibles resultados muestrales se modelizan algebraicamente mediante el desarrollo del binomio $(P + R)^7$.

1. a) Escribe el desarrollo completo del binomio mediante la fórmula de Newton e interpreta qué significado tiene en este contexto cada término de la forma $\binom{7}{k} P^{7-k} R^k$.
2. b) ¿Cuántas configuraciones muestrales distintas contienen al menos $5$ entregas puntuales?
3. c) La normativa departamental establece que la calidad es aceptable si el número de configuraciones con más entregas puntuales que retrasadas supera estrictamente el $50\,\%$ del total de casos posibles ($2^7 = 128$). Utilizando la simetría de los números combinatorios en el triángulo de Pascal, determina el porcentaje exacto de configuraciones favorables y concluye razonadamente si se cumple el criterio de la normativa.

En el desarrollo algebraico del binomio $\left(2x^3 - \frac{k}{x}\right)^8$, donde $k$ representa una constante real positiva:

1. a) Escribe la expresión simplificada del término general $T_{m+1} = \binom{8}{m} a^{8-m} b^m$ y plantea la ecuación sobre el exponente de $x$ para determinar qué posición ocupa el término independiente de $x$.
2. b) Sabiendo que el valor numérico de dicho término independiente es $7\,168$, calcula razonadamente el valor exacto de la constante $k$.
3. c) Comprueba algebraicamente si existe en este desarrollo algún término de grado $5$ en la variable $x$, justificando tu conclusión a partir del conjunto de valores admisibles para el índice $m$.

Encuentra el valor del parámetro real $k$ para que el coeficiente del término en $x^3$ en el desarrollo del binomio $\left(x^2 + \frac{k}{x}\right)^6$ sea exactamente igual a $-160$.

En el control de calidad de una fábrica de componentes electrónicos, la probabilidad de que un lote de $n$ componentes tenga exactamente $k$ defectuosos viene dada por el término general $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, donde $p$ es la probabilidad de que un componente individual sea defectuoso. Si en un lote de $10$ componentes, la probabilidad de encontrar exactamente $4$ defectuosos es el doble que la de encontrar $3$ defectuosos, plantea la ecuación correspondiente y halla el valor exacto de $p$.

Calcula el coeficiente que acompaña a $x^5$ en el desarrollo completo del producto de polinomios $(1 + x)^4 \cdot (1 - 2x)^5$.

Demuestra la propiedad fundamental de los números combinatorios $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ utilizando la definición algebraica con factoriales. Posteriormente, utiliza las propiedades de los números combinatorios para resolver el siguiente sistema de ecuaciones para $x$ e $y$ naturales:

$\binom{x}{y} = \binom{x}{y+1}$

$4x - 5y = 19$

Halla el término independiente de $x$ en el desarrollo del binomio $\left(\sqrt[3]{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{14}$ y determina qué posición ocupa dicho término en el desarrollo ordenado según las potencias decrecientes del primer sumando.

En un experimento de óptica, la intensidad de luz en un patrón de interferencia múltiple requiere calcular el desarrollo del binomio $(1 + \cos \theta)^n$. Para un sistema de $6$ rendijas ($n=6$), desarrolla la expresión indicando los coeficientes combinatorios y determina el coeficiente del término que contiene $\cos^4 \theta$. Si en un punto de la pantalla se cumple que $\cos \theta = \frac{1}{2}$, ¿cuál es el valor exacto de la suma de los tres últimos términos de dicho desarrollo?

Resuelve la siguiente ecuación algebraica en la que intervienen números combinatorios y factoriales, determinando el valor del número natural $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - 2\binom{x}{2} = 14 + \binom{x-1}{1}$.

Determina los valores reales positivos de los parámetros $a$ y $b$ en el binomio $(ax + b)^5$ sabiendo que el segundo término de su desarrollo es $240x^4$ y el tercer término de su desarrollo es $720x^3$.

Halla el término independiente de $x$ en el desarrollo de la expresión $\left(\frac{3x^2}{2} - \frac{1}{3x}\right)^9$. Muestra el planteamiento general del término $k$-ésimo antes de resolverlo.

Desarrolla la suma de los binomios $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4$. Demuestra que, a pesar de contener números irracionales en su formulación inicial, el resultado final es un número entero.

En ingeniería, la tolerancia de volumen de un contenedor cúbico de lado $L$ con un error de fabricación $\Delta L$ viene dada por la expresión $(L \pm \Delta L)^3$. Desarrolla este binomio. Si $L = 10\ \text{cm}$ y el error máximo es $\Delta L = 0,1\ \text{cm}$, calcula el término de error lineal, el cuadrático y el cúbico. ¿Qué porcentaje del error total representa el término lineal $3L^2\Delta L$?

Se desea simplificar la expresión combinatoria $E = \binom{n}{k} + 2\binom{n}{k+1} + \binom{n}{k+2}$, donde $n, k \in \mathbb{N}$ con $n \ge k+2$. Se proponen dos procedimientos de resolución:

• Método A (desarrollo factorial): Expresar cada número combinatorio según la fórmula $\frac{n!}{p!\,(n-p)!}$, buscar el mínimo común denominador entre factoriales y simplificar la fracción resultante.

• Método B (propiedades del triángulo de Pascal): Descomponer el sumando central como $\binom{n}{k+1} + \binom{n}{k+1}$ y aplicar reiteradamente la identidad $\binom{m}{p} + \binom{m}{p+1} = \binom{m+1}{p+1}$.

1. a) Aplica el Método B justificando detalladamente cada paso para condensar la expresión $E$ en un único número combinatorio.
2. b) Explica por qué el Método B es notablemente más eficiente y menos propenso a errores algebraicos que el Método A en este tipo de simplificaciones.
3. c) Generaliza el razonamiento: determina, sin recurrir a factoriales, a qué único número combinatorio equivale la suma $\binom{n}{k} + 3\binom{n}{k+1} + 3\binom{n}{k+2} + \binom{n}{k+3}$, razonando la conexión existente entre los coeficientes $(1, 3, 3, 1)$ y las filas sucesivas del triángulo de Pascal.

La empresa pública ADIF gestiona el trazado de las líneas de alta velocidad en España. Durante episodios de ola de calor registrados por la AEMET, ciertos componentes cúbicos de acero de las catenarias, con volumen inicial $V_0$, experimentan una dilatación lineal relativa $\varepsilon = \alpha \cdot \Delta T = 4 \cdot 10^{-4}$ (adimensional). El nuevo volumen tras la dilatación viene dado por $V = V_0(1 + \varepsilon)^3$.

1. a) Desarrolla $(1 + \varepsilon)^3$ mediante el binomio de Newton y expresa el incremento relativo exacto del volumen, $\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{V - V_0}{V_0}$, en función de las potencias de $\varepsilon$.
2. b) En los manuales técnicos se suele emplear la aproximación lineal $\frac{\Delta V}{V_0} \approx 3\varepsilon$. Estima la cota del error absoluto que se comete con dicha aproximación sumando los términos omitidos ($3\varepsilon^2 + \varepsilon^3$) y calcula el porcentaje que representa dicho error respecto al valor aproximado $3\varepsilon$.
3. c) Un informe técnico preliminar sostiene que «si una ola de calor más severa duplica el incremento de temperatura ($\Delta T' = 2\Delta T$), el error absoluto de la aproximación lineal también se duplicará». Demuestra analíticamente mediante el desarrollo del binomio por qué esa afirmación es falsa y determina por qué factor se multiplica aproximadamente el error cometido.